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新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三下学期6月份高考模拟预测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B． C．4 D．6
6．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为（ ）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
7．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，正方体的棱长为2，，分别是棱和的中点．则（ ）
A．
B．平面与侧面的交线长为
C．点到平面的距离为
D．与平面所成角的余弦值为
10．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，直线与交于两点（点在第一象限），为线段的中点，则（ ）
A． B．直线的斜率为
C． D．
11．已知在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A．的周长为12 B．角的最大值为
C．的面积最小值为 D．的面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数在处的切线过点，则 .
13．已知正项等比数列满足，，，成等差数列，则其公比为 .
14．某同学在无人防守时的三分球命中率为0.6，每次投篮是否投中相互独立，若他在三分线外连续投篮10次，每投中一次得三分，记其最后得分为，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
喜欢 不喜欢
男性 40 10
女性 25 25
(1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？
(2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义.
，
16．数列满足：，．
(1)数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由；
(2)数列满足：，求数列的前项和．
17．已知四棱锥中，二面角为直二面角，，，M为棱上一点.
(1)证明：；
(2)若M为中点，求二面角的正弦值；
(3)若平面，点N在平面上，若直线与平面所成角为，求的最小值.
18．已知焦点分别为，的椭圆的离心率为，点M在C上，且面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作椭圆C的两条切线PA，PB，
①求证：以AB为直径的圆过点P；
②求面积的取值范围.
19．已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若对，有，求的取值范围；
(3)证明：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A C D C D BC AB
题号 11
答案 ABD
1．因，故其虚部为.故选：C.
2．由 可得，
故，故选：B
3．双曲线化为，
所以该双曲线焦点在轴上，且所以渐近线的斜率为，故选：C.
4．令，解得，
令，可得.故选：A.
5．由题意可得，解得，
则.故选：C
6．由八卦图可知与的夹角为，其大小为，
即与的夹角为，所以A错误；
由向量的平行四边形法则可知，即B错误；
易知，又，所以，
而，所以，即C错误；
易知在上的投影向量为，即D正确.故选：D
7．设点，，，
所以动点的轨迹为阿氏圆：，
又直线恒过点，
若对任意实数直线与圆恒有公共点，
在圆的内部或圆上，所以，所以，解得，
即的取值范围为.故选：C
8．，，
，，，
，所以，
对于A，在单调递增， ，故A错误；
对于B， 在上单调递减， ，故B错误；
对于C， 在单调递减， ，故C错误；
对于D，在单调递增， ,
又在单调递减， ,
，故D正确.故选：D
9．因为与不垂直，又，所以与不垂直，故A错误；
由， 所以四点共面，平面，
所以平面与侧面的交线为，
由正方体棱长为2，得，故B正确；
以为坐标原点，建立如图所示坐标系．则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，由得
令，则，，
所以为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离，故C正确；
设与平面所成角为，则，
所以，
所以与平面所成角的余弦值为，故D错误．故选：BC.
10．由题知，解得，故A正确；
抛物线，联立消去并整理得，
设，所以，所以，
所以，所以，所以，故B正确；
由B知，则，，
所以，所以，C错误；
，由B知，，
所以，所以不成立，故D错误．故选:AB．
11．对于A，由根据正弦定理得
的周长为，选项A正确；
对于B，因为，由余弦定理，
因为，当且仅当等号成立，所以，选项B正确；
对于C，，当角接近0时，的面积也接近0，所以选项C错误；
对于D，，由得在时取得最大值，
故在时取得最大值，选项D正确．故选：ABD.
12．由题设，则，且，
所以处的切线为，
又点在切线上，故，可得.
故答案为：1
13．设的公比为，
又因为，，成等差数列，
所以，可得，解得或（舍去）.
故答案为：3.
14．设投篮投中的次数为Y，，由题意，.
故答案为：18.
15．（1）补全列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男性 40 10 50
女性 25 25 50
合计 65 35 100
零假设：对机器人表演节目的喜欢与性别无关联，
则，
依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为对机器人表演节目的喜欢与性别有关联；
（2）由题意可知，，，
所以，
其意义为该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大；
或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等
16．（1）是等比数列，理由如下：
因为，故，
又，故，
因为，所以，故是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，所以，
所以，
所以
．
17．（1）由，得，二面角为直二面角，即平面平面，
而平面平面，平面，故平面.
因为平面，所以，又，
，平面，，故平面，
又平面，故.
（2）过点S作于点O，连接，由，得.
又，故四边形为平行四边形，
因为，所以，即，故，，两两垂直，
以O为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
故，，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，故为平面的一个法向量，
设平面的法向量的，则
令，则，，故为平面的一个法向量，
则，二面角的正弦值为.
（3）若平面，平面，平面平面，则，
由（2）知，故M与O点重合，因为N在平面上，
设，p，，，则，
因为，，，则，，
设平面的法向量，则，
令，则，，故为平面的一个法向量，
故，整理得，
又，故，
由，故，
当且仅当时等号成立，取得最小值为.
18．（1）根据题意得，
所以椭圆C的方程为.
（2）点，所以点的轨迹方程为，
①证明：（Ⅰ）当切线PA，PB其中一条斜率不存在时，，此时AB在椭圆顶点处，，故以AB为直径的圆过点P，
（Ⅱ）当切线PA，PB斜率存在时，设，过点的直线l方程为联立椭圆C得，，因为与椭圆相切，
所以
，
因为过点作椭圆C的两条切线PA，PB，所以，
则两切线PA，PB互相垂直，
综上，以AB为直径的圆过点P.
②(Ⅰ) 当直线斜率不存在时，，又，所以直线斜率为，
不妨取联立得，解得，
此时，
(Ⅱ)当直线斜率存在时，设直线方程为，,，
联立得，，
，
，
点到直线的距离，
，
又,，两条切线PA，PB的方程为，，又切线PA，PB相交于点，所以
，，则直线AB的方程为，
即，所以，
整理得，
令，，，
所以在上单调递增，则，
综上，面积的取值范围.
19．（1）因为，所以，，
所以切线斜率为，
所以函数的在处的切线方程为，即；
（2）若对，有，转化为，
即对都成立．
设，
因为，所以要使
必须满足，即，所以
下面证明时满足题意：
因为，，所以，
只需要证明即可．
设，
所以，且，．
先研究当时，设，，
因为函数、在上均为单调递减，
则在内单调递减，
又因为，，
所以，使得，
且当时，；当时，．
此时在内单调递增，在内单调递减，
又，，故对任意的，，
则在内单调递增，所以．
综上，当时，，即得，所以得证：
（3）根据题意需要分析，，在上的大小关系．
设，则，
则在区间上单调递减，
所以，即．
令，，所以，，
所以，
所以．
再证明，其中，
设，，
设，
因为函数、在上均为单调递减，
则在区间内单调递减，
因为，，
所以，，使得，
当时，；当时，．
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又因为，，，
，使得，
当时，；当时，．
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减．
因为，，
所以在区间内恒成立．
令，所以，
所以，，， ，，
所以．
对，，所以，
所以
，
所以得证．
综上，

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