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广东省深圳市2024-2025学年八年级下学期数学期末押题预测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春 福田区校级期中）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022春 平谷区期末）已知a＜b，下列不等式中，不正确的是（　　）
A．a+2＜b+2 B．a﹣3＜b﹣3 C．5a＜5b D．﹣6a＜﹣6b
3．（3分）（2023春 龙岗区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的（　　）
A．x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1） B．2（x﹣3y）＝2x﹣6y
C．（x+2）2＝x2+4x+4 D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
4．（3分）（2022春 宜宾期末）分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠﹣2 C．x＞1 D．x＞﹣2且x≠1
5．（3分）（2022 铜仁市校级模拟）如图所示，在四边形ABCD中，已知∠1＝∠2，添加下列一个条件，不能判断四边形ABCD成为平行四边形的是（　　）
A．∠D＝∠B B．AB∥CD C．AD＝BC D．AB＝DC
6．（3分）（2023春 镇海区期末）用反证法证明命题“四边形中，至少有一个内角大于或等于90°”时，首先应假设（　　）
A．四个内角都小于90°
B．至少有一个内角不大于90°
C．至多有一个内角大于90°
D．至多有一个内角不大于90°
7．（3分）（2024 鄞州区校级开学）对于关于x的分式方程，以下说法错误的是（　　）
A．分式方程的增根是x＝0或x＝3
B．若分式方程有增根，则
C．若分式方程无解，则或
D．分式方程的增根是x＝3
8．（3分）（2023春 保定期末）如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A在x轴上，OC＝2，∠AOC＝60°且以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OC于点D、E；再分别以点D、点E为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点F，过点O作射线OF，交BC于点P，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）（2023 台江区模拟）某工程队在合作路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（　　）
A．实际每天比原计划多铺设20米，结果延迟15天完成
B．实际每天比原计划多铺设20米，结果提前15天完成
C．实际每天比原计划少铺设20米，结果提前15天完成
D．实际每天比原计划少铺设20米，结果延迟15天完成
10．（3分）（2024春 市中区校级期末）如图，Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP＝∠ABP，则PE＝（　　）
A． B． C． D．1
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2024春 义乌市期中）因式分解：x2y﹣xy2＝　 　 ．
12．（3分）（2022春 玄武区校级期中）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 　 　 ．
13．（3分）（2023春 东明县期中）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，则关于x的不等式x+b＜kx﹣1的解集为 　 　 ．
14．（3分）（2024 青山区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，D是边BC上的一点，若∠DAC＝30°，3CD＝2BD，则　 　 ．
15．（3分）（2025春 萧山区期中）如图，在平行四边形ABCD中，，E，F分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝3，则AB的长是 　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）（2025 淮北一模）解不等式组．
17．（7分）（2023 抚松县模拟）先化简，再求值：，其中．
18．（7分）（2024春 寿阳县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（请用黑色中性笔描黑）
（2）将△ABC向左平移2个单位，向下平移4个单位，画出平移后对应的△A2B2C2；点A的对应点A2的坐标为 　 　 ，（请用黑色中性笔描黑）
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 　 　 ．
19．（8分）（2023春 泗县期末）某超市用4000元购进某种菌菇销售，由于销售状况良好，超市又调拨10000元资金购进该种菌菇，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了5元，购进菌菇数量是第一次的2倍．
（1）该种菌菇的第一次进价是每千克多少元？
（2）如果这两批菌菇每千克售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每千克菌菇的售价至少是多少元？
20．（8分）（2021春 道里区校级月考）如图，在 ABCD中，连接对角线BD，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AD＝13，AB＝20，BF＝5，求 ABCD的面积．
21．（9分）（2023春 重庆期中）为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书角．七年1班，除了班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些新书．下面是他们的对话内容：
班委A：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵，160元，据我了解这套书进价只有100元．”
班委B：“你可以花20元办一张会员卡，买书可打八折．”
班委C：“嗯，是的．不过我听说还有一种优惠方式，花100元办张贵宾卡，买书打六折．”
（1）班委A上次买的一套书，图书城的利润是　 　 元，利润率是 　 　 ．如果当时他买一张会员卡，可省下 　 　 元．
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠？
（3）三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买方式中，办会员卡购书最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围．
22．（10分）（2022 焦作模拟）（1）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，点D，E分别在边CA，CB上，且CD＝CE＝2，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CF所在直线与线段BD所在直线的位置关系是 　 　 ，线段CF和线段BD的数量关系为 　 　 ．
（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为 　 　 ．
广东省深圳市2024-2025学年八年级下学期数学期末押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春 福田区校级期中）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形，故不符合题意；
选项B不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，故符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
2．（3分）（2022春 平谷区期末）已知a＜b，下列不等式中，不正确的是（　　）
A．a+2＜b+2 B．a﹣3＜b﹣3 C．5a＜5b D．﹣6a＜﹣6b
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a＜b，∴a+2＜b+2，故A不符合题意；
B、∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，故B不符合题意；
C、∵a＜b，∴5a＜5b，故C不符合题意；
D、∵a＜b，∴﹣6a＞﹣6b，故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的性质，要熟练掌握，特别要注意在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
3．（3分）（2023春 龙岗区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的（　　）
A．x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1） B．2（x﹣3y）＝2x﹣6y
C．（x+2）2＝x2+4x+4 D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】因式分解；整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A．x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B．2（x﹣3y）＝2x﹣6y，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．（x+2）2＝x2+4x+4，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．ax+bx+c＝x（a+b）+c，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4．（3分）（2022春 宜宾期末）分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠﹣2 C．x＞1 D．x＞﹣2且x≠1
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+2≠0，
∴x≠﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
5．（3分）（2022 铜仁市校级模拟）如图所示，在四边形ABCD中，已知∠1＝∠2，添加下列一个条件，不能判断四边形ABCD成为平行四边形的是（　　）
A．∠D＝∠B B．AB∥CD C．AD＝BC D．AB＝DC
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；梯形；推理能力．
【答案】D
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，
∵∠D＝∠B，∠1+∠D+∠ACD＝180°，∠2+∠B+∠CAB＝180°，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∵AB＝DC，
∴四边形ABCD可以是等腰梯形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰梯形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
6．（3分）（2023春 镇海区期末）用反证法证明命题“四边形中，至少有一个内角大于或等于90°”时，首先应假设（　　）
A．四个内角都小于90°
B．至少有一个内角不大于90°
C．至多有一个内角大于90°
D．至多有一个内角不大于90°
【考点】反证法；多边形内角与外角．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】A
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【解答】解：反证法证明命题“四边形中，至少有一个内角大于或等于90°”时，首先应假设四个内角都小于90°，
故选：A．
【点评】本题考查的是反证法的应用，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．（3分）（2024 鄞州区校级开学）对于关于x的分式方程，以下说法错误的是（　　）
A．分式方程的增根是x＝0或x＝3
B．若分式方程有增根，则
C．若分式方程无解，则或
D．分式方程的增根是x＝3
【考点】分式方程的增根．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】分式方程的增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，让最简公分母为0即可得到增根，未知数系数为0也使分式方程无解，由此解答即可．
【解答】解：，
方程两边同乘x（x﹣3），得（2m+x）x﹣x（x﹣3）＝2（x﹣3），
即（2m+1）x＝﹣6，
若分式方程有增根，则x＝0或x﹣3＝0，即x＝0或x＝3，
当x＝0时，（2m+1）x＝﹣6，无解；
当x＝3时，6m+3＝﹣6，解得m；
若分式方程无解，则2m+1＝0，解得m；
所以A错误，B、C、D正确，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟知增根的意义是解题的关键．
8．（3分）（2023春 保定期末）如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A在x轴上，OC＝2，∠AOC＝60°且以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OC于点D、E；再分别以点D、点E为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点F，过点O作射线OF，交BC于点P，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质；平行四边形的性质．
【专题】平面直角坐标系；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由作法得OP平分∠AOC，结合平行线的性质证明∠COP＝∠CPO得到CP＝CO＝2，延长BC交y轴于H，可得BC⊥y轴，∠COH＝30°，进而可求得CH＝1，OH，由此即可得到答案．
【解答】解：延长BC交y轴于H，
由题意得：OP平分∠AOC，
∴∠BOP＝∠POA，
∵BC∥OA，
∴∠AOP＝∠CPO，
∴∠COP＝∠CPO，
∴OC＝CP＝2，
∵ OABC的顶点A在x轴上，OC＝2，∠AOC＝60°，
∴BC⊥y轴，∠COH＝30°，
∴CHOC＝1，
∴OH，HP＝HC+PC＝1+2＝3，
∴点P点坐标为，
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
9．（3分）（2023 台江区模拟）某工程队在合作路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（　　）
A．实际每天比原计划多铺设20米，结果延迟15天完成
B．实际每天比原计划多铺设20米，结果提前15天完成
C．实际每天比原计划少铺设20米，结果提前15天完成
D．实际每天比原计划少铺设20米，结果延迟15天完成
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意和题目中的方程，可以写出“×××”表示的缺失的条件．
【解答】解：根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为
实际每天比原计划多铺设20米，结果提前15天完成．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，由已知分式方程可以得到需要补充的内容．
10．（3分）（2024春 市中区校级期末）如图，Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP＝∠ABP，则PE＝（　　）
A． B． C． D．1
【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DP，根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出DE，进而求出PE．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠EAP＝90°，
∵∠EAP＝∠ABP，
∴∠ABP+∠EAP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵D为AB的中点，
∴DPAB＝2，
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，
则BC5，
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，
∴PE＝DE﹣DP，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2024春 义乌市期中）因式分解：x2y﹣xy2＝　xy（x﹣y）　 ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】xy（x﹣y）．
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
【解答】解：原式＝xy（x﹣y），
故答案为：xy（x﹣y）．
【点评】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
12．（3分）（2022春 玄武区校级期中）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 　11　 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】11．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°可知多边形的内角和是180°的倍数，所求出的多边形的边数再加上1即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，除去的内角为α，
则（n﹣2） 180°＝1510°+α，
∵1510°÷180°＝8…70°，
∴n﹣2＝8+1，
解得n＝11，
即这个多边形的边数n的值是11，
故答案为：11．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式得知多边形的内角和是180°的整数倍是解题的关键．
13．（3分）（2023春 东明县期中）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，则关于x的不等式x+b＜kx﹣1的解集为 　x＜﹣1　 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】x＜﹣1．
【分析】观察函数图象得到，当x＜﹣1，函数y1＝x+b的图象都在函数y2＝kx﹣1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b＜kx﹣1的解集．
【解答】解：由图象可知两直线的交点坐标为，且当x＜﹣1，函数y1＝x+b的图象在函数y2＝kx﹣1图象的上方，
∴关于x的不等式x+b＜kx﹣1的解集为x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14．（3分）（2024 青山区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，D是边BC上的一点，若∠DAC＝30°，3CD＝2BD，则　　 ．
【考点】平行线的性质；直角三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】．
【分析】作DE∥AB，证明△DEC∽△BAC，得，求出，得，设CE＝2a，则AC＝5a，AE＝3a，，由勾股定理求出，，问题可求解
【解答】解：作DE∥AB，如图，
∵∠BAC＝120°，∠DAC＝30°，
∴∠BAD＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝90°，
∴∠AED＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∠DEC＝∠BAC＝120°，
在△DEC和△BAC中，
∠BAC＝∠DEC，∠C＝∠C，∠EDC＝∠B，
∴△DEC∽△BAC，
∴，
又BC＝CD+BD，3CD＝2BD，
∴，即，
设CE＝2a，则AC＝5a，
∴AE＝AC﹣CE＝3a，
∴，
∵，
∴，
又3CD＝2BD，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等知识，正确进行运算是解题关键．
15．（3分）（2025春 萧山区期中）如图，在平行四边形ABCD中，，E，F分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝3，则AB的长是 　9　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】9．
【分析】过G点作GM⊥AF于点M，设DE＝BF＝x，由勾股定理求得AM与GM，再证明AF＝EF，用x表示AF，FG，FM，由勾股定理列出x的方程，求得x的值，便可求得AB．
【解答】解：过G点作GM⊥AF于点M，
由折叠知AG＝AD＝3，
∵∠GAF＝45°，
∴∠AGM＝45°，
∴AM＝GMAG＝3，
∵DE＝BF，
∴设DE＝BF＝x，则由折叠性质知，EG＝DE＝BF＝FH＝x，
∵GH＝3，
∴EF＝2x+3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∵∠AED＝∠AEG，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴AF＝EF＝2x+3，
∴AB＝AF+BF＝3x+3，MF＝AF﹣AM＝2x，
由勾股定理得，FG2﹣FM2＝MG2，
即（x+3）2﹣（2x）2＝32，
解得，x＝2或x＝0（舍），
∴AB＝3x+3＝9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键在于构造直角三角形，运用勾股定理列出方程，运用方程的思想解决几何问题．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）（2025 淮北一模）解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1≤x＜4．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式得：x≥1，
解不等式得：x＜4，
∴不等式组的解集为1≤x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（7分）（2023 抚松县模拟）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】，．
【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后与第二项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式
，
当x2时，
原式．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（7分）（2024春 寿阳县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（请用黑色中性笔描黑）
（2）将△ABC向左平移2个单位，向下平移4个单位，画出平移后对应的△A2B2C2；点A的对应点A2的坐标为 　（﹣5，﹣2）　 ，（请用黑色中性笔描黑）
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 　（﹣1，﹣2）　 ．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）作图见详解；
（2）作图见详解，A2（﹣5，﹣2）；
（3）（﹣1，﹣2）．
【分析】（1）分别作出三个顶点绕点O旋转180°所得对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据已知可得平移过程，将三个顶点分别向左平移2个单位、向下平移4个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可，A2的坐标即可求；
（3）连接B1B2，C1C2，与的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：
∴A2的坐标为（﹣5，﹣2），
故答案为：（﹣5，﹣2）；
（3）连接B1B2，C1C2，
由图可知交点为（﹣1，﹣2），即旋转中心的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】本题主要考查作图—平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质．
19．（8分）（2023春 泗县期末）某超市用4000元购进某种菌菇销售，由于销售状况良好，超市又调拨10000元资金购进该种菌菇，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了5元，购进菌菇数量是第一次的2倍．
（1）该种菌菇的第一次进价是每千克多少元？
（2）如果这两批菌菇每千克售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每千克菌菇的售价至少是多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）该种菌菇的第一次进价是每千克20元；
（2）每千克菌菇的售价至少是28元．
【分析】（1）设该种菌菇的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（x+5）元，根据第二次购进菌菇数量是购进菌菇数量是第一次的2倍，列出方程，解方程即可；
（2）设每千克菌菇的售价是y元，根据全部售完后总利润不低于20%列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设该种菌菇的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（x+5）元，根据题意得：
，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，且符合实际，
答：该种菌菇的第一次进价是每千克20元；
（2）设每千克菌菇的售价是y元，根据题意得：
，
解得：y≥28，
答：每千克菌菇的售价至少是28元．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程或根据不等关系列出不等式，准确计算．
20．（8分）（2021春 道里区校级月考）如图，在 ABCD中，连接对角线BD，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AD＝13，AB＝20，BF＝5，求 ABCD的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）252．
【分析】（1）证明△AED≌△CFB（AAS），得AE＝CF，再证明AE∥CF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得DE＝BF＝5，再由勾股定理得AE＝12，BE＝16，则BD＝DE+BE＝21，然后由菱形的性质和三角形面积公式列式计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，AE∥CF，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，△AED≌△CFB，
∴DE＝BF＝5，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴AE12，
∴BE16，
∴BD＝DE+BE＝5+16＝21，
∴ ABCD的面积＝2S△ABD＝2BD AE＝BD AE＝21×12＝252．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．（9分）（2023春 重庆期中）为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书角．七年1班，除了班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些新书．下面是他们的对话内容：
班委A：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵，160元，据我了解这套书进价只有100元．”
班委B：“你可以花20元办一张会员卡，买书可打八折．”
班委C：“嗯，是的．不过我听说还有一种优惠方式，花100元办张贵宾卡，买书打六折．”
（1）班委A上次买的一套书，图书城的利润是　60　 元，利润率是 　60%　 ．如果当时他买一张会员卡，可省下 　12　 元．
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠？
（3）三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买方式中，办会员卡购书最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围．
【考点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）60；60%；12；
（2）400元；
（3）大于100元且少于400元．
【分析】（1）利用利润＝售价﹣进价，可求出图书城的利润；利用利润率100%，可求出利润率；利用节省的钱数＝原价﹣（原价×折扣率+办卡费用），可求出购买会员卡后可节省的钱数；
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为x元时，办贵宾卡后购买所需总费用为（100+0.6x）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8x）元，根据办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）当购书的总价（指未打折前的原价）为y元时，办贵宾卡后购买所需总费用为（100+0.6y）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8y）元，根据办会员卡购书最省钱，可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）图书城的利润是160﹣100＝60（元）；
利润率是100%＝60%；
购买会员卡后可节省160﹣（160×0.8+20）＝12（元）．
故答案为：60；60%；12；
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为x元时，办贵宾卡后购买所需总费用为（100+0.6x）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8x）元，
根据题意得：100+0.6x＝20+0.8x，
解得：x＝400．
答：当购书的总价（指未打折前的原价）为400元时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠；
（3）当购书的总价（指未打折前的原价）为y元时，办贵宾卡后购买所需总费用为（100+0.6y）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8y）元，
根据题意得：，
解得：100＜y＜400．
答：当购书的总价（指未打折前的原价）大于100元且少于400元时，办会员卡购书最省钱．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22．（10分）（2022 焦作模拟）（1）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，点D，E分别在边CA，CB上，且CD＝CE＝2，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CF所在直线与线段BD所在直线的位置关系是 　CF⊥BD　 ，线段CF和线段BD的数量关系为 　BD＝2CF　 ．
（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为 　或　 ．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）CF⊥BD，BD＝2CF；
（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；
（3）或．
【分析】（1）证明△ACE≌△BCD（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝BD，∠CAE＝∠DBC，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）延长CF至M，使FM＝FC，连接AM，则CM＝2CF，证明△AFM≌△EFC（SAS），由全等三角形的性质得出∠M＝∠FCE，AM＝CE，证明△MAC≌△DCB（SAS），由全等三角形的性质得出DB＝CM＝2CF，∠ACM＝∠CBD，则可得出结论；
（3）分两种情形：如图3中，当点E在线段BD上时，如图4中，当点E在线段BD的延长线上时，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质分别求解即可．
【解答】解：（1）在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠DBC，
∵F为AE的中点，
∴CFAE，
∴BD＝2CF，
∵AF＝CF＝EF，
∴∠CAF＝∠ACF，
∵∠DCB＝90°，
∴∠CBD+∠CDB＝90°，
∴∠CDB+∠ACF＝90°，
∴∠DGC＝90°，
∴CF⊥BD，
故答案为：CF⊥BD，BD＝2CF．
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由如下：延长CF至M，使FM＝FC，连接AM，延长线段BC至N，则CM＝2CF，
∵F是AE的中点，
∴AF＝EF，
∵∠AFM＝∠EFC，
∴△AFM≌△EFC（SAS），
∴∠M＝∠FCE，AM＝CE，
∴AM∥CE，
∴∠MAC+∠ACE＝180°，
∴∠MAC＝180°﹣∠ACE，
又∵△DCE和△ACB均为等腰直角三角形，
∴DC＝CE，AC＝CB，
∴AM＝CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACN＝90°＝∠ACD+∠DCN＝∠ACD+∠ACE，
∴∠DCN＝∠ACE，
∴∠MAC＝∠DCB，
∴△MAC≌△DCB（SAS），
∴DB＝CM＝2CF，∠ACM＝∠CBD，
∵∠ACM+∠MCB＝90°，
∴∠CBD+∠MCB＝90°，
∴∠CGB＝90°，
∴BD⊥CF；
∴（1）中的结论：BD＝2CF，BD⊥CF仍然成立
（3）如图3中，当点E在线段BD上时，延长CF至M，使FM＝FC，连接AM，则CM＝2CF，
∵△AMC≌△CDB，
∴CM＝BD，
在Rt△DCE中，CD＝CE＝2，
∴DECD＝2，
∵CG⊥DE，
∴CGDE，
在Rt△CGB中，CB＝6，CG，
∴BG，
∴BD＝BG+DG，
∴CFCM，
如图4中，当点E在线段BD的延长线上时，同法可得CFCM．
综上所述，满足条件的CF的值为或．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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