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广东省深圳市2024-2025学年八年级下学期数学期末押题预测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025 哈尔滨模拟）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2021春 岳西县期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣2 B．x≠﹣2或x≠3 C．x≠3 D．x≠﹣2且x≠3
3．（3分）（2024春 东源县校级期中）下列说法一定正确的是（　　）
A．若ac2＝bc2，则a＝b
B．若ac＞bc（c＞0），则a＜b
C．若a＞b，则ac2＞bc2
D．若a＜b，则a（c2+1）＜b（c2+1）
4．（3分）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（a+b）＝a2+ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣4
5．（3分）（2022春 涪陵区期末）不等式x≥﹣1的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022 青山区模拟）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转a°，得到△AED，若点D恰好在CB的延长线上，则∠BDE等于（　　）
A． B．a C．a D．180°﹣a
7．（3分）（2023 长清区校级开学）如图，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E、F两点，作直线EF；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点G、H，再分别以点G、H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝8，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为（　　）
A．2 B．3 C． D．2
8．（3分）（2024秋 南海区校级月考）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为（　　）
A．∠C+∠A＝∠B B．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
C．c2+b2＝a2 D．a：b：c＝2：2：3
9．（3分）（2024春 华阴市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝2，∠ACB＝30°，则BD的长是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）（2025 西青区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，将△ABC沿AC所在直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，若∠ACB＝45°，，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AE+B′E＝AC B． C．B′C⊥AD D．∠D＝45°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2024 槐荫区三模）因式分解：m2﹣2m+1＝　 　 ．
12．（3分）（2022 顺义区二模）若代数式的值为0，则实数x的值为 　 　 ．
13．（3分）（2024 亭湖区模拟）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AD平分∠BAC，且AD⊥CD于点D．若AB＝6，AC＝3，则DE的长为 　 　 ．
14．（3分）（2024春 溆浦县期中）求图形中x的值为 　 　 °．
15．（3分）（2025春 武进区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，现将点A绕点C顺时针旋转90°至D点，连接CD，则△BCD的面积为 　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）（2023 青秀区校级模拟）解不等式组：
17．（6分）（2023春 开福区校级期末）先化简，再求代数式的值，其中．
18．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点O，△ABC的顶点A，B，C均在格点（网格线的交点）上．（1）把△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1；
（2）在图中画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
19．（8分）（2023春 福田区期中）我校为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买1副羽毛球拍的费用是购买1副乒乓球拍费用的2倍，350元全部购买羽毛球拍的数量比全部购买乒乓球拍的数量少5副．
（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
（2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．
20．（8分）（2024秋 西城区校级月考）在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足DE＝EF，且∠DEF＝60°．作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG．
（1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形；
（2）如图2，当AD＜BD，∠BDE＝15°时，写出线段AB和DE的数量关系，并说明理由．
21．（10分）（2023 平远县一模）综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．
（1）操作发现：
如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若△ABC的面积为12，BC＝6，则此完美长方形的边长FG＝　 　 ，面积为 　 　 ．
（2）类比探究：
如图2，将 ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若 ABCD的面积为20，BC＝5，求完美长方形AEFG的周长．
（3）拓展延伸：
如图3，将 ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF：EH＝3：4，AD＝15，则此完美长方形的周长为 　 　 ，面积为 　 　 ．
22．（10分）（2022春 巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且△ABC面积为60．
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）若M为线段BC上一点，直线AM把△ABC的面积分成两部分，这两部分的面积之比为1：2，求M的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△ABM的面积为20时，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
广东省深圳市2024-2025学年八年级下学期数学期末押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025 哈尔滨模拟）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可．
【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2．（3分）（2021春 岳西县期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣2 B．x≠﹣2或x≠3 C．x≠3 D．x≠﹣2且x≠3
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由分式有意义的条件可知：x﹣3≠0，
∴x≠3，
故选：C．
【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
3．（3分）（2024春 东源县校级期中）下列说法一定正确的是（　　）
A．若ac2＝bc2，则a＝b
B．若ac＞bc（c＞0），则a＜b
C．若a＞b，则ac2＞bc2
D．若a＜b，则a（c2+1）＜b（c2+1）
【考点】不等式的性质．
【专题】整式；推理能力．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A．当c＝0时，ac2＝bc2，即a与b不一定相等，故本选项不符合题意；
B．若ac＞bc（c＞0），则a＞b，故本选项不符合题意；
C．若a＞b，当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项不符合题意；
D．若a＜b，则a（c2+1）＜b（c2+1），说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（a+b）＝a2+ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣4
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义进行判断作答即可．
【解答】解：A中a（a+b）＝a2+ab，不是因式分解，故不符合要求；
B中（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，不是因式分解，故不符合要求；
C中x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，是因式分解，故符合要求；
D中x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣4，不是因式分解，故不符合要求；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
5．（3分）（2022春 涪陵区期末）不等式x≥﹣1的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；符号意识．
【答案】B
【分析】将不等式x≥﹣1的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式x≥﹣1的解集在数轴上表示为：
故选：B．
【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．
6．（3分）（2022 青山区模拟）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转a°，得到△AED，若点D恰好在CB的延长线上，则∠BDE等于（　　）
A． B．a C．a D．180°﹣a
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质得出∠CAB＝α°，CA＝AD，∠ADE＝∠C，再根据等腰三角形的性质得出，∠C＝∠ACD，从而求出∠BDE．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转a°，得到△AED，
∴∠CAD＝α°，CA＝AD，∠ADE＝∠C，
∴∠C＝∠ACD（180°﹣α°），
∴∠BDE＝180°﹣α°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟练应用旋转的性质得出有关相等的角、相等的边是解题关键．
7．（3分）（2023 长清区校级开学）如图，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E、F两点，作直线EF；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点G、H，再分别以点G、H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝8，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为（　　）
A．2 B．3 C． D．2
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠AOB的平分线，利用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质的求解即可．
【解答】解：根据题意可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠BAC的平分线，
∵AB＝8，∠BAC＝60°，
∴∠BAO＝∠CAO∠BAC＝30°，ADAB＝4，
∴AM＝2MD，
在Rt△ADM中，（2MD）2＝MD2+AD2，
即4MD2＝MD2+42，
∴MD，
∵AM是∠AOB的平分线，MD⊥AB，
∴点M到射线AC的距离为．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意灵活运用基本作图的知识解决问题．
8．（3分）（2024秋 南海区校级月考）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为（　　）
A．∠C+∠A＝∠B B．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
C．c2+b2＝a2 D．a：b：c＝2：2：3
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】利用勾股定理逆定理及有一个角是直角的三角形进行判定即可．
【解答】解：∵∠C+∠A＝∠B，∠C+∠A+∠B＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
∵c2+b2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
∵a：b：c＝2：2：3，
∴设a＝2k，b＝2k，c＝3k，
∵a2+b2＝4k2+4k2＝8k2≠c2＝9k2，
∴△ABC不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了直勾股定理逆定理及三角形内角和定理，熟记直角三角形的判定，勾股定理逆定理及三角形内角和定理是解题的关键．
9．（3分）（2024春 华阴市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝2，∠ACB＝30°，则BD的长是（　　）
A． B． C． D．
【考点】平行四边形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质得BO＝DO，AO＝CO，再由直角三角形的性质求出BC的长，由勾股定理求出AC的长，进而得出AO的长，然后由勾股定理求出OB的长，即可得出结论．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝2，∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝4，
∴AC2，
∴AOAC，
∴OB，
∴BD＝2OB＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
10．（3分）（2025 西青区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，将△ABC沿AC所在直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，若∠ACB＝45°，，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AE+B′E＝AC B． C．B′C⊥AD D．∠D＝45°
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】利用翻折变换以及平行四边形的性质一一判断即可．
【解答】解：由翻折变换的性质可知∠ACB＝∠ACB′＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠EAC＝∠ACB＝45°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴∠AEC＝90°，
∴B′C⊥AD，故选项C正确，
∵AC，
∴AE＝EC，故选项B错误，
∵AE+B′E＝EC+B′E＝CB′＝CB，故选项A错误，
无法判断∠D＝45°，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查翻折变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2024 槐荫区三模）因式分解：m2﹣2m+1＝　（m﹣1）2　 ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；应用意识．
【答案】（m﹣1）2．
【分析】根据完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，
故答案为：（m﹣1）2．
【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
12．（3分）（2022 顺义区二模）若代数式的值为0，则实数x的值为 　2　 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据分式值为零的条件列方程和不等式求解．
【解答】解：由题意可得，
解得：x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件（分子为零，且分母不等于零）是解题关键．
13．（3分）（2024 亭湖区模拟）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AD平分∠BAC，且AD⊥CD于点D．若AB＝6，AC＝3，则DE的长为 　　 ．
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；推理能力．
【答案】．
【分析】延长CD，交AB于点F，证明△FAD≌△CAD，根据全等三角形的性质得到AF＝AC＝6，CD＝DF，进而求出FB，再根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：如图，延长CD，交AB于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠CAD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADF＝∠ADC＝90°，
在△FAD和△CAD中，
，
∴△FAD≌△CAD（ASA），
∴AF＝AC＝3，CD＝DF，
∵AB＝6，
∴BF＝AB﹣AF＝6﹣3＝3，
∵CD＝DF，CE＝EB，
∴DE是△BFC的中位线，
∴DEFB3，
故答案为：．
【点评】此题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形求出CD＝DF是解题的关键．
14．（3分）（2024春 溆浦县期中）求图形中x的值为 　115　 °．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】115．
【分析】根据多边形的内角和公式列方程求解即可得到答案．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（5﹣2）×180°，
∴x+（x+20°）+70°+x+（x﹣10°）＝540°，
∴4x＝460°，
∴x＝115°．
故答案为：115．
【点评】本题考查了多边形内角和公式，解一元一次方程，属于基础题型，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式：n变形内角和等于（n﹣2） 180°．
15．（3分）（2025春 武进区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，现将点A绕点C顺时针旋转90°至D点，连接CD，则△BCD的面积为 　8　 ．
【考点】旋转的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】8．
【分析】根据题意，过点D作DE⊥BC交BC延长线于E，证明△ABC≌△CED（AAS），则有DE＝BC＝4，由此即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，将点A绕点C顺时针旋转90°至D点，
∴CA＝CD，∠ACD＝90°，
过点D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图，
∴∠CAB+∠ACB＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠CAB＝∠DCE，
在Rt△ABC和Rt△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴DE＝BC＝4，
∴，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形的面积，掌握证明三角形全等，得出边的长度是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）（2023 青秀区校级模拟）解不等式组：
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】不等式组的解集为x＜3．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得x＜3，
解不等式②，得x＜7，
∴不等式组的解集为x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（6分）（2023春 开福区校级期末）先化简，再求代数式的值，其中．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【解答】解：
＝[]

，
当时，原式．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
18．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点O，△ABC的顶点A，B，C均在格点（网格线的交点）上．（1）把△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1；
（2）在图中画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）先作出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）先作出点A、B、C关于点O的对称点A2、B2、C2，然后顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题主要考查了平移作图和作关于原点的对称图形，解题的关键是作出点A、B、C的对应顶点．
19．（8分）（2023春 福田区期中）我校为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买1副羽毛球拍的费用是购买1副乒乓球拍费用的2倍，350元全部购买羽毛球拍的数量比全部购买乒乓球拍的数量少5副．
（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
（2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）购买一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球需70元；
（2）当购买羽毛球拍的数量少于20副时，选项方案B更实惠；当当购买羽毛球拍的数量等于20副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于20副且不超过40副时，选项方案A更实惠．
【分析】（1）设购买一副乒乓球拍需x元，则购买一副羽毛球拍需2x元，根据350元全部购买羽毛球拍的数量比全部购买乒乓球拍的数量少5副．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买m（0＜m≤40且m为整数）副羽毛球拍，则选择方案A所需总费用为2800元，选项方案B所需总费用为（28m+2240）元，再分2800＞28m+2240，2800＝28m+2240及2800＜28m+2240三种情况，即可求出m的取值范围或m的值，此题得解．
【解答】解：（1）设购买一副乒乓球拍需x元，则购买一副羽毛球拍需2x元，
由题意得：5，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×35＝70，
答：购买一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球拍需70元；
（2）设购买m（0＜m≤40且m为整数）副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍（80﹣m）副，
选择方案A所需总费用为：70m+35（80﹣2m）＝2800（元），
选项方案B所需总费用为：[70m+35（80﹣m）]×0.8＝（28m+2240）（元），
当2800＞28m+2240时，m＜20，
∵m＞0，
∴0＜m＜20；
当2800＝28m+2240时，m＝20；
当2800＜28m+2240时，m＞20，
∵m≤40，
∴20＜m≤40．
答：当购买羽毛球拍的数量少于20副时，选项方案B更实惠；当当购买羽毛球拍的数量等于20副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于20副且不超过40副时，选项方案A更实惠．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
20．（8分）（2024秋 西城区校级月考）在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足DE＝EF，且∠DEF＝60°．作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG．
（1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形；
（2）如图2，当AD＜BD，∠BDE＝15°时，写出线段AB和DE的数量关系，并说明理由．
【考点】平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2），理由见解答过程．
【分析】（1）依题意补全图形，连接EG，先根据轴对称的性质及等边三角形的性质得CE＝CG，∠A＝∠ACB＝∠ACG＝60°，则AB∥CG，再证明△BED和△CFE全等得BD＝CE＝CG，由此即可得出结论；
（2）作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG，DF，GF，由（1）可知四边形BCGD平行四边形，△BED≌△CFE，则DG＝BC＝AB，∠BDE＝∠CEF＝15°，则∠EFC＝105°，再根据轴对称的性质得EF＝GF，∠EFC＝∠GFC＝105°，证明△DEF为等边边三角形得DE＝EF＝DF，∠DFE＝60°，则DE＝DF＝FG，∠DFG＝90°，则△DFG为等腰直角三角形，进而得，由此可得线段AB和DE的数量关系．
【解答】（1）证明：依题意补全图形，连接EG，如图1所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵点E，G关于AC对称，
∴AC是线段EG的垂直平分线，
∴CE＝CG，∠ACG＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠ACG＝60°，
∴AB∥CG，
即BD∥CG，
∵∠DEF＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠BED+∠CEF＝120°，∠CFE+∠CEF＝120°，
∴∠BED＝∠CFE，
在△BED和△CFE中，
，
∴△BED≌△CFE（AAS），
∴BD＝CE，
∴BD＝CG，
又∵BD∥CG，
∴四边形DBCG是平行四边形；
（2）解：线段AB和DE的数量关系是：，理由如下：
作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG，DF，GF，如图2所示：
由（1）可知四边形BCGD平行四边形，△BED≌△CFE，
∴DG＝BC，∠BDE＝∠CEF＝15°，
∴DG＝AB，
∴∠EFC＝180°﹣（∠CEF+∠ACB）＝180°﹣（15°+60°）＝105°，
∵点E，G关于AC对称，
∴EF＝GF，∠EFC＝∠GFC＝105°，
∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF为等边边三角形，
∴DE＝EF＝DF，∠DFE＝60°，
∴DE＝DF＝FG，∠DFG＝360°﹣（∠DFE+∠EFC+∠GFC）＝360°﹣（60°+105°+105°）＝90°，
∴△DFG为等腰直角三角形，
有勾股定理得：DG，
∴．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，理解轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
21．（10分）（2023 平远县一模）综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．
（1）操作发现：
如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若△ABC的面积为12，BC＝6，则此完美长方形的边长FG＝　3　 ，面积为 　6　 ．
（2）类比探究：
如图2，将 ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若 ABCD的面积为20，BC＝5，求完美长方形AEFG的周长．
（3）拓展延伸：
如图3，将 ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF：EH＝3：4，AD＝15，则此完美长方形的周长为 　42　 ，面积为 　108　 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】新定义；矩形 菱形 正方形；展开与折叠；推理能力．
【答案】（1）3，6；
（2）13；
（3）42，108．
【分析】（1）由折叠可知点H是AC中点，DF+DG＝BF+CG＝3，过点A作AM⊥BC于M，根据三角形ABC面积求AM的长，由AM∥GH，点H是AC中点可知GH是△ACM中位线，得到 进而求完美长方形面积；
（2）根据折叠可知，EH＝BE，CF＝FH，从而可得 ，根据平行四边形ABCD面积可求得AE的长为4进而可求周长；
（3）由折叠可证点E，G分别是AB，CD中点，进一步可证四边形ADGE是平行四边形，所以EG＝AD＝15，即长方形EFGH对角线长为15，设EF＝3x，EH＝4x，根据勾股定理得到方程，解出x，从而可得完美长方形的边长和宽，最后求周长面积即可．
【解答】解：（1）由折叠可知，BF＝DF，CG＝DG，AH＝DH＝CH，
∴DF+DG＝BF+CG，点H是AC中点，
∵2DF+2DG＝BC＝6，
∴DF+DG＝3，
即FG＝3，
过点A作AM⊥BC于M，
∵四边形EHGF是矩形，
∴HG⊥BC，
∴HG∥AM，
∴G是CM中点，
∴，
∵，
∴AM＝4，
∴，
∴完美长方形的面积为3×2＝6，
故答案为：3，6；
（2）由折叠可知BE＝HE，CF＝HF，
∴，
同理可知S△ABE＝S△AHE，S四边形AHFG＝S四边形DCFG，
∴长方形AEFG的面积为20÷2＝10，
∴，
∴长方形AEFG的周长为；
（3）由折叠可证点E，G分别是AB，CD的中点，
∴，
由题意知AB＝CD，AB∥CD，
∴AE＝DG，AE∥DG，
∴AEGD为平行四边形，
∴AD＝EG＝HF，
在Rt△HEF中，设EF＝3x，则EH＝4x，
由勾股定理得：HF＝5x，
又∵5x＝15，
∴x＝3，
∴EF＝9，EH＝12，
∴周长为：2（9+12）＝42，
面积为：9×12＝108，
故答案为：42，108．
【点评】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定等知识，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
22．（10分）（2022春 巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且△ABC面积为60．
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）若M为线段BC上一点，直线AM把△ABC的面积分成两部分，这两部分的面积之比为1：2，求M的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△ABM的面积为20时，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；分类讨论；一次函数及其应用；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）C（7，0），；
（2）M的坐标为（，）或（，）；
（3）存在，满足条件的点D的坐标为（13，0）或（﹣23，0）或（1，0）．
【分析】（1）根据题意求出A、B点的坐标，再根据△ABC的面积即可求出C点坐标，最后根据B、C点的坐标用待定系数法求的直线BC函数解析式即可；
（2）分两种情况，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）求出直线AM的表达式，分三种情形：①当BC为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时，②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四边形时，③当BC为平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）直线y＝2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣5，0），B（0，10），
即OA＝5，OB＝10，
∵△ABC面积为60，
∴，
∴OC＝7，
∴C（7，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
∴直线BC的表达式为：；
（2）令，
∵A（﹣5，0），C（7，0），
∴AC＝12，
①当时，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②若当时，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，M的坐标为（，）或（，）；
（3）当△ABM的面积为20时，△ABCM的面积为60﹣20＝40，
由（2）知，此时M（，），
设直线AM的表达式为y＝k′x+b′，
将点A、M的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
∴直线AM的表达式为：yx．
①当BC为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时，如图：
∵B（0，10），BE∥CD，BE＝CD，
∴点E的纵坐标是10，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：yx．
∴x10，解得：x＝6，
∴E （6，10），
∴BE＝CD＝6，
∵C（7，0），
∴D（13，0）；
②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四边形时，如图：过点E作EF⊥x轴于F，
∵四边形BDEC为平行四边形，
∴BC＝ED，∠DBC＝∠CED，BD＝EC，
∴△BDC≌△ECD（SAS），
∴EF＝OB，
∵B（0，10），
∴EF＝OB＝10，
∴点E的纵坐标是﹣10，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：yx．
∴x10，解得：x＝﹣16，
∴OF＝16，
在Rt△BOC和Rt△EFD中，
，
∴Rt△BOC≌Rt△EFD（HL），
∴DF＝OC，
∵C（7，0），
∴DF＝7，
∴OD＝7+16＝23，
∴D（﹣23，0）；
③当BC为平行四边形的对角线时，
∵B（0，10），BE∥CD，BE＝CD，
∴点E的纵坐标是10，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：yx．
∴x10，解得：x＝6，
∴E （6，10），
∴BE＝CD＝6，
∵C（7，0），
∴D（1，0）．
综上，存在，满足条件的点D的坐标为（13，0）或（﹣23，0）或（1，0）．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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