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广东省深圳市2024-2025学年七年级下学期数学期末押题预测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022 平江县一模）在实数2，，，1.41中，是无理数的是（　　）
A．2 B． C． D．1.41
2．（3分）（2022秋 大悟县期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2023春 东方校级月考）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0009mm，0.0009用科学记数法表示为（　　）
A．0.9×10﹣3 B．9×10﹣3 C．9×10﹣4 D．9×10﹣5
4．（3分）（2024春 东丽区期中）的平方根为（　　）
A．7 B．±7 C． D．
5．（3分）（2022秋 蒲江县校级期中）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，不能组成直角三角形的是（　　）
A．三边之比a：b：c＝1：1：
B．a2＝3，b2＝4，c2＝5
C．三角之比∠A：∠B：∠C＝1：2：3
D．b2＝（a+c）（a﹣c）
6．（3分）下列条件中，不能判定△ABC≌△A'B'C'的是（　　）
A．∠A＝∠A，∠C＝∠C，AC＝A'C'
B．∠C＝∠C'＝90°，BC＝B'C'，AC＝A'C'
C．∠A＝∠A'＝80°，∠B＝60°，∠C'＝40°，AB＝A'B'
D．∠A＝∠A，BC＝B'C'，AB＝A'B'
7．（3分）（2023春 武侯区期末）如图，已知长方形菜园ABCD一边靠墙，另外三边是用长为24米的篱笆围成，设BC＝x米，AB＝y米，则y与x之间的关系式为（　　）
A．y＝2x﹣24 B．y＝﹣2x+12 C． D．
8．（3分）（2024秋 市中区期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝48°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．36° D．40°
9．（3分）（2018春 郧阳区期末）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180km，货车的速度为60km/h，小汽车的速度为90km/h，则图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（km）与各自行驶时间t（h）之间的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）（2023秋 同安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC的中点．若BC＝5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．12 D．24
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）若实数p、q、m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足p+q+m+n＝0，则绝对值最小的数是 　 　 ．
12．（3分）（2020秋 南岗区校级月考）已知a+b＝3，ab＝﹣5，则a2+b2的值为 　 　 ．
13．（3分）（2023春 朝阳区校级期中）如果等腰三角形的一边长是4cm，另一边长是9cm，那么这个等腰三角形的周长是 　 　 cm．
14．（3分）（2021春 南岗区校级月考）已知D为△ABC内一点，AD＝CD，∠ADC＝2∠DBC，S△BCD＝5，BC＝10，则AB的长是 　 　 ．
15．（3分）（2024秋 禅城区校级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为8cm，底面周长为12cm，那么最短的路线长是　 　 cm．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（8分）（2025春 龙湾区期中）（1）计算：（2025）0+（﹣1）2﹣2﹣1；
（2）化简：（2a﹣3）（3a+1）﹣a（a﹣2）．
17．（6分）（2023春 隆回县期末）化简求值：（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1），其中x＝﹣1．
18．（6分）（2024秋 温州期中）如图1，已知△ABC，过点C作CD∥AB，且CD＝BC．用尺规作△ECD≌△ABC，E是边BC上一点．
小瑞：如图2．以点C为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，则△ECD≌△ABC．
小安：以点D为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，则△ECD≌△ABC．
小瑞：小安，你的作法有问题．
小安：哦…我明白了!
（1）指出小安作法中存在的问题．
（2）证明：△ECD≌△ABC．
19．（7分）（2023春 西安期末）已知一个布袋里装有5个黑球，7个白球和4个蓝球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，求下面各事件的概率：
（1）摸出红球的概率；
（2）摸出蓝球的概率；
（3）摸出不是白球的概率．
20．（8分）（2023春 康县期末）某游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设入场次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）当入场次数为多少时，甲、乙两种消费卡所需费用相同；
（3）红红现在有300元，选择哪种消费卡入场次数更多？
21．（10分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，CD与BE相交于点O，若∠DCB＝∠EBC∠A．
（1）请你写出图中一个与∠A相等的角；
（2）猜想BD与CE的数量关系并证明．
22．（10分）（2024 如皋市校级模拟）如图1．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿线段BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t秒．
（1）如图1，EF与CD边交于点M，当．DM＝EM时，求t的值；
（2）如图2，当点F恰好落在对角线AC上时，求t的值；
（3）当点E从点B运动到点C时，求点F的运动路径长．
广东省深圳市2024-2025学年七年级下学期数学期末押题预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022 平江县一模）在实数2，，，1.41中，是无理数的是（　　）
A．2 B． C． D．1.41
【考点】无理数；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：2是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
1.41是有限小数，属于有理数；
是无理数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）（2022秋 大悟县期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此作答．
【解答】解：由各选项可得：A，B，C都是轴对称图形，只有选项D不是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．
3．（3分）（2023春 东方校级月考）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0009mm，0.0009用科学记数法表示为（　　）
A．0.9×10﹣3 B．9×10﹣3 C．9×10﹣4 D．9×10﹣5
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
【解答】解：0.0009＝9×10﹣4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）（2024春 东丽区期中）的平方根为（　　）
A．7 B．±7 C． D．
【考点】算术平方根；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】先化简，再根据平方根的定义得到答案．
【解答】解：∵，7的平方根是，
∴的平方根是，
故选：C．
【点评】此题考查了算术平方根的化简，求一个数的平方根，熟记化简算术平方根及平方根的定义是解题的关键．
5．（3分）（2022秋 蒲江县校级期中）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，不能组成直角三角形的是（　　）
A．三边之比a：b：c＝1：1：
B．a2＝3，b2＝4，c2＝5
C．三角之比∠A：∠B：∠C＝1：2：3
D．b2＝（a+c）（a﹣c）
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力；应用意识．
【答案】B
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、因为a：b：c＝1：1：，设a＝x，b＝x，cx，x2+x2＝（x）2，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为a2＝3，b2＝4，c2＝5，所以a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形，此选项符合题意；
C、因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝90°，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
D、因为b2＝（a+c）（a﹣c），所以c2+b2＝a2，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
6．（3分）下列条件中，不能判定△ABC≌△A'B'C'的是（　　）
A．∠A＝∠A，∠C＝∠C，AC＝A'C'
B．∠C＝∠C'＝90°，BC＝B'C'，AC＝A'C'
C．∠A＝∠A'＝80°，∠B＝60°，∠C'＝40°，AB＝A'B'
D．∠A＝∠A，BC＝B'C'，AB＝A'B'
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：A．∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，AC＝A′C′，根据“ASA”可判断“△ABC≌△A′B′C′，所以A选项不符合题意；
B．∠C＝∠C'＝90°，BC＝B'C'，AC＝A'C'，根据“SAS”可判断“△ABC≌△A′B′C′，所以B选项不符合题意；
C．∠A＝∠A′＝80°，∠B＝60°，∠C′＝40°，则∠B′＝60°，AB＝A′B′，根据“ASA”可判断“△ABC≌△A′B′C′，所以C选项不符合题意；
D．由∠A＝∠A′，BC＝B′C′，AB＝A′B′不能判断“△ABC≌△A′B′C′，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
7．（3分）（2023春 武侯区期末）如图，已知长方形菜园ABCD一边靠墙，另外三边是用长为24米的篱笆围成，设BC＝x米，AB＝y米，则y与x之间的关系式为（　　）
A．y＝2x﹣24 B．y＝﹣2x+12 C． D．
【考点】函数关系式．
【专题】常规题型；能力层次．
【答案】D
【分析】根据菜园三边和为24m，可得到2y+x＝24，变形即可得出y与x关系式．
【解答】解：由题意可知：AB+DC+BC＝24米，
设BC＝x米，AB＝y米，
则有2y+x＝24，
变形的得：yx+12．
故选：D．
【点评】本题考查用关系式表示变量之间的关系，找出题中的数量关系是解题关键．
8．（3分）（2024秋 市中区期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝48°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．36° D．40°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC＝DA，得到∠DCA＝∠A＝48°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DC＝DA，
∴∠DCA＝∠A＝48°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠DCA＝48°，
∴∠B＝180°﹣48°﹣48°﹣48°＝36°，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．（3分）（2018春 郧阳区期末）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180km，货车的速度为60km/h，小汽车的速度为90km/h，则图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（km）与各自行驶时间t（h）之间的函数图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．
【专题】压轴题；推理能力．
【答案】C
【分析】根据出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米；经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故而得出答案．
【解答】解：由题意得出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，理解题意并正确判断辆车与乙地的距离是解题关键．
10．（3分）（2023秋 同安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC的中点．若BC＝5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．12 D．24
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力；模型思想．
【答案】C
【分析】连接AP，AH，先求出BH的长．由于△ABC是等腰三角形，点H是BC边的中点，故AH⊥BC，再根据勾股定理求出AH的长，由MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线MN的对称点为点A，可推出AH的长为PB+PH的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AP，AH，如图所示：
∵AB＝AC，点H为BC中点，
∴AH⊥BC，
∴△ABC的面积是30，
∴BC AH＝30，
∵BC＝5，
∴AH＝12，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线MN的对称点为点A，
∴AP＝BP，
∴PB+PH＝PA+PH≥AH，
∴AH的长为PB+PH的最小值，
∴PB+PH的最小值为12．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等腰三角形的性质，能将两线段的和的最小值用一条线段的长表示是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）若实数p、q、m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足p+q+m+n＝0，则绝对值最小的数是 　m　 ．
【考点】实数大小比较；绝对值；实数与数轴．
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】m．
【分析】由实数p、q、m、n在数轴上的对应点的位置得p＜q＜m＜n，又由p+q+m+n＝0，得原点在q与m之间，且更靠近m，故绝对值最小的数是m．
【解答】解：由实数p、q、m、n在数轴上的对应点的位置得p＜q＜m＜n，
由p+q+m+n＝0，
得原点在q与m之间，且更靠近m，
故绝对值最小的数是m．
故答案为：m．
【点评】本题主要考查了数轴上的对应点的位置，解题关键是正确判断．
12．（3分）（2020秋 南岗区校级月考）已知a+b＝3，ab＝﹣5，则a2+b2的值为 　19　 ．
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】19．
【分析】根据完全平方公式解决此题．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝﹣5，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9．
∴a2+b2＝9﹣2ab＝9+10＝19．
故答案为：19．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
13．（3分）（2023春 朝阳区校级期中）如果等腰三角形的一边长是4cm，另一边长是9cm，那么这个等腰三角形的周长是 　22　 cm．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】22．
【分析】因为已知长度为4cm和9cm两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：当4cm为底时，其它两边都为9cm，4cm、9cm、9cm可以构成三角形，
周长为4+9+9＝22（cm）；
当4cm为腰时，其它两边为4cm和9cm，
∵4+4＜9，
∴不能构成三角形，故舍去．
∴这个等腰三角形的周长是22cm．
故答案为：22．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形三条边的关系，分类讨论是解题关键．
14．（3分）（2021春 南岗区校级月考）已知D为△ABC内一点，AD＝CD，∠ADC＝2∠DBC，S△BCD＝5，BC＝10，则AB的长是 　12　 ．
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】12．
【分析】以A为顶点，AD为一边作∠DAP＝∠DCB，且使AP＝BC＝10，连接DP，BP，过点D作DH⊥AP于H，过D作DK⊥BP于K，先证△PAD和△BCD全等得∠APD＝∠BDC，∠ADP＝∠CDB，DP＝BD，，继而得∠ADC＝∠BDP，再证∠APB＝90°，进而得四边形DHPK为矩形得BP＝2KP＝2DH，然后利用求出，则，最后在Rt△APB中由勾股定理可求出AB的长．
【解答】解：以A为顶点，AD为一边作∠DAP＝∠DCB，且使AP＝BC＝10，连接DP，BP，过点D作DH⊥AP于H，过D作DK⊥BP于K，如图：
在△PAD和△BCD中，
，
∴△PAD≌△BCD（SAS），
∴∠APD＝∠BDC，∠ADP＝∠CDB，DP＝BD，，
∵∠ADP＝∠ADC+∠CDP，∠CDB＝∠BDP+∠CDP，
∴∠ADC＝∠BDP，
设∠DBC＝α，则∠ADC＝2∠DBC＝2α，∠APD＝∠BDC＝α，
∴∠BDP＝2α，
∵DP＝BD，
∴∠DPB＝∠DBP（180°﹣∠BDP）（180°﹣2α）＝90°﹣α，
∴∠APB＝∠DPB+∠APD＝90°﹣α+α＝90°，
∵DH⊥AP，DK⊥BP，
∴四边形DHPK为矩形，
∴DH＝KP，
∵DP＝BD，DK⊥BP，
∴BP＝2KP＝2DH，
∵，
∴，
∴，
在Rt△APB中，AP＝10，，
由勾股定理得：．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形的面积等，解答此题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形和矩形．
15．（3分）（2024秋 禅城区校级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为8cm，底面周长为12cm，那么最短的路线长是　10　 cm．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观．
【答案】10．
【分析】首先根据画出示意图，连接AB，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，AC底面圆的周长，再在Rt△ACB中利用勾股定理算出AB的长即可．
【解答】解：连接AB，
在Rt△ACB中，AB2＝AC2+CB2＝36+64＝100，
∴AB＝10cm，即最短的路线长是10cm；
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了圆柱的平面展开图，最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（8分）（2025春 龙湾区期中）（1）计算：（2025）0+（﹣1）2﹣2﹣1；
（2）化简：（2a﹣3）（3a+1）﹣a（a﹣2）．
【考点】实数的运算；整式的混合运算．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）5a2﹣5a﹣3．
【分析】（1）首先化去乘方部分，然后进行有理数的加减法运算即可；
（2）利用乘法分配律去括号，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）（2025）0+（﹣1）2﹣2﹣1
＝1+1
；
（2）（2a﹣3）（3a+1）﹣a（a﹣2）
＝6a2+2a﹣9a﹣3﹣a2+2a
＝5a2﹣5a﹣3．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．（6分）（2023春 隆回县期末）化简求值：（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1），其中x＝﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣7x2+13，6．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式和整式的乘法法则化简，然后再将x＝﹣1代入计算即可解答．
【解答】解：（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1），
＝x2﹣4x+4﹣4x2+9﹣4x2+4x
＝﹣7x2+13，
当x＝﹣1时，﹣7x2+13＝﹣7+13＝6．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算和求值的应用，根据整式的运算法则进行化简是解答本题的关键．
18．（6分）（2024秋 温州期中）如图1，已知△ABC，过点C作CD∥AB，且CD＝BC．用尺规作△ECD≌△ABC，E是边BC上一点．
小瑞：如图2．以点C为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，则△ECD≌△ABC．
小安：以点D为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，则△ECD≌△ABC．
小瑞：小安，你的作法有问题．
小安：哦…我明白了!
（1）指出小安作法中存在的问题．
（2）证明：△ECD≌△ABC．
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）此时点E的位置可能有两个，SSA不能判定两个三角形全等；
（2）见解析．
【分析】（1）根据SSA不能判定三角形全等可得结论；
（2）根据SAS证明三角形全等即可．
【解答】（1）解：以点D为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，
此时点E的位置可能有两个，SSA不能判定两个三角形全等．
（2）证明：如图2中，∵AB∥CD，
∴∠B＝∠ECD，
在△ECD和△ABC中，
，
∴△ECD≌△ABC（SAS）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法．
19．（7分）（2023春 西安期末）已知一个布袋里装有5个黑球，7个白球和4个蓝球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，求下面各事件的概率：
（1）摸出红球的概率；
（2）摸出蓝球的概率；
（3）摸出不是白球的概率．
【考点】概率公式；随机事件．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）0；
（2）；
（3）．
【分析】（1）用红球的个数除以总球的个数即可；
（2）用蓝球的个数除以总球的个数即可；
（3）直接根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵布袋里装有5个黑球，7个白球和4个蓝球，
∴摸出红球的概率是0；
（2）摸出蓝球的概率是；
（3）摸出的不是白球的概率是．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
20．（8分）（2023春 康县期末）某游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设入场次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）当入场次数为多少时，甲、乙两种消费卡所需费用相同；
（3）红红现在有300元，选择哪种消费卡入场次数更多？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）选择甲种卡消费时，y1＝20x；选择乙种卡消费时，y2＝10x+100；
（2）10；
（3）乙．
【分析】（1）将y关于x的函数表达式设为一次函数的一般形式，利用待定系数法将点的坐标代入求解即可；
（2）令两函数值相等，解方程即可；
（3）当函数值为300时，分别计算两种消费卡的入场次数并进行比较即可．
【解答】解：（1）由图象可知，甲图象过原点，为正比例函数．
设选择甲种卡消费时，y1＝k1x．将（5，100）代入，
得100＝5k1，解得k1＝20．
∴y1＝20x．
设选择乙种卡消费时，y2＝k2x+b．将（0，100）和（20，300）代入，
得，解得．
∴y2＝10x+100．
综上，选择甲种卡消费时，y1＝20x；
选择乙种卡消费时，y2＝10x+100．
（2）根据题意，有20x＝10x+100，解得x＝10．
∴当入场次数为10时，甲、乙两种消费卡所需费用相同．
（3）当选择甲种卡消费时，有300＝20x，解得x＝15；
当选择乙种卡消费时，有300＝10x+100，解得x＝20．
∴选择乙种消费卡入场次数更多．
【点评】本题考查一次函数的应用，比较简单，一定要在理解的基础上熟练掌握，灵活运用．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，CD与BE相交于点O，若∠DCB＝∠EBC∠A．
（1）请你写出图中一个与∠A相等的角；
（2）猜想BD与CE的数量关系并证明．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∠BOD＝∠A（答案不唯一：∠COE＝∠A）；
（2）BD＝CE，证明见解答．
【分析】（1）由∠DCB＝∠EBC∠A，得∠BOD＝∠COE＝∠DCB+∠EBC＝∠A，所以与∠A相等的角是∠BOD及∠COE，写出其中的一个角即可；
（2）在OE上截取OL＝OD，连接CL，可证明△COL≌△BOD，得CL＝BD，∠OCL＝∠OBD，再证明∠CLE＝∠OBD+∠A，而∠CEL＝∠OBD+∠A，所以∠CLE＝∠CEL，则CL＝CE，所以BD＝CE．
【解答】解：（1）∠BOD＝∠A，
理由：∵∠DCB＝∠EBC∠A，
∴∠BOD＝∠DCB+∠EBC∠A∠A＝∠A．
注：答案不唯一，∠COE＝∠A．
（2）BD＝CE，
证明：在OE上截取OL＝OD，连接CL，
∵∠DCB＝∠EBC，
∴OC＝OB，
在△COL和△BOD中，
，
∴△COL≌△BOD（SAS），
∴CL＝BD，∠OCL＝∠OBD，
∴∠CLE＝∠OCL+∠COL＝∠OBD+∠BOD＝∠OBD+∠A，
∵∠CEL＝∠OBD+∠A，
∴∠CLE＝∠CEL，
∴CL＝CE，
∴BD＝CE．
【点评】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．（10分）（2024 如皋市校级模拟）如图1．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿线段BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t秒．
（1）如图1，EF与CD边交于点M，当．DM＝EM时，求t的值；
（2）如图2，当点F恰好落在对角线AC上时，求t的值；
（3）当点E从点B运动到点C时，求点F的运动路径长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）；
（3）4．
【分析】（1）连接AM，证明Rt△AEM≌Rt△ADM（HL），得AE＝AD＝4，再由勾股定理求出BE的长，即可得出结论；
（2）当点F落在AC上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，证明△BAE≌△MEF（AAS），得FM＝BE，EM＝AB＝3，设FM＝BE＝x，则MC＝1﹣x，再证明△FMC∽△ABC，即可得出结论；
（3）以AB为边作正方形ABPQ，连接AP，PF，过点E作EH⊥BC，交AP于点H，证明△AEH≌△FEP（SAS），得∠AHE＝∠EPF＝135°，AH＝PF，进而证明PF平分∠QPC，则点F在∠QPC的角平分线上运动，点F的运动路径长为PF的长，即AH的长，然后证明∠CPH＝45°＝∠H，得PC＝CH＝1，则AD＝DH＝4，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，连接AM，
∵四边形AEFG是正方形，四边形ABCD是矩形，
∴∠AEM＝∠ADM＝∠ABE＝90°，AD＝BC＝4，
在Rt△AEM和Rt△ADM中，
，
∴Rt△AEM≌Rt△ADM（HL），
∴AE＝AD＝4，
在Rt△ABE中，BE，
∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，
∴t；
（2）如图2，当点F落在AC上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，
则∠EMF＝90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABE＝∠EMF，
∴∠BAE＝∠FEM，
在△BAE和△MEF中，
，
∴△BAE≌△MEF（AAS），
∴FM＝BE，EM＝AB＝3，
设FM＝BE＝x，则MC＝4﹣3﹣x＝1﹣x，
∵∠FCM＝∠ACM，∠FMC＝∠ABC，
∴△FMC∽△ABC，
∴，
∴，
解得：x，
即FM＝BE，
∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，
∴t；
（3）如图3，以AB为边作正方形ABPQ，连接AP，PF，过点E作EH⊥BC，交AP于点H，
∵四边形ABPQ是正方形，
∴∠APB＝45°，
∵EH⊥BC，
∴∠EHP＝∠EPA＝45°，
∴EH＝EP，∠AHE＝135°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE＝EF，∠AEH＝∠PEF，
∴△AEH≌△FEP（SAS），
∴∠AHE＝∠EPF＝135°，AH＝PF，
∴∠QPF＝∠CPF＝45°，
∴PF平分∠QPC，
∴点F在∠QPC的角平分线上运动，点F的运动路径长为PF的长，即AH的长，
当点E与点B重合时，点H与点A重合，
当点E与点C重合时，如图4，
∵∠CPH＝45°＝∠H，
∴△PCH是等腰直角三角形，
∴PC＝CH＝1，
∴AD＝DH＝4，
∴AHAD＝4，
∴点F的运动路径长为4．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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