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江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第二学期
高三数学5月卷
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题，，命题，，则（ ）
A.和都是真命题 B.和都是真命题
C.和都是真命题 D.和都是真命题
2.若二项式的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ）
A.1 B.3 C.5 D.6
3.已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.10
4.如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于两点，且，，若直线的斜率为，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知等差数列中，，记，，则数列的前8项和为（ ）
A.0 B.4 C.8 D.16
7.已知正三棱台，，点为底面的重心，过点，，的截面将三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全
9.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10.已知，与夹角为，若且（，），则下列说法正确的是（ ）
A.当时，在上的投影向量为 B.当时，
C.当时， D.的最大值为0
11.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱、上的动点，且，则下列说法正确的是（ ）
A.与的夹角取值范围是
B.平面与正方体的截面为梯形
C.三棱锥的体积为定值
D.当，分别是棱，的中点时，三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12.已知函数满足：①为奇函数；②，则_________.
13.在中，，点满足，设，，若，则_________.
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，轴上方的两点，分别在双曲线的左右两支上，梯形的两底边满足，以为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知数列满足，（），记.
（1）求证：是等比数列；
（2）设，数列的前n项和为.若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
16.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
17.在中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且.
（1）若，求角C的正切值；
（2）求的取值范围.
18.某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表：
零件直径（单位：厘米）
零件个数 10 25 30 25 10
已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
参考数据：；若随机变量，则，，.
（1）试估计这批零件直径在的概率；
（2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望；
（3）若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率.
19.已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，点在上.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交双曲线与，两点.
（ⅰ）若与的渐近线交于点，，且（是坐标原点），求的方程；
（ⅱ）记，若点满足，求点的轨迹方程.
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第二学期高三数学5月卷
姓名
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 2.B 3.B 4.B 5.D
6.C【详解】由等差数列性质得，
设，当，时，
，
故
故选：C
7.D 8.A
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全
9.BC 10.BCD 11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12.190 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.解：（1）由已知，，
，，，
又，，数列中任意一项不为0，，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，.
（2）由第（1）问知，，则，设数列的前项和为，
所以①，②，
所以①-②可得：，
所以.
由，得，化简得.
当为奇数时，有，即，
而，所以；
当为偶数时，有，
而，所以.
综上，的取值范围为.
16.解：（1）的定义域为，
若，则，则在单调递减；
若，则由得.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）若，由（1）知，至多有一个零点.
若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，因为单调递增，单调递增，所以单调递增，
所以，，故没有零点；
③当时，由于，即，
又，
故在有一个零点.
设正整数满足，则，
故在有一个零点.
综上，的取值范围为.
17.解：（1）代入，所以，，即，
因，则，
所以，故，则.
（2）由题可得：，
即，
即，
因为，所以，则，
因为，
则，
因为
，
则，即，
故，
若，则；若，则，矛盾，
故，
则
，
因为，
所以，
，
令，，
因为，因为，，
所以，所以，，.
故的取值范围为.
18.解：（1）由平均数与方差的计算公式分别得
.
.
故，.
设表示零件直径，则，即.
则，
，即.
（2）由题意知，这批零件直径在的概率为.
Z的取值范围为，
则，，
，，
，
因此可得Z的分布列为
Z 0 1 2 3 4
P
因为Z服从二项分布，则Z的数学期望.
（3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件，
“抽取的零件为次品”记为事件B，
则，，，，
则，
，
所以这个零件是甲机器生产的概率为.
19.解（1）由双曲线可得右顶点，其中一条渐近线方程为，
因为双曲线经过点，可得，
又因为右顶点到渐近线的距离为，
可得，联立方程组，解得，
即双曲线的方程为；
（2）（ⅰ）由双曲线，可得渐近线方程为，
设直线的方程为，且，，，，
联立方程组，解得，其中
且，
解得，可得，
则，
即，
所以；
联立方程组，解得，，
所以，
因为，
解得，
所以直线的方程为或；
（ⅱ）设，由
可得
即，
因为在曲线上，可得，所以，
解得，，
又由，可得，
即，即
将和代入化简得
，
所以点的轨迹方程为

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