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2024-2025学年高二下学期4月月考数学试卷
一、选择题
1．已知（,且）,则( )
A.28 B.42 C.43 D.56
2．在等差数列中，，，则( )
A.1 B.0 C.-1 D.-2
3．抛物线上与焦点距离等于6的点的坐标是( )
A. B. C. D.
4．为弘扬我国优秀的传统文化,某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试,经过大数据分析,发现本次言语表达测试成绩服从,据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为( )
参考数据：,,
A. B. C. D.
5．将杨辉三角中的每一个数都换成,得到如图所示的莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质,如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和,如果（n为正整数）,则下列结论中正确的是( )
第0行
第1行
第2行
第3行
…………
A.当时中间的两项相等,且同时取得最大值
B.当时中间一项为
C.第6行第5个数是
D.
6．如图，某社区为墙面A、B、C、D四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有( )
A B
C D
A.12种 B.24种 C.48种 D.144种
7．若直线与圆相切，则实数m的值为( )
A. B. C. D.
8．函数的最小值为( )
A. B. C.0 D.1
二、多项选择题
9．设，则( )
A. B.
C. D.
10．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P m
下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11．已知函数,,对于不相等的实数,,设,,现有如下四个结论,其中正确的选项是( )
A.对于任意不相等的实数,都有
B.当时,函数恰有3个零点
C.对于任意的实数a,存在不相等的实数,,使得
D.对于任意不相等的正实数,,都有
三、填空题
12．一个盒子中装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为R的函数：,,,,,．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性,每次抽出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,设抽取次数为X,则的概率为___________．
13．2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构,其中多选题计分标准如下：①本题共3小题,每小题6分,满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项,全部选对得6分,有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个,漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个,漏选一个正确选项得4分,漏选两个正确选项得2分）.已知在某次新结构数学试题的考试中,某同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项,第三小题随机地选了一个选项,这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）共有n种情况,则除以36的余数是_______________.
14．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点.若双曲线C的方程为，则( )
A.双曲线的焦点到渐近线的距离为
B.若，则
C.当n过点时，光线由所经过的路程为8
D.反射光线n所在直线的斜率为k，则
四、解答题
15．已知函数,其图象在点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式;
（2）求函数在区间上的最值.
16．随着社会经济的发展,个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具,该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后,准备利用该App进行模拟考试,若他每次的通过率均为,且计划当出现第一次通过后,当天就不再进行模拟考试,否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止.
(1)求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率；
(2)若学员小张每次模拟考试用10分钟,求他一天内模拟考试花费的时间X的期望.
17．已知椭圆的离心率为,且过点
(1)求C的方程
(2)已知A,B是C的左右顶点,过右焦点F且斜率不为0的直线交C于点M,N,直线AM与直线,交于点P,记PA,PF,BN的斜率分别为,,,问,是否是定值如果是,请求出该定值,如果不是,请说明理由.
18．在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
喜欢 不喜欢
男性 40 10
女性 25 25
(1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？
(2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义.
，
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
19．设函数.证明:
1.对每个,存在唯一的,满足;
2.对任意,由1中构成的数列满足.
参考答案
1．答案：A
解析：,,,,
.
故选:A.
2．答案：A
解析：由等差数列的性质可知，
所以.
故选：A.
3．答案：A
解析：因为,所以.由焦半径公式得,,
因为抛物线开口朝左,所以,即,所以
故选:A.
4．答案：A
解析：依题意,,,
所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为.
故选：A.
5．答案：C
解析：对于A,由莱布尼茨三角形知,当n为奇数时,中间两项相等,且同时取到最小值,
为奇数,故A错误;
对于B,当时,这一行有2025个数,最中间为第1013个数,
即,B错误;
对于C,第6行有7个数,第5个数是,C正确;
对于D,由于从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和,
故,,D错误,
故选：C.
6．答案：C
解析：三种颜色的涂法有两种，即A与D同色或B与C同色，
所以恰好使用3种颜色的涂法有种.
故选：C.
7．答案：B
解析：圆即的圆心坐标为，
半径为，若直线与圆相切，
则，解得.
故选：B.
8．答案：C
解析：,
令,则,令,则,
所以函数的单调增区间为,单调减区间为,
所以.
故选：C.
9．答案：CD
解析：A：令，则，错；
B：令，则①，又，则，错；
C：由二项式展开式，，
所以时，则；时，则；
所以，对；
D：令，则②，
①-②得，则，对.
故选：CD
10．答案：ABC
解析：由,得,故A正确；
则故B正确；
因,故C正确；
因故D错误.
故选：ABC.
11．答案：BCD
解析：对于A,因为在R上是先减后增的函数,在对称轴左边的两点连线斜率为负数,
所以对于不相等的实数,,不恒成立,故A错误;
对于B,当时,,令,
则,
令,又为增函数,
所以当时,,当时,,
所以即在上单调递减,在上单调递增,
又,,
所以存在;两个零点,,
所以当时,,当时,,
所以函数在和上单调递增,在上单调递减,
又,,
所以当时,函数恰好有3个零点,故B正确;
对于C,由,得,即,
令,
则,在R上单调递增,
当时,,当时,,
即必唯一有零点,
即存在满足使得当时,;当时,;
所以先减后增,即存在不相等的实数,使
即,故C正确.
对于D,
又：,
当且仅当时等号成立,
所以对于任意不相等的正实数,都有,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：易判断,,为偶函数,
所以写有偶函数的卡片有3张,X的取值范围是．
,,
所以．
故答案为：.
13．答案：13
解析：这位同学第一小题和第二小题都可能得0分,4分或6分,
第三小题可能得0分,2分或3分,
如图,当第三题得0分时,有可能总得分为：,
当第三题得2分时,有可能总得分为：,
当第三题得3分时,有可能总得分为：,
所以这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）为：
,即,
则
,
.
故答案为：13.
14．答案：ABD
解析：对于A，由双曲线C的方程为
知双曲线的渐近线方程为：，
焦点到渐近线的距离为：，故A正确；
对于B，若，则.
因为P在双曲线右支上，
所以.
由勾股定理得：，
二者联立解得：.故B正确；
对于C，光由所经过的路程为
，
故C不正确；
对于D，双曲线的渐近线方程为.
设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当与同向共线时，的方向为，此时，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.
即.故D正确.
故选：ABD.
15．答案：（1）
（2）最大值为20,最小值为0
解析：（1）由可得:.
所以在点处切线的斜率为,
因为在点处切线方程为,
所以切线的斜率为0,且,
所以,即,解得,
所以.
（2）由（1）知,
则.
令得或3,
易知上,在单调递增,在上,在单调递减,在上,在单调递增.
所以在处,取得极大值,在处取得极小值.
又因为,,
所以在上的最大值为20,最小值为0.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)设学员小张恰第i次通过模拟考试的概率为,则,,
所以,学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率为.
(2)设表示一天内模拟考试的次数,则,
由题意知：,,,,,
所以,
因为,所以,
所以小张一天内模拟考试花费的时间X的期望为分钟.
17．答案：(1);
(2)2
解析：(1)椭圆的离心率为,即,
有,又,解得,,
所以椭圆C的方程为.
(2)由(1)知,,,,设,,直线的方程为,
由消去x并整理得,,则,,
有,
直线与直线交于点,则,而,,
.
所以为定值2.
18．答案：(1)有关联
(2)，意义见解析
解析：（1）补全列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男性 40 10 50
女性 25 25 50
合计 65 35 100
零假设：对机器人表演节目的喜欢与性别无关联，
则，
依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为对机器人表演节目的喜欢与性别有关联；
（2）由题意可知，，，
所以，
其意义为该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大；
或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等
19．答案：1.证明:对每个,当时, ,
故在内单调递增.
由于,当时, ,
故.
又
,
所以存在唯一的,满足.
2.证明:当时, ,
故.
由在内单调递增知, ,
故为单调递减数列,
从而对任意.
对任意,由于,①
,②
①②式并移项,利用,
得
.
因此,对任意,都有.
解析：

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