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2025年清城区三中集团高一6月联考数学试卷
本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数满足为纯虚数，则（ ）
A．-3 B． C． D．3
3．已知单位向量与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
5．的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．1 B． C．3 D．1或3
6．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
7．如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM．若，则线段PM的最大值为（ ）
A．2.5 B． C．3 D．4
8．若，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（ ）
A．若，，那么 B．若，，那么
C．若，，那么 D．若，，那么
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数满足，则下列命题是真命题的是（ ）
A．的虚部为
B．为纯虚数
C．若与复数相等，则
D．在复平面内对应的点位于第一象限
10．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与构成“互为生成函数”的有（ ）
A． B．
C． D．
11．若函数的图象经过点，则（ ）
A．点为函数图象的对称中心
B．函数的最小正周期为
C．函数在区间上的函数值范围为
D．函数的单调增区间为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．文以载道，数以忘忧，本学期某校学生组织数学知识竞答（满分），并从中随机抽取了名学生的成绩为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图：
估计该校高二学生数学成绩的平均数为 .
13．如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为 .
14．在平面直角坐标系中，是第四象限角，是其终边上一点，则 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知复数，其中i为虚数单位，．
(1)若z为纯虚数，求；
(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
16．已知锐角三角形的三条边分别为，，，所对的角分别为，，，其外接圆的半径为，且.
(1)若，求；
(2)如图，点在边上，且，求的取值范围.
17．航天员安全返回，中国航天再创辉煌1去年6月4日，当地时间6时20分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好．这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功．某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，求10人中成绩不高于50分的人数；
(2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
(3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
18．如图，在三棱台中，，，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积.
19．如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记.
(1)在仿射坐标系中.
①若，求；
②若，且，的夹角为，求；
(2)如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值.
试卷第1页，共3页
《2025年清城区三中集团高一6月联考数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C C D B C D
题号 9 10 11
答案 AD AC ACD
12．/
【解析】由频率分布直方图的面积和为得
，
解得，
所以该校高二学生数学成绩的平均数为
.
故答案为：.
13．
【解析】如图在直观图中过点作交于点，
则，，
由正弦定理，即，解得，
由直观图可得如下平面图形，则，，，
所以.
故答案为：
14．/0.6
【解析】依题意，，
所以
.
故答案为：
15．(1)；
(2).
【解析】（1）由z为纯虚数，得，解得，则，
所以.
（2）由复数z在复平面内对应的点在第四象限，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
16．(1)
(2)
【解析】（1）解：由正弦定理得，，
由，得
，
得，
因为，所以，
得，
得，
因为，所以，
解得．
（2）解：因为，所以，
由（１）得，得，，
得，
由正弦定理得，，
得，
得，
因为，所以，得，
得，
则，得，
则的取值范围为：
17．(1)4
(2)平均数为，中位数为
(3)
【解析】（1）因为抽取的200名学生中, 不高于50分的人数为（人），
50分到60分的人数为（人），
所以从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人的成绩，不高于50分的人数为（人）.
（2）由，解得，
平均数，
因为成绩不高于70分的频率为，
成绩不高于80分的频率为，
所以中位数位于内，则中位数为.
（3）三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率为，
.
18．(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）连接交于点，连接，，
因为为三棱台，，所以，
又为的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）设的面积为，则由题意知的面积为，的面积为，
设三棱台的高为，则，
所以．
19．(1)①；②
(2)
【解析】（1）①因为，
，
所以；
②由，即，
得，
，
，
因为与的夹角为，
则，得；
（2）依题意设，
，
因为为中点，则，
为中点，所以，
所以
，
因为，
则，
在中依据余弦定理得，所以，代入上式得，
，
在中，由正弦定理，
设，则，
，其中，是取等号，
则.
答案第1页，共2页

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