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【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅱ卷）数学试题
1．（2025·新高考Ⅱ卷）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（　　）
A．8 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解： 样本数据2，8，14，16，20的平均数为.
故答案为：C.
【分析】根据平均数公式求解即可.
2．（2025·新高考Ⅱ卷）已知z=1+i，则 （　　）
A．-i B．i C．-1 D．1
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，则.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可.
3．（2025·新高考Ⅱ卷）已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B= （　　）
A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1}
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，可得或，即集合，
因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】先解方程求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
4．（2025·新高考Ⅱ卷）不等式2的解集是 （　　）
A．{x|-2≤x≤1} B．{x|x≤-2}
C．{x|-2≤x＜1} D．{x|x＞1}
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解： 由，可得，则，
即，即，解得，
则不等式的解集为 {x|-2≤x＜1}.
故答案为：C.
【分析】根据分式不等式的解法求解即可.
5．（2025·新高考Ⅱ卷）在△ABC中，BC=2，AC=1+AB=则A= （　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由余弦定理可得：
，则.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用余弦定理直接求解即可.
6．（2025·新高考Ⅱ卷）设抛物线的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若，则|AF|= （　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，准线方程为，
若，则直线与的交点坐标为，即，解得，
则抛物线，，易知，
则.
故答案为：C.
【分析】先求抛物线的焦点坐标以及准线方程，由求得焦点坐标，即p的值，从而确定点的坐标，再利用抛物线的定义求解即可.
7．（2025·新高考Ⅱ卷）记Sn，为等差数列{an}的前n项和，若则 （　　）
A．-20 B．-15 C．-10 D．-5
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的等差为，
由，可得，解得，即，，
则.
故答案为：B.
【分析】设等差数列的等差为，利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质求解即可.
8．（2025·新高考Ⅱ卷）已知则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，且，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用余弦的二倍角公式求得，再由同角三角函数基本关系求得的值，最后根据两角差的正弦公式展开求值即可.
9．（2025·新高考Ⅱ卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0，若则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、易知公比，由，
可得，解得，故A正确；
B、由A选项可知：，则，故B错误；
C、由A选项可知：，则，故C错误；
D、由BC选项可知：，
故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意，利用等比数列的求和公式以及通项公式列式求得，再逐项判断即可.
10．（2025·新高考Ⅱ卷）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，则 （　　）
A．f(0)=0 B．当x＜0时，
C．f(x)≥2当且仅当 D．x=-1是f(x)的极大值点
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、函数是定义在上的奇函数，则，故A正确；
B、当时，，则，因为函数为奇函数，所以，则，故B正确；
C、当时，，，
令，解得或，则函数在上单调递减，在上单调递增，
即是极小值点，且，
由奇函数得定义，可得函数的图象，如图所示：
由图可知：故C错误；
D、由C选项可知：是函数的极大值点，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数是定义在上的奇函数即可判断A；根据奇函数的定义求解析式即可判断B；当时，求导，利用导数判断函数的单调性，结合奇函数的定义作出函数的图象，数形结合即可判断CD.
11．（2025·新高考Ⅱ卷）双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则（　　）
A．
B．
C．C的离心率为
D．当时，四边形NA1MA2的面积为8
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：由题意，作出图形，如图所示：
A、由对称性可知：四边形为平行四边形，
因为，所以，故A正确；
B、在中，，易知，，
则，故B错误；
C、由B分析可知：，故C正确；
D、 当时 ， 四边形的面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】作出图形，结合双曲线的对称性即可判断A；利用渐近线的斜率求得，易知，，求得即可判断B；由结合离心率公式求解即可判断C； 当时，求四边形NA1MA2的面积即可判断D.
12．（2025·新高考Ⅱ卷）已知平面向量=(x，1)，=(x-1，2x)，若⊥(-)，则||=　 　。
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，则，
若，则，即，解得，即，则.
故答案为：.
【分析】根据向量的坐标运算先求，再根据向量垂直的坐标表示列式求得x的值，最后根据向量模的坐标表示求值即可.
13．（2025·新高考Ⅱ卷）若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-α)的极值点，则f(0)=　 　。
【答案】-4
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，
因为是函数的极值点，所以，
所以，解得，
经检验符合题意，则，即.
故答案为：.
【分析】函数变形为，先求函数定义域，再根据导数的四则运算求导，由题意求得，求得函数解析式，再求即可.
14．（2025·新高考Ⅱ卷）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　 　cm
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；简单组合体的结构特征
【解析】【解答】解：设铁球的半径为，
要使两个半径相等的铁球的半径最大，则两铁球球心位于圆柱轴截面的对角线上，
作出截面图，如图所示：
由图可得：，整理可得，解得.
故答案为：.
【分析】设铁球的半径为，要使两个半径相等的铁球的半径最大，则两铁球球心位于圆柱轴截面的对角线上，作出截面图，由图列方程求解即可.
15．（2025·新高考Ⅱ卷）已知函数
（1）求φ；
（2）设函数求g(x)的值域和单调区间。
【答案】（1）解：函数，由，可得，因为，所以，
则 ；
（2）解：由（1）可得：
，
当 时， ， 当 时
则函数的值域为 ；
令 ，解得 ，
即的单调递减区间为 ，
令，解得，
即的单调递增区间为
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意，根据余弦函数的性质求值即可；
（2）由（1）的结论，结合两角和的余弦公式、辅助角公式化简求得，再根据余弦型函数的性质求解即可.
16．（2025·新高考Ⅱ卷）已知椭圆的离心率为长轴长为4。
（1）求C的方程；
（2）过点(0，-2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为求|AB|。
【答案】（1）解：易知，即，
因为椭圆的离心率为，所以，解得，则，
则椭圆 ；
（2）解：由题意可知：直线的斜率存在，设直线方程为，，即，
联立，消元整理可得 ，
由韦达定理可得：，
则，
即，解得 ，
则 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知，根据椭圆的离心率求得c，再由椭圆中的关系求得b，即可得椭圆的标准方程；
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理结合三角形的面积，弦长公式求解即可.
17．（2025·新高考Ⅱ卷）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB=3AD，CD=2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形.使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°。
（1）证明：A'B∥平面CD'F；
（2）求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值。
【答案】（1）证明：因为， ，平面，所以平面， 平面，
又因为 ，所以平面 平面，
又因为 平面，所以平面；
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，，所以为平面与平面所成的二面角，即 ，
设 ，
则，
设平面的法向量为，则，即，取，即，
同理求得平面的法向量为，
则，即，
故平面与平面所成的二面角的正弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，利用面面平行的判定定理证明平面 平面，即可证明平面；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
18．（2025·新高考Ⅱ卷）已知函数其中
（1）证明：f(x)在区间(0，+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；
（2）设x1，x2分别为f(x)在区间(0，+∞)的极值点和零点。
(i)设函数
证明：g(t)在区间(0，x1)单调递减；
(ii)比较2x1与x2的大小，并证明你的结论。
【答案】（1）证明：函数的定义域为， ，
令，解得，
当 ，函数单调递增；当 ，单调递减，
则函数在上有唯一的极值点；
因为，所以存在唯一的 ，使得 ，
则在区间存在唯一的零点；
（2）证明：(i) 由 (1) 知： ，
，
则在区间( 内单调递减；
(ii) 由 (i) 可知在(0，x1)单调递减， 则 ，
又因为 ，所以 ，故
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值点个数即可；再根据零点存在性定理判断零点个数即可；
（2）(i)、由 (1) 知： ，求导，判断导数的正负证明即可；
(ii)由 (i) 的结论，结合函数值判断大小即可.
19．（2025·新高考Ⅱ卷）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为乙胜的概率为q，p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数记Pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率。
（1）求P3，P4(用p表示)
（2）若求p；
（3）证明：对任意正整数m，
【答案】（1）解：令 表示打完个球以后甲的得分，则乙的得分为 ，显然，
要甲比乙至少多2分， ，
则 ；
；
（2）解：由（1）可得：，
则 ，即 ，解得 ；
（3）证明：左边
，
同理，
则
，
右边
，
同理 ，
故 .
【知识点】二项分布；概率的应用
【解析】【分析】（1）令 表示打完个球以后甲的得分，则乙的得分为 ，显然，利用二项分布求解即可；
（2）利用（1）的结论，解方程即可；
（3）利用的递推关系证明即可.
1 / 1【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅱ卷）数学试题
1．（2025·新高考Ⅱ卷）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（　　）
A．8 B．9 C．12 D．18
2．（2025·新高考Ⅱ卷）已知z=1+i，则 （　　）
A．-i B．i C．-1 D．1
3．（2025·新高考Ⅱ卷）已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B= （　　）
A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1}
4．（2025·新高考Ⅱ卷）不等式2的解集是 （　　）
A．{x|-2≤x≤1} B．{x|x≤-2}
C．{x|-2≤x＜1} D．{x|x＞1}
5．（2025·新高考Ⅱ卷）在△ABC中，BC=2，AC=1+AB=则A= （　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
6．（2025·新高考Ⅱ卷）设抛物线的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若，则|AF|= （　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2025·新高考Ⅱ卷）记Sn，为等差数列{an}的前n项和，若则 （　　）
A．-20 B．-15 C．-10 D．-5
8．（2025·新高考Ⅱ卷）已知则 （　　）
A． B． C． D．
9．（2025·新高考Ⅱ卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0，若则 （　　）
A． B． C． D．
10．（2025·新高考Ⅱ卷）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，则 （　　）
A．f(0)=0 B．当x＜0时，
C．f(x)≥2当且仅当 D．x=-1是f(x)的极大值点
11．（2025·新高考Ⅱ卷）双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则（　　）
A．
B．
C．C的离心率为
D．当时，四边形NA1MA2的面积为8
12．（2025·新高考Ⅱ卷）已知平面向量=(x，1)，=(x-1，2x)，若⊥(-)，则||=　 　。
13．（2025·新高考Ⅱ卷）若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-α)的极值点，则f(0)=　 　。
14．（2025·新高考Ⅱ卷）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　 　cm
15．（2025·新高考Ⅱ卷）已知函数
（1）求φ；
（2）设函数求g(x)的值域和单调区间。
16．（2025·新高考Ⅱ卷）已知椭圆的离心率为长轴长为4。
（1）求C的方程；
（2）过点(0，-2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为求|AB|。
17．（2025·新高考Ⅱ卷）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB=3AD，CD=2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形.使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°。
（1）证明：A'B∥平面CD'F；
（2）求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值。
18．（2025·新高考Ⅱ卷）已知函数其中
（1）证明：f(x)在区间(0，+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；
（2）设x1，x2分别为f(x)在区间(0，+∞)的极值点和零点。
(i)设函数
证明：g(t)在区间(0，x1)单调递减；
(ii)比较2x1与x2的大小，并证明你的结论。
19．（2025·新高考Ⅱ卷）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为乙胜的概率为q，p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数记Pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率。
（1）求P3，P4(用p表示)
（2）若求p；
（3）证明：对任意正整数m，
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解： 样本数据2，8，14，16，20的平均数为.
故答案为：C.
【分析】根据平均数公式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，则.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可.
3．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，可得或，即集合，
因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】先解方程求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解： 由，可得，则，
即，即，解得，
则不等式的解集为 {x|-2≤x＜1}.
故答案为：C.
【分析】根据分式不等式的解法求解即可.
5．【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由余弦定理可得：
，则.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用余弦定理直接求解即可.
6．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，准线方程为，
若，则直线与的交点坐标为，即，解得，
则抛物线，，易知，
则.
故答案为：C.
【分析】先求抛物线的焦点坐标以及准线方程，由求得焦点坐标，即p的值，从而确定点的坐标，再利用抛物线的定义求解即可.
7．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的等差为，
由，可得，解得，即，，
则.
故答案为：B.
【分析】设等差数列的等差为，利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质求解即可.
8．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，且，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用余弦的二倍角公式求得，再由同角三角函数基本关系求得的值，最后根据两角差的正弦公式展开求值即可.
9．【答案】A,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、易知公比，由，
可得，解得，故A正确；
B、由A选项可知：，则，故B错误；
C、由A选项可知：，则，故C错误；
D、由BC选项可知：，
故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意，利用等比数列的求和公式以及通项公式列式求得，再逐项判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、函数是定义在上的奇函数，则，故A正确；
B、当时，，则，因为函数为奇函数，所以，则，故B正确；
C、当时，，，
令，解得或，则函数在上单调递减，在上单调递增，
即是极小值点，且，
由奇函数得定义，可得函数的图象，如图所示：
由图可知：故C错误；
D、由C选项可知：是函数的极大值点，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数是定义在上的奇函数即可判断A；根据奇函数的定义求解析式即可判断B；当时，求导，利用导数判断函数的单调性，结合奇函数的定义作出函数的图象，数形结合即可判断CD.
11．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：由题意，作出图形，如图所示：
A、由对称性可知：四边形为平行四边形，
因为，所以，故A正确；
B、在中，，易知，，
则，故B错误；
C、由B分析可知：，故C正确；
D、 当时 ， 四边形的面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】作出图形，结合双曲线的对称性即可判断A；利用渐近线的斜率求得，易知，，求得即可判断B；由结合离心率公式求解即可判断C； 当时，求四边形NA1MA2的面积即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，则，
若，则，即，解得，即，则.
故答案为：.
【分析】根据向量的坐标运算先求，再根据向量垂直的坐标表示列式求得x的值，最后根据向量模的坐标表示求值即可.
13．【答案】-4
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，
因为是函数的极值点，所以，
所以，解得，
经检验符合题意，则，即.
故答案为：.
【分析】函数变形为，先求函数定义域，再根据导数的四则运算求导，由题意求得，求得函数解析式，再求即可.
14．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；简单组合体的结构特征
【解析】【解答】解：设铁球的半径为，
要使两个半径相等的铁球的半径最大，则两铁球球心位于圆柱轴截面的对角线上，
作出截面图，如图所示：
由图可得：，整理可得，解得.
故答案为：.
【分析】设铁球的半径为，要使两个半径相等的铁球的半径最大，则两铁球球心位于圆柱轴截面的对角线上，作出截面图，由图列方程求解即可.
15．【答案】（1）解：函数，由，可得，因为，所以，
则 ；
（2）解：由（1）可得：
，
当 时， ， 当 时
则函数的值域为 ；
令 ，解得 ，
即的单调递减区间为 ，
令，解得，
即的单调递增区间为
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意，根据余弦函数的性质求值即可；
（2）由（1）的结论，结合两角和的余弦公式、辅助角公式化简求得，再根据余弦型函数的性质求解即可.
16．【答案】（1）解：易知，即，
因为椭圆的离心率为，所以，解得，则，
则椭圆 ；
（2）解：由题意可知：直线的斜率存在，设直线方程为，，即，
联立，消元整理可得 ，
由韦达定理可得：，
则，
即，解得 ，
则 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知，根据椭圆的离心率求得c，再由椭圆中的关系求得b，即可得椭圆的标准方程；
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理结合三角形的面积，弦长公式求解即可.
17．【答案】（1）证明：因为， ，平面，所以平面， 平面，
又因为 ，所以平面 平面，
又因为 平面，所以平面；
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，，所以为平面与平面所成的二面角，即 ，
设 ，
则，
设平面的法向量为，则，即，取，即，
同理求得平面的法向量为，
则，即，
故平面与平面所成的二面角的正弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，利用面面平行的判定定理证明平面 平面，即可证明平面；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
18．【答案】（1）证明：函数的定义域为， ，
令，解得，
当 ，函数单调递增；当 ，单调递减，
则函数在上有唯一的极值点；
因为，所以存在唯一的 ，使得 ，
则在区间存在唯一的零点；
（2）证明：(i) 由 (1) 知： ，
，
则在区间( 内单调递减；
(ii) 由 (i) 可知在(0，x1)单调递减， 则 ，
又因为 ，所以 ，故
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值点个数即可；再根据零点存在性定理判断零点个数即可；
（2）(i)、由 (1) 知： ，求导，判断导数的正负证明即可；
(ii)由 (i) 的结论，结合函数值判断大小即可.
19．【答案】（1）解：令 表示打完个球以后甲的得分，则乙的得分为 ，显然，
要甲比乙至少多2分， ，
则 ；
；
（2）解：由（1）可得：，
则 ，即 ，解得 ；
（3）证明：左边
，
同理，
则
，
右边
，
同理 ，
故 .
【知识点】二项分布；概率的应用
【解析】【分析】（1）令 表示打完个球以后甲的得分，则乙的得分为 ，显然，利用二项分布求解即可；
（2）利用（1）的结论，解方程即可；
（3）利用的递推关系证明即可.
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