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广东省广州市天河区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
1．（2024高二下·天河期末）以下八个数据：的第80百分位数是（　　）
A．68 B．70 C．71 D．70.5
2．（2024高二下·天河期末）甲乙两人独立破译密码，甲能破译出密码的概率为，乙能破译出密码的概率为，则密码被成功破译的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·天河期末）已知随机变量的分布列如下：
2 3 6
则的值为（　　）
A．20 B．18 C．8 D．6
4．（2024高二下·天河期末）某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在的学生人数大约为（　　）
（若，则）
A．1359 B．2718 C．3414 D．4773
5．（2024高二下·天河期末）的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（　　）
A．160 B．20 C． D．
6．（2024高二下·天河期末）曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·天河期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．五位二进制数与出现的概率相同
8．（2024高二下·天河期末）若，且，则（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·天河期末）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（　　）
A．函数在上只有一个极小值点
B．函数在上有两个极大值点
C．函数在上可能没有零点
D．函数在上一定不存在最小值
10．（2024高二下·天河期末）变量的一组样本数据如下表所示：
6 8 10 12
6 3 2
通过散点图发现样本点分布在一条直线附近，并通过最小二乘法求得经验回归方程为，则（　　）
A．变量之间呈负相关关系 B．变量之间的相关系数
C． D．样本点的残差为
11．（2024高二下·天河期末）校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”，表示事件“志愿者乙派往铅球区域”，表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（　　）
A．A与相互独立 B．与互斥
C． D．
12．（2024高二下·天河期末）某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占，，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为，，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为　 　．
13．（2024高二下·天河期末）一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有　 　种不同的去法．（用数字作答）
14．（2024高二下·天河期末）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为　 　．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数　 　．
（参考公式：决定系数，参考数据：）；
15．（2024高二下·天河期末）已知函数（）
（1）求的单调区间；
（2）当有3个零点时，求的取值范围．
16．（2024高二下·天河期末）某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的100件产品，检测出产品的重量（单位：克），重量的分组区间为，，由此得到样本的频率分布直方图（如图）．
（1）求直方图中的值；
（2）估计这100件产品的重量的中位数（结果保留小数点后一位）；
（3）若产品重量在区间上，则判定该产品包装合格．在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为，求的分布列和数学期望．
17．（2024高二下·天河期末）某单位拟实行新的员工考勤管理方案．方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查，结果如下：300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人．
（1）完成如下列联表：
单位：人
性别 满意 合计
是 否
男
女
合计
根据的独立性检验，能否认为性别与对新考勤管理方案满意有关联？
（2）为了得到被调查者对所提问题的诚实回答，消除被调查者对于敏感问题的顾虑，决定调整调查方案．新的调查方案中使用两个问题：
①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意？
先让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外，完全相同）的袋子中随机摸取两个球（摸出的球再放回袋中）．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题．问卷上没有问题，答题者只需选择“是”或者“否”．由于回答的是哪个问题是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑的诚实回答．
（i）根据以上调查方案，求某个被调查者回答第一个问题的概率；
（ii）如果300人中共有206人回答“是”，请估计对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比．（每个员工公历生日是奇数的概率取为）
附：．
0.05 0.025 0.005
3.841 5.024 7.879
18．（2024高二下·天河期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有两个极值点，求证：．
19．（2024高二下·天河期末）现有枚游戏币，游戏币是有偏向的，向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．甲、乙利用这枚游戏币玩游戏．
（1）将这3枚游戏币向上抛出，记落下时正面朝上的个数为，求的分布列；
（2）将这枚游戏币向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：八个数据从小到大排列为58，60，61，63，68，70，71，72，
，则八个数据的第80百分位数为第7个数71．
故答案为：C．
【分析】利用百分位数的求解公式求解即可．
2．【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设事件=“密码被成功破译”，则事件=“密码没有被成功破译”，
，则．
故答案为：D．
【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算即可.
3．【答案】B
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据随机变量X的分布列可知，解得，
则，
，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据概率之和等于1得出的值，再根据随机变量X的期望公式和方差公式，从而求出随机变量X的数学期望与方差，再根据方差的性质得出的值.
4．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 成绩服从正态分布 ，即，，
则，
，
故抽测成绩在的学生人数大约为人.
故答案为：A.
【分析】根据正态分布的对称性求，再计算人数即可.
5．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则，
展开式的通项为：，
令，解得，则，即展开式中常数项为．
故答案为：C．
【分析】易知，写出展开式通项，令求常数项的值即可．
6．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：，，则切线的斜率，
切线的方程为，即．
故答案为：A．
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
7．【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：由题意可知：的可能取值有0，1，2，3，4，5，
且随机变量服从二项分布，，
A、，故A错误；
B、，则，故B错误；
C、，故C错误，
D、五位二进制数与出现的概率均为，故D正确．
故答案为：D．
【分析】由题意可知：随机变量服从二项分布，根据二项分布的概率公式及期望、方差公式判断即可.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，，
则函数在上单调递增，所以，
即在上恒成立，
先判断与的大小关系，
因为恒成立，
所以，即，
因为，所以，
设，，易知在上恒成立，
则函数在上单调递减，
因为，所以，则，故A错误，B正确；
由于在不单调，故C、D错误．
故答案为：B．
【分析】先判断与的大小关系，即可得到，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再结合对数函数、二次函数的性质判断即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解： 导函数在内的图象，如图所示：
A、由图可知： 函数在上只有一个极小值点 ，故A正确；
B、由图可知： 函数在上有两个极大值点 ，故B正确；
D、若极小值是函数的最小值时，函数能取得最小值，故D错误；
C、函数可能没有零点，故C正确．
故答案为：ABC．
【分析】结合导函数的图象逐项判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】线性回归方程；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、根据线性回归方程为，可知变量，之间呈现负相关关系，故A正确；
B、相关系数，故B错误；
C、由表中数据可得，，
代入回归方程，得，解得，故C正确；
D、由可知，则样本点的残差为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据线性回归方程的性质即可判断A；根据相关系数的公式即可判断B；根据线性回归方程必过点即可判断C；根据残差的定义即可判断D．
11．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【解答】解：每个区域至少派1名志愿者，4名志愿者分组为，有种分配方法，志愿者甲单独派往铅球区域，有种分法，；同理可得，事件，甲和乙均派往铅球区域，丙和丁和剩余两个区域进行全排列，
故情况数为，则，
A、由于，A与不独立，故A错误；B选项，志愿者乙要么派往铅球区域，要么B、志愿者乙不能同时派往两个区域，则事件与互斥，故B正确；
C、事件，甲和乙均派往铅球区域，丙和丁和剩余两个区域进行全排列，
故情况数为，故，故C正确，
D、事件：甲派往铅球区域，乙派往跳远区域，剩余丙丁安排如下：
若丙和丁选择1人派往铅球区域，另外一人则在跳高区域，则有种选择，
若丙和丁选择1人派往跳远区域，另外一人则在跳高区域，则有种选择，
若丙和丁均在跳高区域，则有种选择，
综上，，，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先计算出每个区域至少派1名志愿者的方案数，进而得到，，同理可得，求出，根据，即可判断AC；根据互斥事件的定义即可判断B；求出，，利用条件概率求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记事件=“产品是优等品”，事件=“来自甲地”，事件=“来自乙地”，
，，，，
则，
故从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为.
故答案为：.
【分析】利用全概率公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知：7名同学被邀请参加一个社团活动，有种去法，
没人去的有种，则必须有人去有种．
故答案为：．
【分析】利用分步乘法计数原理求得所有不同去法，减去没有人去的情况即可．
14．【答案】；
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：回归模型，两边同时取对数可得，
令，由最小二乘法得经验回归方程为，则，
，
则．
故答案为：；．
【分析】回归模型两边同时取对数可得，结合所给经验回归方程求出，由所给参考数据求出，即可求出决定系数.
15．【答案】（1）解：函数定义域为，，
令，解得或；令，解得，
则函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）解：由（1）可得：函数的极大值为，极小值为，
因为有3个零点，所以，解得，
即的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）由（1）求出函数的极值，根据题意得到，解不等式组即可.
（1）因为，
令，得或1；
令，得或；
令，得，
所以的增区间为，，减区间为.
（2）由（1）易得的极大值为，极小值为
因为有3个零点，所以，解得.
即的取值范围为.
16．【答案】（1）解：根据频率分布直方图各矩形面积和为1 可得：，解得，
则直方图中a的值是0.05；
（2）解：由直方图可知，各组频率分别为：0.05，0.3，0.35，0.25，0.05，
则，，
所以抽取的100件产品的重量的中位数在内，
设中位数为，则，解得，
即这100件产品的重量的中位数约为497.1克；
（3）解：样本中合格产品数量为，
在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为，
则所有可能的取值为0，1，2，
，，，
则的分布列为：
0 1 2
．
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式求解即可；
（2）利用频率分布直方图中中位数的求解方法求解即可；
（3）由题可得X所有可能的取值为0，1，2，利用超几何分布求出对应的概率，列分布列，求期望即可．
（1）依题意，，解得，
所以直方图中a的值是0.05；
（2）由直方图可知，各组频率分别为：0.05，0.3，0.35，0.25，0.05，
则，，
所以抽取的100件产品的重量的中位数在内，设中位数为，
则，解得：，
所以这100件产品的重量的中位数约为497.1克；
（3）样本中合格产品数量为，
在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为X，
则X所有可能的取值为0，1，2，
于是，，，
所以X的分布列为：
0 1 2
则．
17．【答案】（1）解：完善列联表
性别 满意 合计
是 否
男 147 3 150
女 138 12 150
合计 285 15 300
零假设 ： 性别与对新考勤管理方案满意无关联，
，
根据的独立性检验，推断不成立，即认为性别与对新考勤管理方案满意有关联；
（2）解：（i）由题意摸到两球同色的概率，某个被调查者回答第一个问题的概率为；
（ii）回答第一个问题有人，则回答第二个问题有人，
由题意可知公历生日是奇数的概率取为，
所以回答第一个问题，选择是的同学人数为人，
回答第二个问题，选择是的同学人数为人，
对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）完善列联表，计算，对照临界值表判断即可；
（2）由题可得摸到同色两球的概率，进而可得回答第一个问题的人数及选择“是”的人数，再利用古典概型概率公式计算即可.
（1）列联表如下：单位(人)
性别 满意 合计
是 否
男 147 3 150
女 138 12 150
合计 285 15 300
，
根据的独立性检验，性别与对新考勤管理方案满意有关联；
（2）（i）由题意摸到两球同色的概率，
某个被调查者回答第一个问题的概率为；
（ii）回答第一个问题有人，则回答第二个问题有人，
由题意可知公历生日是奇数的概率取为，
所以回答第一个问题，选择是的同学人数为人，
回答第二个问题，选择是的同学人数为人，
对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
设，则关于的方程的判别式，
当时，，，，函数在上单调递减，
当时，，方程有两个不相等的正根，，
，
当及时，，
当时，，则函数在，单调递减，在上单调递增；
综上所得，当时，在，单调递减，
在单调递增；
当时，在上单调递减；
（2）证明：由（1）知当且仅当时有极小值和极大值，
且，是方程的两个正根，则，，
，
令，
当时，，
则在内单调递减，
故，
即证：．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，并求导，分，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）表示出，通过求导进行证明．
（1），，
不妨设，
则关于的方程的判别式，
当时，，，故，
函数在上单调递减，
当时，，方程有两个不相等的正根，，
，
当及时，
当时，，在，递减，在递增；
综上所得，当时，在，递减，在递增；当时，在上单调递减.
（2）证明：由（1）知当且仅当时有极小值和极大值，
且，是方程的两个正根，则，，
，
令，
当时，，
则在内单调递减，
故，
．
19．【答案】（1）解：记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，则，，2，，，
由题意可知：随机变量可能取0，1，2，3，
由事件相互独立，则，
，
，
，
0 1 2 3
（2）解：因为正面朝上个数为奇数，则甲胜．现在考虑依次抛这枚游戏币，即按照，，，的顺序抛这枚游戏币，
记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，，2，，，
举两个例子：
表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，故只能正面朝上，；
表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，此时有两种情况：
①前面抛出游戏币正面朝上个数为奇数，反面朝上；
②前面抛出正面朝上个数为偶数，正面朝上，
故，
故当时，有，
（第一项“”表示前次正面朝上游戏币个数为奇数，从而加上0仍为奇数；
第二项“”表示前次正面朝上游戏币为偶数，从而加上1为奇数），
故．
即，即，，
记，则，，
故数列为首项是，公差为的等差数列，故，
则，故，，2，3，，，则，故公平．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的性质；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）先记事件，由题意可随机变量的可取值，分别求出概率，列出分布列即可；
（2）通过分类讨论解出抛一次落下时正面朝上的个数为奇数的概率与比较即可．
（1）记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，则，，2，，．
可取0，1，2，3．
由事件相互独立，则．
．
．
．
故分布列为：
0 1 2 3
（2）因为正面朝上个数为奇数，则甲胜．
现在考虑依次抛这枚游戏币，即按照，，，的顺序抛这枚游戏币．
记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，，2，，．
举两个例子：
表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，故只能正面朝上，；
表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，此时有两种情况：
①前面抛出游戏币正面朝上个数为奇数，反面朝上；
②前面抛出正面朝上个数为偶数，正面朝上．
故．
故当时，有，
（第一项“”表示前次正面朝上游戏币个数为奇数，从而加上0仍为奇数；
第二项“”表示前次正面朝上游戏币为偶数，从而加上1为奇数）．
故．
即，即，．
记，则，，
故数列为首项是，公差为的等差数列，故，
则，故，，2，3，，，则，故公平．
1 / 1广东省广州市天河区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
1．（2024高二下·天河期末）以下八个数据：的第80百分位数是（　　）
A．68 B．70 C．71 D．70.5
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：八个数据从小到大排列为58，60，61，63，68，70，71，72，
，则八个数据的第80百分位数为第7个数71．
故答案为：C．
【分析】利用百分位数的求解公式求解即可．
2．（2024高二下·天河期末）甲乙两人独立破译密码，甲能破译出密码的概率为，乙能破译出密码的概率为，则密码被成功破译的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设事件=“密码被成功破译”，则事件=“密码没有被成功破译”，
，则．
故答案为：D．
【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算即可.
3．（2024高二下·天河期末）已知随机变量的分布列如下：
2 3 6
则的值为（　　）
A．20 B．18 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据随机变量X的分布列可知，解得，
则，
，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据概率之和等于1得出的值，再根据随机变量X的期望公式和方差公式，从而求出随机变量X的数学期望与方差，再根据方差的性质得出的值.
4．（2024高二下·天河期末）某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在的学生人数大约为（　　）
（若，则）
A．1359 B．2718 C．3414 D．4773
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 成绩服从正态分布 ，即，，
则，
，
故抽测成绩在的学生人数大约为人.
故答案为：A.
【分析】根据正态分布的对称性求，再计算人数即可.
5．（2024高二下·天河期末）的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（　　）
A．160 B．20 C． D．
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则，
展开式的通项为：，
令，解得，则，即展开式中常数项为．
故答案为：C．
【分析】易知，写出展开式通项，令求常数项的值即可．
6．（2024高二下·天河期末）曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：，，则切线的斜率，
切线的方程为，即．
故答案为：A．
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
7．（2024高二下·天河期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．五位二进制数与出现的概率相同
【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：由题意可知：的可能取值有0，1，2，3，4，5，
且随机变量服从二项分布，，
A、，故A错误；
B、，则，故B错误；
C、，故C错误，
D、五位二进制数与出现的概率均为，故D正确．
故答案为：D．
【分析】由题意可知：随机变量服从二项分布，根据二项分布的概率公式及期望、方差公式判断即可.
8．（2024高二下·天河期末）若，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，，
则函数在上单调递增，所以，
即在上恒成立，
先判断与的大小关系，
因为恒成立，
所以，即，
因为，所以，
设，，易知在上恒成立，
则函数在上单调递减，
因为，所以，则，故A错误，B正确；
由于在不单调，故C、D错误．
故答案为：B．
【分析】先判断与的大小关系，即可得到，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再结合对数函数、二次函数的性质判断即可.
9．（2024高二下·天河期末）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（　　）
A．函数在上只有一个极小值点
B．函数在上有两个极大值点
C．函数在上可能没有零点
D．函数在上一定不存在最小值
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解： 导函数在内的图象，如图所示：
A、由图可知： 函数在上只有一个极小值点 ，故A正确；
B、由图可知： 函数在上有两个极大值点 ，故B正确；
D、若极小值是函数的最小值时，函数能取得最小值，故D错误；
C、函数可能没有零点，故C正确．
故答案为：ABC．
【分析】结合导函数的图象逐项判断即可.
10．（2024高二下·天河期末）变量的一组样本数据如下表所示：
6 8 10 12
6 3 2
通过散点图发现样本点分布在一条直线附近，并通过最小二乘法求得经验回归方程为，则（　　）
A．变量之间呈负相关关系 B．变量之间的相关系数
C． D．样本点的残差为
【答案】A,C,D
【知识点】线性回归方程；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、根据线性回归方程为，可知变量，之间呈现负相关关系，故A正确；
B、相关系数，故B错误；
C、由表中数据可得，，
代入回归方程，得，解得，故C正确；
D、由可知，则样本点的残差为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据线性回归方程的性质即可判断A；根据相关系数的公式即可判断B；根据线性回归方程必过点即可判断C；根据残差的定义即可判断D．
11．（2024高二下·天河期末）校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”，表示事件“志愿者乙派往铅球区域”，表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（　　）
A．A与相互独立 B．与互斥
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【解答】解：每个区域至少派1名志愿者，4名志愿者分组为，有种分配方法，志愿者甲单独派往铅球区域，有种分法，；同理可得，事件，甲和乙均派往铅球区域，丙和丁和剩余两个区域进行全排列，
故情况数为，则，
A、由于，A与不独立，故A错误；B选项，志愿者乙要么派往铅球区域，要么B、志愿者乙不能同时派往两个区域，则事件与互斥，故B正确；
C、事件，甲和乙均派往铅球区域，丙和丁和剩余两个区域进行全排列，
故情况数为，故，故C正确，
D、事件：甲派往铅球区域，乙派往跳远区域，剩余丙丁安排如下：
若丙和丁选择1人派往铅球区域，另外一人则在跳高区域，则有种选择，
若丙和丁选择1人派往跳远区域，另外一人则在跳高区域，则有种选择，
若丙和丁均在跳高区域，则有种选择，
综上，，，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先计算出每个区域至少派1名志愿者的方案数，进而得到，，同理可得，求出，根据，即可判断AC；根据互斥事件的定义即可判断B；求出，，利用条件概率求解即可判断D.
12．（2024高二下·天河期末）某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占，，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为，，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为　 　．
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记事件=“产品是优等品”，事件=“来自甲地”，事件=“来自乙地”，
，，，，
则，
故从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为.
故答案为：.
【分析】利用全概率公式计算即可.
13．（2024高二下·天河期末）一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有　 　种不同的去法．（用数字作答）
【答案】
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知：7名同学被邀请参加一个社团活动，有种去法，
没人去的有种，则必须有人去有种．
故答案为：．
【分析】利用分步乘法计数原理求得所有不同去法，减去没有人去的情况即可．
14．（2024高二下·天河期末）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为　 　．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数　 　．
（参考公式：决定系数，参考数据：）；
【答案】；
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：回归模型，两边同时取对数可得，
令，由最小二乘法得经验回归方程为，则，
，
则．
故答案为：；．
【分析】回归模型两边同时取对数可得，结合所给经验回归方程求出，由所给参考数据求出，即可求出决定系数.
15．（2024高二下·天河期末）已知函数（）
（1）求的单调区间；
（2）当有3个零点时，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
令，解得或；令，解得，
则函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）解：由（1）可得：函数的极大值为，极小值为，
因为有3个零点，所以，解得，
即的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）由（1）求出函数的极值，根据题意得到，解不等式组即可.
（1）因为，
令，得或1；
令，得或；
令，得，
所以的增区间为，，减区间为.
（2）由（1）易得的极大值为，极小值为
因为有3个零点，所以，解得.
即的取值范围为.
16．（2024高二下·天河期末）某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的100件产品，检测出产品的重量（单位：克），重量的分组区间为，，由此得到样本的频率分布直方图（如图）．
（1）求直方图中的值；
（2）估计这100件产品的重量的中位数（结果保留小数点后一位）；
（3）若产品重量在区间上，则判定该产品包装合格．在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：根据频率分布直方图各矩形面积和为1 可得：，解得，
则直方图中a的值是0.05；
（2）解：由直方图可知，各组频率分别为：0.05，0.3，0.35，0.25，0.05，
则，，
所以抽取的100件产品的重量的中位数在内，
设中位数为，则，解得，
即这100件产品的重量的中位数约为497.1克；
（3）解：样本中合格产品数量为，
在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为，
则所有可能的取值为0，1，2，
，，，
则的分布列为：
0 1 2
．
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式求解即可；
（2）利用频率分布直方图中中位数的求解方法求解即可；
（3）由题可得X所有可能的取值为0，1，2，利用超几何分布求出对应的概率，列分布列，求期望即可．
（1）依题意，，解得，
所以直方图中a的值是0.05；
（2）由直方图可知，各组频率分别为：0.05，0.3，0.35，0.25，0.05，
则，，
所以抽取的100件产品的重量的中位数在内，设中位数为，
则，解得：，
所以这100件产品的重量的中位数约为497.1克；
（3）样本中合格产品数量为，
在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为X，
则X所有可能的取值为0，1，2，
于是，，，
所以X的分布列为：
0 1 2
则．
17．（2024高二下·天河期末）某单位拟实行新的员工考勤管理方案．方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查，结果如下：300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人．
（1）完成如下列联表：
单位：人
性别 满意 合计
是 否
男
女
合计
根据的独立性检验，能否认为性别与对新考勤管理方案满意有关联？
（2）为了得到被调查者对所提问题的诚实回答，消除被调查者对于敏感问题的顾虑，决定调整调查方案．新的调查方案中使用两个问题：
①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意？
先让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外，完全相同）的袋子中随机摸取两个球（摸出的球再放回袋中）．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题．问卷上没有问题，答题者只需选择“是”或者“否”．由于回答的是哪个问题是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑的诚实回答．
（i）根据以上调查方案，求某个被调查者回答第一个问题的概率；
（ii）如果300人中共有206人回答“是”，请估计对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比．（每个员工公历生日是奇数的概率取为）
附：．
0.05 0.025 0.005
3.841 5.024 7.879
【答案】（1）解：完善列联表
性别 满意 合计
是 否
男 147 3 150
女 138 12 150
合计 285 15 300
零假设 ： 性别与对新考勤管理方案满意无关联，
，
根据的独立性检验，推断不成立，即认为性别与对新考勤管理方案满意有关联；
（2）解：（i）由题意摸到两球同色的概率，某个被调查者回答第一个问题的概率为；
（ii）回答第一个问题有人，则回答第二个问题有人，
由题意可知公历生日是奇数的概率取为，
所以回答第一个问题，选择是的同学人数为人，
回答第二个问题，选择是的同学人数为人，
对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）完善列联表，计算，对照临界值表判断即可；
（2）由题可得摸到同色两球的概率，进而可得回答第一个问题的人数及选择“是”的人数，再利用古典概型概率公式计算即可.
（1）列联表如下：单位(人)
性别 满意 合计
是 否
男 147 3 150
女 138 12 150
合计 285 15 300
，
根据的独立性检验，性别与对新考勤管理方案满意有关联；
（2）（i）由题意摸到两球同色的概率，
某个被调查者回答第一个问题的概率为；
（ii）回答第一个问题有人，则回答第二个问题有人，
由题意可知公历生日是奇数的概率取为，
所以回答第一个问题，选择是的同学人数为人，
回答第二个问题，选择是的同学人数为人，
对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比.
18．（2024高二下·天河期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有两个极值点，求证：．
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
设，则关于的方程的判别式，
当时，，，，函数在上单调递减，
当时，，方程有两个不相等的正根，，
，
当及时，，
当时，，则函数在，单调递减，在上单调递增；
综上所得，当时，在，单调递减，
在单调递增；
当时，在上单调递减；
（2）证明：由（1）知当且仅当时有极小值和极大值，
且，是方程的两个正根，则，，
，
令，
当时，，
则在内单调递减，
故，
即证：．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，并求导，分，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）表示出，通过求导进行证明．
（1），，
不妨设，
则关于的方程的判别式，
当时，，，故，
函数在上单调递减，
当时，，方程有两个不相等的正根，，
，
当及时，
当时，，在，递减，在递增；
综上所得，当时，在，递减，在递增；当时，在上单调递减.
（2）证明：由（1）知当且仅当时有极小值和极大值，
且，是方程的两个正根，则，，
，
令，
当时，，
则在内单调递减，
故，
．
19．（2024高二下·天河期末）现有枚游戏币，游戏币是有偏向的，向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．甲、乙利用这枚游戏币玩游戏．
（1）将这3枚游戏币向上抛出，记落下时正面朝上的个数为，求的分布列；
（2）将这枚游戏币向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．
【答案】（1）解：记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，则，，2，，，
由题意可知：随机变量可能取0，1，2，3，
由事件相互独立，则，
，
，
，
0 1 2 3
（2）解：因为正面朝上个数为奇数，则甲胜．现在考虑依次抛这枚游戏币，即按照，，，的顺序抛这枚游戏币，
记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，，2，，，
举两个例子：
表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，故只能正面朝上，；
表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，此时有两种情况：
①前面抛出游戏币正面朝上个数为奇数，反面朝上；
②前面抛出正面朝上个数为偶数，正面朝上，
故，
故当时，有，
（第一项“”表示前次正面朝上游戏币个数为奇数，从而加上0仍为奇数；
第二项“”表示前次正面朝上游戏币为偶数，从而加上1为奇数），
故．
即，即，，
记，则，，
故数列为首项是，公差为的等差数列，故，
则，故，，2，3，，，则，故公平．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的性质；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）先记事件，由题意可随机变量的可取值，分别求出概率，列出分布列即可；
（2）通过分类讨论解出抛一次落下时正面朝上的个数为奇数的概率与比较即可．
（1）记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，则，，2，，．
可取0，1，2，3．
由事件相互独立，则．
．
．
．
故分布列为：
0 1 2 3
（2）因为正面朝上个数为奇数，则甲胜．
现在考虑依次抛这枚游戏币，即按照，，，的顺序抛这枚游戏币．
记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，，2，，．
举两个例子：
表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，故只能正面朝上，；
表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，此时有两种情况：
①前面抛出游戏币正面朝上个数为奇数，反面朝上；
②前面抛出正面朝上个数为偶数，正面朝上．
故．
故当时，有，
（第一项“”表示前次正面朝上游戏币个数为奇数，从而加上0仍为奇数；
第二项“”表示前次正面朝上游戏币为偶数，从而加上1为奇数）．
故．
即，即，．
记，则，，
故数列为首项是，公差为的等差数列，故，
则，故，，2，3，，，则，故公平．
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