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湖南省益阳市安化县2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
1．（2024高二下·安化期末）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据题意，.
故答案为：C
【分析】利用交集的定义一一列举即可求解.
2．（2024高二下·安化期末）已知复数满足，则复数等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题可知，
故.
故答案为：D.
【分析】先利用复数的除法运算求解，再利用复数模的定义求解即可求解.
3．（2024高二下·安化期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A
【分析】利用诱导公式可得，再利用余弦二倍角公式即可求解.
4．（2024高二下·安化期末）已知函数过定点，则抛物线的准线方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由函数过定点，可得，
解得：，
则抛物线，
即的准线方程是．
故答案为：D．
【分析】先利用对数的运算求得，再利用抛物线的准线方程即可求解．
5．（2024高二下·安化期末）已知等比数列中，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：已知，则，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
则.
故答案为：B
【分析】先利用数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的求和公式即可求解.
6．（2024高二下·安化期末）已知，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：因为，
令可得，
令可得，
所以，，
又，
其中展开式的通项为（且），
所以，
所以，
所以.
故答案为：B
【分析】令和再两式相加可得，两式作差可得即可求解.
7．（2024高二下·安化期末）若函数在上存在极值点，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为，
则，
令，可得，
原题等价于与在内有交点，
且当时，；当时，，
则，
解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】先求导，再利用函数在上存在极值点分析可知原题等价于与在内有交点，从而得出实数a的取值范围.
8．（2024高二下·安化期末）关于函数，下列结论中错误的是（　　）
A．定义域为 B．在上单调递增
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、有意义时真数大于0，故定义域为，故A正确，不符合题意；
B、，故，
令，即，解得，
当时，，故在上单调递增，故B正确，不符合题意；
C、当时，例如时，，当，显然，
故错误，故C错误符合题意；
D．当时，，令，即，解得，
当时，则，故在上单调递减，
当时，则，故在上单调递增，
当时，函数取到极小值，也是最小值，，故D正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用函数表达式有意义的条件即可判断A；求导可得，令导函数等于0求解讨论即可判断B；利用特殊情况时，，来说明不成立即可判断C；把代入解析式，利用导函数研究最值即可判断D．
9．（2024高二下·安化期末）已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（　　）
A．数列为等差数列
B．数列的前100项和为10000
C．若，则
D．若，则的最小值为8
【答案】A,B
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：A、因为，
当时，，
当时，，符合上式，
所以，故A正确；
B、根据已知，则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以前100项和为，故B正确；
C、因为，所以，
所以，
由，得，解得，选项C错误；
D、因为，
所以，
所以
，
解得，故D错误.
故答案为：AB
【分析】先利用，求出即可判断选项A，C，化简可得，利用等差数列的前项和求解即可判断B；裂项相消法求和即可判断D.
10．（2024高二下·安化期末）湖南张家界是级景区，有许多好看的景点．李先生和张先生预选该景区的玻璃栈道和凤凰古城游玩．李先生和张先生第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他们第一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.7；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.6．设“第一天去玻璃栈道”；“第二天去玻璃栈道”；“第一天去凤凰古城”；“第二天去凤凰古城”，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：由题干可知，，A正确，B错误；
，，所以，
，
C、D正确；
故答案为：ACD.
【分析】利用题意可得到，，，，利用全概率公式即可求解.
11．（2024高二下·安化期末）已知函数下列说法正确的是（　　）
A．的单调减区间是
B．是函数的一个极值点
C．只有一个零点
D．对任意的恒成立时，取值范围为
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为的定义域为，且，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以在处取得极小值即最小值，所以，故A错误，B正确；
又当时，当时，，所以只有一个零点，故C正确；
若对任意的恒成立，则，
即取值范围为，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】先求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间与极值点即可判断A、B；求出函数的零点即可判断C，再利用即可判断D.
12．（2024高二下·安化期末）已知向量，，若，则实数　 　．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，且，
所以，解得.
故答案为：
【分析】利用平面向量共线的坐标公式即可求解.
13．（2024高二下·安化期末）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有　 　个“十全十美数”.
【答案】54
【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是0的，共有个，
分别为109，190，901，910，208，280，802，820，307，370，730，703，406，460，604，640，505，550；
②含有两个相同数字的，共有个，分别为；
③不含0且没有相同数字的，共有个，分别为
127，172，217，271，712，721136，163，316，361513，631；145，154，415，451，514，541235，253325，352，523，532
综上：18+12+24=54
故答案为：54
【分析】利用分类加法计数原理即可得到答案.
14．（2024高二下·安化期末）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意得，，
若函数存在唯一极值点，
则在上有唯一的根，所以由可得，
则有唯一的根，直线与函数的图象有一个交点(非切点)
又，所以当时，，g(x)单调递增，
当时，，g(x)单调递减，所以，函数g(x)的极大值为g(0)=1，
且当时，，当时，，则函数g(x)得图象如下图所示
所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点(非切点)，
因此，实数m的取值范围是.
故答案为：
【分析】先求导，由，可得出，得直线与函数的图象有一个交点(非切点)，利用导数分析函数的单调性与极值，观察图形得出实数m的取值范围.
15．（2024高二下·安化期末）在中，．
（1）求角；
（2）D为边BC的中点，，求面积的最大值．
【答案】（1）解：根据题意，，
则，由于，则，
则，所以；
（2）解：因为D为边BC的中点，所以，
则，
即，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变形得，结合三角形内角即可求解；
（2）根据题意，，两边平方结合基本不等式得，利用三角形面积公式求解.
（1）根据题意，，
则，由于，则，
则，所以；
（2）因为D为边BC的中点，所以，
则，
即，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
16．（2024高二下·安化期末）树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表：
男生成绩：
分数段
频数 8 12 20 55 25
女生成绩：
分数段
频数 5 15 10 30 35 5
（1）①根据上述数据完成下列列联表：
　 优秀 非优秀 合计
男生 　 　 　
女生 　 　 　
合计 　 　 　
②依据小概率值的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？
参考公式：，，
（2）以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：①依题意可得列联表：
优秀 非优秀 合计
男生 80 40 120
女生 40 60 100
合计 120 100 220
②零假设为跳绳比赛成绩优秀与性别独立，
由列联表可得，
依据小概率值的独立性检验，可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关，
该结论犯错误的概率不超过.
（2）解：高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率为，
则，所以的可能取值为、、、，
则，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
【知识点】二项分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）①根据题干数据完善列联表；②计算出卡方，再与临戒值比较即可判断；
（2）先利用高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率，依题意可得，
再利用二项分布的概率公式求出分布列和期望即可求解.
（1）①依题意可得列联表：
优秀 非优秀 合计
男生 80 40 120
女生 40 60 100
合计 120 100 220
②零假设为跳绳比赛成绩优秀与性别独立，
由列联表可得，
依据小概率值的独立性检验，可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关，
该结论犯错误的概率不超过.
（2）高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率为，
则，所以的可能取值为、、、，
则，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
17．（2024高二下·安化期末）已知函数，.
（1），求的单调区间；
（2）若方程有两个解，求的取值范围；
【答案】（1）解：由题意，函数定义域为，
，，
当时，恒成立，即在单调递增；
当时，令，则；令，则；
所以在单调递减，在单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：方程有两个解，即有两个解，
令，则，
令，则，在单调递增；
令，则，在单调递减；
所以函数的最大值为，
函数图象如图所示：
所以的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求导，讨论两种情况的单调性即可；
（2）由方程有两个解，则有两个解，令，通过导数求函数的单调性即可求解.
（1）由题意，函数定义域为，
，，
当时，恒成立，即在单调递增；
当时，令，则；令，则；
所以在单调递减，在单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）方程有两个解，即有两个解，
令，则，
令，则，在单调递增；
令，则，在单调递减；
所以函数的最大值为，
如图所示，所以的取值范围为.
18．（2024高二下·安化期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.
【答案】（1）解：根据题意，．
在椭圆上下顶点，面积的最大值.
此时.
所以，则求椭圆的方程.
（2）证明：已知如图所示：
设，
联立直线与椭圆的方程得，
.
，，
又
，
因为点到直线的距离，且，
所以．
综上，的面积为定值．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，．在椭圆上下顶点，面积的最大值即可得，再利用，求得a=2即可求解.
（2）证明 设，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数关系可得，求得点到直线的距离，通过面积公式化简计算即可求解.
（1）根据题意，．
在椭圆上下顶点，面积的最大值.
此时.
所以，则求椭圆的方程.
（2）如图所示，设，
联立直线与椭圆的方程得，
.
，，
又
，
因为点到直线的距离，且，
所以．
综上，的面积为定值．
19．（2024高二下·安化期末）立德中学高中数学创新小组开展一项数学实验（1）给出两块相同的边长都为8cm的正三角形薄铁片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分）每个四边形中有且只有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．
（1）试求图1剪拼的正三棱锥体积的大小；
（2）设正三棱柱底面边长为x，将正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域，并求其最值．
（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．
【答案】（1）解：因为正三棱锥底面是边长为4的正三角形，其面积为，
如图所示：
在正三棱锥中，
高，
.
（2）解：结合平面图形数据和三棱柱直观图，
得出三棱柱的高，其底面积，
则三棱柱容器的容积为：
，
则所求函数关系式为，
则，
令，则，
解得：，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
当时，正三棱柱形容器的容积V有最大值为：.
（3）解：如图，
分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，
再以这三条线段的中点为顶点作三角形，
以新作的三角形为直棱柱的底面，
过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，
可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，
再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；棱柱的结构特征；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用正三棱锥的结构特征和正三棱锥的体积公式，从而得出图1剪拼的正三棱锥体积的大小.
（2）由已知条件求出三棱柱的高和底面积，由棱柱体积公式得出容积关于的函数，从而得出函数的定义域，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值.
（3）根据题中操作过程结合三角形内心的性质、直三棱柱的定义，从而仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．
（1）解：正三棱锥底面是边长为4的正三角形，其面积为．
如图所示：在正三棱锥中，
高，
（2）解：结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得：
三棱柱的高，其底面积，
则三棱柱容器的容积，
即所求函数关系式为，
，
令，即，
解得：，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
在时，正三棱柱形容器的容积V有最大值为：
（3）解：如图，
分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．
以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，
可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，
再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱．
1 / 1湖南省益阳市安化县2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
1．（2024高二下·安化期末）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·安化期末）已知复数满足，则复数等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
3．（2024高二下·安化期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·安化期末）已知函数过定点，则抛物线的准线方程是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·安化期末）已知等比数列中，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·安化期末）已知，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·安化期末）若函数在上存在极值点，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·安化期末）关于函数，下列结论中错误的是（　　）
A．定义域为 B．在上单调递增
C．当时， D．当时，
9．（2024高二下·安化期末）已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（　　）
A．数列为等差数列
B．数列的前100项和为10000
C．若，则
D．若，则的最小值为8
10．（2024高二下·安化期末）湖南张家界是级景区，有许多好看的景点．李先生和张先生预选该景区的玻璃栈道和凤凰古城游玩．李先生和张先生第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他们第一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.7；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.6．设“第一天去玻璃栈道”；“第二天去玻璃栈道”；“第一天去凤凰古城”；“第二天去凤凰古城”，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·安化期末）已知函数下列说法正确的是（　　）
A．的单调减区间是
B．是函数的一个极值点
C．只有一个零点
D．对任意的恒成立时，取值范围为
12．（2024高二下·安化期末）已知向量，，若，则实数　 　．
13．（2024高二下·安化期末）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有　 　个“十全十美数”.
14．（2024高二下·安化期末）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是　 　.
15．（2024高二下·安化期末）在中，．
（1）求角；
（2）D为边BC的中点，，求面积的最大值．
16．（2024高二下·安化期末）树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表：
男生成绩：
分数段
频数 8 12 20 55 25
女生成绩：
分数段
频数 5 15 10 30 35 5
（1）①根据上述数据完成下列列联表：
　 优秀 非优秀 合计
男生 　 　 　
女生 　 　 　
合计 　 　 　
②依据小概率值的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？
参考公式：，，
（2）以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量，求的分布列与数学期望.
17．（2024高二下·安化期末）已知函数，.
（1），求的单调区间；
（2）若方程有两个解，求的取值范围；
18．（2024高二下·安化期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.
19．（2024高二下·安化期末）立德中学高中数学创新小组开展一项数学实验（1）给出两块相同的边长都为8cm的正三角形薄铁片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分）每个四边形中有且只有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．
（1）试求图1剪拼的正三棱锥体积的大小；
（2）设正三棱柱底面边长为x，将正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域，并求其最值．
（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据题意，.
故答案为：C
【分析】利用交集的定义一一列举即可求解.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题可知，
故.
故答案为：D.
【分析】先利用复数的除法运算求解，再利用复数模的定义求解即可求解.
3．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A
【分析】利用诱导公式可得，再利用余弦二倍角公式即可求解.
4．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由函数过定点，可得，
解得：，
则抛物线，
即的准线方程是．
故答案为：D．
【分析】先利用对数的运算求得，再利用抛物线的准线方程即可求解．
5．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：已知，则，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
则.
故答案为：B
【分析】先利用数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的求和公式即可求解.
6．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：因为，
令可得，
令可得，
所以，，
又，
其中展开式的通项为（且），
所以，
所以，
所以.
故答案为：B
【分析】令和再两式相加可得，两式作差可得即可求解.
7．【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为，
则，
令，可得，
原题等价于与在内有交点，
且当时，；当时，，
则，
解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】先求导，再利用函数在上存在极值点分析可知原题等价于与在内有交点，从而得出实数a的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、有意义时真数大于0，故定义域为，故A正确，不符合题意；
B、，故，
令，即，解得，
当时，，故在上单调递增，故B正确，不符合题意；
C、当时，例如时，，当，显然，
故错误，故C错误符合题意；
D．当时，，令，即，解得，
当时，则，故在上单调递减，
当时，则，故在上单调递增，
当时，函数取到极小值，也是最小值，，故D正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用函数表达式有意义的条件即可判断A；求导可得，令导函数等于0求解讨论即可判断B；利用特殊情况时，，来说明不成立即可判断C；把代入解析式，利用导函数研究最值即可判断D．
9．【答案】A,B
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：A、因为，
当时，，
当时，，符合上式，
所以，故A正确；
B、根据已知，则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以前100项和为，故B正确；
C、因为，所以，
所以，
由，得，解得，选项C错误；
D、因为，
所以，
所以
，
解得，故D错误.
故答案为：AB
【分析】先利用，求出即可判断选项A，C，化简可得，利用等差数列的前项和求解即可判断B；裂项相消法求和即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：由题干可知，，A正确，B错误；
，，所以，
，
C、D正确；
故答案为：ACD.
【分析】利用题意可得到，，，，利用全概率公式即可求解.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为的定义域为，且，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以在处取得极小值即最小值，所以，故A错误，B正确；
又当时，当时，，所以只有一个零点，故C正确；
若对任意的恒成立，则，
即取值范围为，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】先求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间与极值点即可判断A、B；求出函数的零点即可判断C，再利用即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，且，
所以，解得.
故答案为：
【分析】利用平面向量共线的坐标公式即可求解.
13．【答案】54
【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是0的，共有个，
分别为109，190，901，910，208，280，802，820，307，370，730，703，406，460，604，640，505，550；
②含有两个相同数字的，共有个，分别为；
③不含0且没有相同数字的，共有个，分别为
127，172，217，271，712，721136，163，316，361513，631；145，154，415，451，514，541235，253325，352，523，532
综上：18+12+24=54
故答案为：54
【分析】利用分类加法计数原理即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意得，，
若函数存在唯一极值点，
则在上有唯一的根，所以由可得，
则有唯一的根，直线与函数的图象有一个交点(非切点)
又，所以当时，，g(x)单调递增，
当时，，g(x)单调递减，所以，函数g(x)的极大值为g(0)=1，
且当时，，当时，，则函数g(x)得图象如下图所示
所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点(非切点)，
因此，实数m的取值范围是.
故答案为：
【分析】先求导，由，可得出，得直线与函数的图象有一个交点(非切点)，利用导数分析函数的单调性与极值，观察图形得出实数m的取值范围.
15．【答案】（1）解：根据题意，，
则，由于，则，
则，所以；
（2）解：因为D为边BC的中点，所以，
则，
即，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变形得，结合三角形内角即可求解；
（2）根据题意，，两边平方结合基本不等式得，利用三角形面积公式求解.
（1）根据题意，，
则，由于，则，
则，所以；
（2）因为D为边BC的中点，所以，
则，
即，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
16．【答案】（1）解：①依题意可得列联表：
优秀 非优秀 合计
男生 80 40 120
女生 40 60 100
合计 120 100 220
②零假设为跳绳比赛成绩优秀与性别独立，
由列联表可得，
依据小概率值的独立性检验，可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关，
该结论犯错误的概率不超过.
（2）解：高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率为，
则，所以的可能取值为、、、，
则，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
【知识点】二项分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）①根据题干数据完善列联表；②计算出卡方，再与临戒值比较即可判断；
（2）先利用高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率，依题意可得，
再利用二项分布的概率公式求出分布列和期望即可求解.
（1）①依题意可得列联表：
优秀 非优秀 合计
男生 80 40 120
女生 40 60 100
合计 120 100 220
②零假设为跳绳比赛成绩优秀与性别独立，
由列联表可得，
依据小概率值的独立性检验，可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关，
该结论犯错误的概率不超过.
（2）高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率为，
则，所以的可能取值为、、、，
则，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
17．【答案】（1）解：由题意，函数定义域为，
，，
当时，恒成立，即在单调递增；
当时，令，则；令，则；
所以在单调递减，在单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：方程有两个解，即有两个解，
令，则，
令，则，在单调递增；
令，则，在单调递减；
所以函数的最大值为，
函数图象如图所示：
所以的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求导，讨论两种情况的单调性即可；
（2）由方程有两个解，则有两个解，令，通过导数求函数的单调性即可求解.
（1）由题意，函数定义域为，
，，
当时，恒成立，即在单调递增；
当时，令，则；令，则；
所以在单调递减，在单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）方程有两个解，即有两个解，
令，则，
令，则，在单调递增；
令，则，在单调递减；
所以函数的最大值为，
如图所示，所以的取值范围为.
18．【答案】（1）解：根据题意，．
在椭圆上下顶点，面积的最大值.
此时.
所以，则求椭圆的方程.
（2）证明：已知如图所示：
设，
联立直线与椭圆的方程得，
.
，，
又
，
因为点到直线的距离，且，
所以．
综上，的面积为定值．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，．在椭圆上下顶点，面积的最大值即可得，再利用，求得a=2即可求解.
（2）证明 设，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数关系可得，求得点到直线的距离，通过面积公式化简计算即可求解.
（1）根据题意，．
在椭圆上下顶点，面积的最大值.
此时.
所以，则求椭圆的方程.
（2）如图所示，设，
联立直线与椭圆的方程得，
.
，，
又
，
因为点到直线的距离，且，
所以．
综上，的面积为定值．
19．【答案】（1）解：因为正三棱锥底面是边长为4的正三角形，其面积为，
如图所示：
在正三棱锥中，
高，
.
（2）解：结合平面图形数据和三棱柱直观图，
得出三棱柱的高，其底面积，
则三棱柱容器的容积为：
，
则所求函数关系式为，
则，
令，则，
解得：，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
当时，正三棱柱形容器的容积V有最大值为：.
（3）解：如图，
分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，
再以这三条线段的中点为顶点作三角形，
以新作的三角形为直棱柱的底面，
过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，
可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，
再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；棱柱的结构特征；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用正三棱锥的结构特征和正三棱锥的体积公式，从而得出图1剪拼的正三棱锥体积的大小.
（2）由已知条件求出三棱柱的高和底面积，由棱柱体积公式得出容积关于的函数，从而得出函数的定义域，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值.
（3）根据题中操作过程结合三角形内心的性质、直三棱柱的定义，从而仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．
（1）解：正三棱锥底面是边长为4的正三角形，其面积为．
如图所示：在正三棱锥中，
高，
（2）解：结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得：
三棱柱的高，其底面积，
则三棱柱容器的容积，
即所求函数关系式为，
，
令，即，
解得：，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
在时，正三棱柱形容器的容积V有最大值为：
（3）解：如图，
分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．
以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，
可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，
再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱．
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