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甘肃省武威市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷
1．（2024高二下·武威期末）已知函数在点处的切线方程为，则（　　）
A．2 B．1 C．-2 D．-5
2．（2024高二下·武威期末）已知，，且，则（　　）
A． B． C． D．3
3．（2024高二下·武威期末）2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节.考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·武威期末）已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（　　）
参考数据：若，则.
A．13272 B．16372 C．16800 D．19518
5．（2024高二下·武威期末）对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·武威期末）统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是，连续罚中两次的概率是.已知这位篮球运动员第一次罚球命中，则第二次罚球也命中的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·武威期末）若随机变量的分布列如表，则的值为（　　）
1 2 3 4
A． B． C． D．
8．（2024高二下·武威期末）为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024高二下·武威期末）在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（　　）
A．该班级此次练习数学成绩的均分为118
B．该班级此次练习数学成绩的方差为16.625
C．利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生
D．从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为
10．（2024高二下·武威期末）为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（　　）
A．游客中，青年人是老年人的2倍多
B．老年人的满意人数是青年人的2倍
C．到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5%
D．到该地旅游的游客满意人数超过一半
11．（2024高二下·武威期末）下列关于回归分析的说法中正确的是（　　）
A．回归直线一定过样本中心
B．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
C．甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好
D．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适
12．（2024高二下·武威期末）函数的导函数为　 　．
13．（2024高二下·武威期末）如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示　 　.
14．（2024高二下·武威期末）在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为6%，5%，4%的人患了流感.设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是　 　.
15．（2024高二下·武威期末）如图，在棱长为4的正方体中，点是的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的大小.
16．（2024高二下·武威期末）工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
（1）求取到次品的概率；
（2）若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少
17．（2024高二下·武威期末）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
　 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 　 80
感染支原体肺炎 　 40 　
合计 120 　 200
（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．
附：，．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
18．（2024高二下·武威期末）已知函数在和处取得极值.
（1）求的值：
（2）求在区间上的最大值.
19．（2024高二下·武威期末）某高校在2014年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
（ⅰ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；
（ⅱ）学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官的面试，设第4组中有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为函数在点处的切线方程为，
所以，，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据导数的几何意义求解即可.
2．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由，可得：，
已知，则，
即：，解得：.
故答案为：B.
【分析】先利用向量的坐标运算，再利用可得，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲通过三个科目的笔试考核的事件分别记为，
显然为相互独立事件，则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件，
所以甲顺利进入面试环节的概率为．
故答案为：A．
【分析】甲通过三个科目的笔试考核的事件分别记为，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
4．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点；3σ原则
【解析】【解答】解：依题意，
故所求人数为.
故答案为：C.
【分析】利用正态分布曲线的性质结合原则即可求解.
5．【答案】C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由散点图可知第1个图表示的正相关，故；
第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，
故，且，故，
综合可得，即，
故答案为：C
【分析】利用散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负，再利用点的分布情况确定大小关系即可求解.
6．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：记“第一次罚球命中”为事件A，“第二次罚球命中”为事件B，
由题意可知：，
所以.
故答案为：C.
【分析】设相应事件A，B，利用条件概率公式即可求解.
7．【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：根据概率之和为1得，
故答案为：A．
【分析】根据概率之和为1求得a，代入计算即可.
8．【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：因为 不重合，，
①、平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确；
②、平面的法向量垂直等价于平面垂直，故②正确；
③、若 ，故③错误；
④、，故④正确.
故答案为：C.
【分析】利用空间平面的法向量与平面的垂直的关系即可判断①②，利用直线的方向向量即可判断③④.
9．【答案】B,C,D
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】对于A，该班级此次练习数学成绩的均分，故A错误；
对于B，该班级此次练习数学成绩的方差
，故B正确；
对于C，利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取的男生人数为，C正确；
对于D，从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率，故D正确．
故答案为：B、C、D．
【分析】
利用均值公式计算判定A错误，代入方差公式，判断B正确、利用分层随机抽样方法按比例抽样，判断C正确、根据古典概型概率公式项判断D正确．
10．【答案】A,C,D
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】因为扇形统计图可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正确；
因为其中满意的青年人占总人数的，
满意的中年人占总人数的，
满意的老年人占总人数的，故B错误，C正确；
因为总满意率为，故D正确.
故选：.
【分析】根据扇形统计图和条形统计图所表示的意思逐项分析判断.
11．【答案】A,B,D
【知识点】回归分析；可线性化的回归分析
【解析】【解答】解：对于A，因为回归直线一定过样本中心，故A正确；
对于B，因为两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故B正确；
对于C，因为甲、乙两个模型的分别约为和，则模型甲的拟合效果更好，故C错误；
对于D，因为残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据回归直线过样本中心点可判断选项A；利用残差平方和与模型拟合效果之间的关系可判断选项B；利用相关指数与模型拟合效果的关系可判断选项C；利用残差图与模型的拟合效果的关系可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：已知，由复合函数的求导法则可得.
故答案为：.
【分析】利用复合函数的求导法则可即可求解.
13．【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据几何图形结合向量加法、数乘的几何意义，再结合空间向量基本定理，则用，，表示出.
14．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为：
故答案为：
【分析】利用全概率公式进行求解.
15．【答案】（1）证明：因为，且平面，
所以平面.又平面，
所以
又因为正方形，则平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
（2）解：以点为原点，以向量所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则.
.
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
故平面的法向量可取为.
由（1）可知，平面，所以平面的法向量可取，
设二面角的大小为由图可知为钝角，
则，因，
则，即二面角的大小为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证平面，得，再利用证明平面，即可证明；
（2）建系，求得相关点坐标，分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得.
（1）因为，且平面，
所以平面.又平面，
所以
又因为正方形，则平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
（2）
如图，以点为原点，以向量所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则.
.
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
故平面的法向量可取为.
由（1）可知，平面，所以平面的法向量可取，
设二面角的大小为由图可知为钝角，
则，因，
则，即二面角的大小为.
16．【答案】（1）解：记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则，
，
取到次品的概率为：
.
（2）解：若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：
.
【知识点】全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，再利用全概率公式计算可得取到次品的概率.
（2）利用已知条件和条件概率公式和乘法公式，从而计算可得此次品由甲车间生产的概率.
（1）记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则，
，
取到次品的概率为
；
（2）若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：
.
17．【答案】（1）解：依题意，列联表如图所示：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 40 80
感染支原体肺炎 80 40 120
合计 120 80 200
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）解：因为70岁以上的老年人中随机抽查了200人，
感染支原体肺炎的老年人为120人，
则感染支原体肺炎的频率为，
由已知可得，，
则，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据已知数据完善列联表，再计算卡方值并与临界值比较，从而认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）根据二项分布概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望的公式和方差公式，从而得出数学期望和方差.
（1）（1）列联表，如图所示：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 40 80
感染支原体肺炎 80 40 120
合计 120 80 200
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为，
由已知得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，.
18．【答案】（1）解：由已知可得和是的两个零点.
所以，，解得，.
经检验符合题意.
（2）解：由（1）的结果知.
则，
由或，由；
所以在和上递增，在上递减，
又因为.
所以在上的最大值是.
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）由题意可得和是的两个零点，再利用根与系数关系即可求解；
（2）先求导可得，再利用导函数与极值的关系即可求解.
（1）由已知可得和是的两个零点.
所以，，解得，.
经检验符合题意.
（2）由（1）的结果知.
则，
由或，由；
所以在和上递增，在上递减，
又因为.
所以在上的最大值是.
19．【答案】解：（1）第三组的频率为，第四组的频率为，
第五组的频率为．
（2）设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件，
第三组应有3人进入面试，则：
（A）．
第四组应有2人进行面试，则随机变量可能的取值为0，1，2，
且，，1，，
则随机变量的分布列为：
0 1 2
名．
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的频率和为1即可求解．
（2）设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件，第三组应有3人进入面试，利用古典概率模型即可求解．
第四组应有2人进行面试，则随机变量可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
1 / 1甘肃省武威市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷
1．（2024高二下·武威期末）已知函数在点处的切线方程为，则（　　）
A．2 B．1 C．-2 D．-5
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为函数在点处的切线方程为，
所以，，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据导数的几何意义求解即可.
2．（2024高二下·武威期末）已知，，且，则（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由，可得：，
已知，则，
即：，解得：.
故答案为：B.
【分析】先利用向量的坐标运算，再利用可得，即可求解.
3．（2024高二下·武威期末）2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节.考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲通过三个科目的笔试考核的事件分别记为，
显然为相互独立事件，则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件，
所以甲顺利进入面试环节的概率为．
故答案为：A．
【分析】甲通过三个科目的笔试考核的事件分别记为，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
4．（2024高二下·武威期末）已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（　　）
参考数据：若，则.
A．13272 B．16372 C．16800 D．19518
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点；3σ原则
【解析】【解答】解：依题意，
故所求人数为.
故答案为：C.
【分析】利用正态分布曲线的性质结合原则即可求解.
5．（2024高二下·武威期末）对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由散点图可知第1个图表示的正相关，故；
第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，
故，且，故，
综合可得，即，
故答案为：C
【分析】利用散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负，再利用点的分布情况确定大小关系即可求解.
6．（2024高二下·武威期末）统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是，连续罚中两次的概率是.已知这位篮球运动员第一次罚球命中，则第二次罚球也命中的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：记“第一次罚球命中”为事件A，“第二次罚球命中”为事件B，
由题意可知：，
所以.
故答案为：C.
【分析】设相应事件A，B，利用条件概率公式即可求解.
7．（2024高二下·武威期末）若随机变量的分布列如表，则的值为（　　）
1 2 3 4
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：根据概率之和为1得，
故答案为：A．
【分析】根据概率之和为1求得a，代入计算即可.
8．（2024高二下·武威期末）为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：因为 不重合，，
①、平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确；
②、平面的法向量垂直等价于平面垂直，故②正确；
③、若 ，故③错误；
④、，故④正确.
故答案为：C.
【分析】利用空间平面的法向量与平面的垂直的关系即可判断①②，利用直线的方向向量即可判断③④.
9．（2024高二下·武威期末）在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（　　）
A．该班级此次练习数学成绩的均分为118
B．该班级此次练习数学成绩的方差为16.625
C．利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生
D．从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为
【答案】B,C,D
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】对于A，该班级此次练习数学成绩的均分，故A错误；
对于B，该班级此次练习数学成绩的方差
，故B正确；
对于C，利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取的男生人数为，C正确；
对于D，从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率，故D正确．
故答案为：B、C、D．
【分析】
利用均值公式计算判定A错误，代入方差公式，判断B正确、利用分层随机抽样方法按比例抽样，判断C正确、根据古典概型概率公式项判断D正确．
10．（2024高二下·武威期末）为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（　　）
A．游客中，青年人是老年人的2倍多
B．老年人的满意人数是青年人的2倍
C．到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5%
D．到该地旅游的游客满意人数超过一半
【答案】A,C,D
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】因为扇形统计图可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正确；
因为其中满意的青年人占总人数的，
满意的中年人占总人数的，
满意的老年人占总人数的，故B错误，C正确；
因为总满意率为，故D正确.
故选：.
【分析】根据扇形统计图和条形统计图所表示的意思逐项分析判断.
11．（2024高二下·武威期末）下列关于回归分析的说法中正确的是（　　）
A．回归直线一定过样本中心
B．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
C．甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好
D．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适
【答案】A,B,D
【知识点】回归分析；可线性化的回归分析
【解析】【解答】解：对于A，因为回归直线一定过样本中心，故A正确；
对于B，因为两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故B正确；
对于C，因为甲、乙两个模型的分别约为和，则模型甲的拟合效果更好，故C错误；
对于D，因为残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据回归直线过样本中心点可判断选项A；利用残差平方和与模型拟合效果之间的关系可判断选项B；利用相关指数与模型拟合效果的关系可判断选项C；利用残差图与模型的拟合效果的关系可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2024高二下·武威期末）函数的导函数为　 　．
【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：已知，由复合函数的求导法则可得.
故答案为：.
【分析】利用复合函数的求导法则可即可求解.
13．（2024高二下·武威期末）如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示　 　.
【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据几何图形结合向量加法、数乘的几何意义，再结合空间向量基本定理，则用，，表示出.
14．（2024高二下·武威期末）在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为6%，5%，4%的人患了流感.设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是　 　.
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为：
故答案为：
【分析】利用全概率公式进行求解.
15．（2024高二下·武威期末）如图，在棱长为4的正方体中，点是的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明：因为，且平面，
所以平面.又平面，
所以
又因为正方形，则平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
（2）解：以点为原点，以向量所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则.
.
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
故平面的法向量可取为.
由（1）可知，平面，所以平面的法向量可取，
设二面角的大小为由图可知为钝角，
则，因，
则，即二面角的大小为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证平面，得，再利用证明平面，即可证明；
（2）建系，求得相关点坐标，分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得.
（1）因为，且平面，
所以平面.又平面，
所以
又因为正方形，则平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
（2）
如图，以点为原点，以向量所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则.
.
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
故平面的法向量可取为.
由（1）可知，平面，所以平面的法向量可取，
设二面角的大小为由图可知为钝角，
则，因，
则，即二面角的大小为.
16．（2024高二下·武威期末）工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
（1）求取到次品的概率；
（2）若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少
【答案】（1）解：记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则，
，
取到次品的概率为：
.
（2）解：若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：
.
【知识点】全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，再利用全概率公式计算可得取到次品的概率.
（2）利用已知条件和条件概率公式和乘法公式，从而计算可得此次品由甲车间生产的概率.
（1）记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则，
，
取到次品的概率为
；
（2）若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：
.
17．（2024高二下·武威期末）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
　 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 　 80
感染支原体肺炎 　 40 　
合计 120 　 200
（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．
附：，．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1）解：依题意，列联表如图所示：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 40 80
感染支原体肺炎 80 40 120
合计 120 80 200
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）解：因为70岁以上的老年人中随机抽查了200人，
感染支原体肺炎的老年人为120人，
则感染支原体肺炎的频率为，
由已知可得，，
则，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据已知数据完善列联表，再计算卡方值并与临界值比较，从而认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）根据二项分布概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望的公式和方差公式，从而得出数学期望和方差.
（1）（1）列联表，如图所示：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 40 80
感染支原体肺炎 80 40 120
合计 120 80 200
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为，
由已知得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，.
18．（2024高二下·武威期末）已知函数在和处取得极值.
（1）求的值：
（2）求在区间上的最大值.
【答案】（1）解：由已知可得和是的两个零点.
所以，，解得，.
经检验符合题意.
（2）解：由（1）的结果知.
则，
由或，由；
所以在和上递增，在上递减，
又因为.
所以在上的最大值是.
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）由题意可得和是的两个零点，再利用根与系数关系即可求解；
（2）先求导可得，再利用导函数与极值的关系即可求解.
（1）由已知可得和是的两个零点.
所以，，解得，.
经检验符合题意.
（2）由（1）的结果知.
则，
由或，由；
所以在和上递增，在上递减，
又因为.
所以在上的最大值是.
19．（2024高二下·武威期末）某高校在2014年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
（ⅰ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；
（ⅱ）学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官的面试，设第4组中有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望．
【答案】解：（1）第三组的频率为，第四组的频率为，
第五组的频率为．
（2）设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件，
第三组应有3人进入面试，则：
（A）．
第四组应有2人进行面试，则随机变量可能的取值为0，1，2，
且，，1，，
则随机变量的分布列为：
0 1 2
名．
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的频率和为1即可求解．
（2）设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件，第三组应有3人进入面试，利用古典概率模型即可求解．
第四组应有2人进行面试，则随机变量可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
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