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甘肃省2023-2024学年高二下学期教学质量统一检测数学试题
1．（2024高二下·甘肃期末）设集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·甘肃期末）在复平面内，复数 对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024高二下·甘肃期末）变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间（　　）
A．可能存在负相关 B．可能存在正相关
C．一定存在正相关 D．一定存在负相关
4．（2024高二下·甘肃期末）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·甘肃期末）两批同种规格的产品，第一批占70%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%．将这两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（　　）
A．5.5% B．5.6% C．5.7% D．5.8%
6．（2024高二下·甘肃期末）已知向量，，．若，，三点共线，则（　　）
A．2 B． C． D．
7．（2024高二下·甘肃期末）已知随机变量，从所有可能的取值中任取3个，在取出的条件下，取出的3个值的概率之和超过的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·甘肃期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．
9．（2024高二下·甘肃期末）若随机变量，，则（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·甘肃期末）已知函数，则（　　）．
A．的最小正周期为 B．的最大值为3
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
11．（2024高二下·甘肃期末）若，则（　　）
A． B．
C．中，最大 D．
12．（2024高二下·甘肃期末）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则外接圆的面积为　 　．
13．（2024高二下·甘肃期末）已知分别为椭圆的左 右焦点，为上一点，则的离心率为　 　，内切圆的半径为　 　.
14．（2024高二下·甘肃期末）甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从，，三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为　 　．
15．（2024高二下·甘肃期末）已知数列是等差数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16．（2024高二下·甘肃期末）某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．
（1）求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；
（2）记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望．
17．（2024高二下·甘肃期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形，是的中点．
（1）证明：平面．
（2）若，四棱锥的体积为72，且，求平面与平面的夹角．
18．（2024高二下·甘肃期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
19．（2024高二下·甘肃期末）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当恒成立时，判断的零点个数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，所以.
故答案为：C
【分析】利用交集的定义把公共元素一一列举即可求解.
2．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】 ，故复数 对应的点位于第一象限.
故答案为：A
【分析】根据复数的基本性质，知复数所表示的点坐标为（），即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】线性相关
【解析】【解答】解：从散点图看，这些点在一条线的附近，且从左上角到右下角呈递减的趋势，
所以据此可以推断变量x与y之间可能存在负相关.
故答案为：A．
【分析】根据散点图和相关关系的定义，从而判断出变量x与y之间的线性相关性．
4．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：依题意，，
又因为，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和指数函数的单调性、对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
5．【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：用事件，分别表示取到的产品来自第一批、第二批，B表示取到次品，
依题意，得，，，，
由全概率公式得．
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和全概率公式，从而计算得出这件产品是次品的概率.
6．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，，得，
由，，三点共线，得，
又，
因此，所以.
故答案为：B
【分析】先利用向量加法的坐标运算可得，再利用向量共线的坐标表示即可求解.
7．【答案】C
【知识点】二项分布；条件概率
【解析】【解答】解：依题意，，，
，，
在取出的条件下的事件为，则，
取出的3个值的概率之和超过的事件为，则，
所以所求概率.
故答案为：C
【分析】利用二项分布的概率公式求出的各个取值对应的概率，再利用条件概率公式即可求解.
8．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
设切点为Q，已知，则，
设，则由两点间距离公式得到，
解得，因为，所以，
因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为.
故答案为：A.
【分析】先由圆的切线的性质可求得=5，再利用两点间的距离公式并结合抛物线方程计算可得即可求解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量，，
由正态分布的性质得：
对于A、B，因为，，所以A、B正确；
对于C、D，因为，
则，s所以C错误、D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件和正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：已知，
A、由解析式可得的最小正周期为，故A正确；
B、的最大值为，故B错误；
C、的图象关于点对称，故C正确；
D、的图象关于直线对称．故D正确，
故答案为：ACD.
【分析】先利用两角和差公式化简可得，再利用三角函数图象性质逐项判断即可求解.
11．【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：A、令，得，A错误；
B、显然均为正数，均为负数，
取，得，
因此，B正确；
C、，，，
，，因此最大，C错误；
D、由，得，则，
因此，D正确.
故答案为：BD
【分析】利用赋值法逐项计算即可判断ABD；利用二项式展开式的通项公式把偶数项的系数逐个求出比较大小即可判断C.
12．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：依题意，，得，
设外接圆的半径为，
所以外接圆的面积为.
故答案为：
【分析】先利用余弦定理可得，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可求解.
13．【答案】；
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：第一空，将代入中，
则，
所以，，
则椭圆方程为，
所以，椭圆的离心率为：.
第二空，如图所示，
易得，
则，，，
因为(为三角形周长，为内切圆半径).
又因为，代入得，
解得.
故答案为：；.
【分析】第一空，将点代入椭圆方程得出b的值，从而得出椭圆C的方程，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式，从而得出椭圆C的离心率的值；第二空，先画出图形，在直角三角形中用等面积法求出内切圆的半径.
14．【答案】486
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：易知甲、乙、丙三个不同的社区的选法有种；
除甲、乙、丙外余下的4人，每人选择一个社区的方法有3种，则4人选择社区的方法种数为，
故所有不同的选择种数为.
故答案为：486.
【分析】先安排甲、乙、丙去三个不同的社区，再让余下4人选择所去社区，最后利用分步乘法计数原理列式计算即可.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
解得，
因为，
可得，解得，
所以.
（2）解：因为，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由题意，可得，
从而求出，的值，再结合等差数列的通项公式，从而得到数列的通项公式.
（2）由（1）结合数列的通项公式，从而得出，再利用裂项相消法，从而求出数列的前项和.
（1）设等差数列的公差为，解得.
，可得，解得.
所以.
（2），
所以
16．【答案】（1）解：甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率；
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率，
则甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为；
（2）解：由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为，
由题意可知：随机变量X的可能取0，1，2，3，且随机变量X服从二项分布，，
，，
，，
则的分布列为：
0 1 2 3
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算即可；
（2）由（1）中信息，求出的可能值，利用二项分布求出相应值的概率，列分布列，求期望即可.
（1）甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率；
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率，
所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为.
（2）由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为，
X的可能取0，1，2，3，显然，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
期望.
17．【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，由是菱形，得为的中点，
而E为的中点，则，平面，平面，
所以平面.
（2）解：由底面，得，
则，即，于是菱形为正方形，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，由，得，则，
，
设平面的法向量为，，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然，所以平面与平面的夹角为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，交于点，利用中位线及平行公理可得，再利用线面平行的判定即可求解.
（2）利用锥体体积计算判断菱形的形状，再建立空间直角坐标系，可得平面的法向量为，平面的法向量可得，再利用即可求解.
（1）连接，交于点，连接，由是菱形，得为的中点，
而E为的中点，则，平面，平面，
所以平面.
（2）由底面，得，
则，即，于是菱形为正方形，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，由，得，则，
，
设平面的法向量为，，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然，所以平面与平面的夹角为.
18．【答案】（1）解：不妨设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
因为焦点F到渐近线的距离为，所以，
又因为实轴长是虚轴长的倍，所以，则双曲线的标准方程为；
（2）解：由（1）知，双曲线的渐近线方程为，
当直线的斜率不存在时，的方程为，，，
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且，
联立，消去y整理得，
由，得，
联立，解得，不妨设与的交点为，则点的横坐标，
同理得点的横坐标，则，
而原点到直线的距离，因此，
所以的面积为定值，且定值为.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，结合双曲线渐近线求出，即可得双曲线的方程；
（2）按直线的斜率是否存在进行分类讨论，与双曲线渐近线方程联立求出，并求出原点O到直线l的距离，再计算推理即可.
（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
焦点F到渐近线的距离为，
由实轴长是虚轴长的倍，得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为，
当直线的斜率不存在时，的方程为，，，
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且，
由消去y得，
由，得，
由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标，
同理得点的横坐标，则，
而原点到直线的距离，因此，
所以的面积为定值，且定值为.
19．【答案】（1）解：由知.
当时，对有，所以在上递增；
当时，对有，对有，
所以在上递增，在上递减.
综上，当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减.
（2）解：当恒成立时，
假设，则.
从而，这与矛盾，所以一定有.
当时，据的单调性有.
故对，有，代入表达式知，即.
所以对都有，
这就得到
.
故恒成立.
综上，的取值范围是.
下面来讨论的零点个数：
当时，根据的单调性，有，所以没有零点；
当时，首先有.
而根据的单调性，对有，所以有唯一的零点即.
综上，当时，的零点个数为；当时，的零点个数为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求导可得，再分，两类讨论并判断导函数的正负性即可求解；
（2）先分，两类讨论法确定的取值范围，再利用的单调性确定零点的个数即可求解.
（1）由知.
当时，对有，所以在上递增；
当时，对有，对有，
所以在上递增，在上递减.
综上，当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减.
（2）当恒成立时，
假设，则.
从而，这与矛盾，所以一定有.
当时，据的单调性有.
故对，有，代入表达式知，即.
所以对都有，
这就得到
.
故恒成立.
综上，的取值范围是.
下面来讨论的零点个数：
当时，根据的单调性，有，所以没有零点；
当时，首先有.
而根据的单调性，对有，所以有唯一的零点即.
综上，当时，的零点个数为；当时，的零点个数为.
1 / 1甘肃省2023-2024学年高二下学期教学质量统一检测数学试题
1．（2024高二下·甘肃期末）设集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，所以.
故答案为：C
【分析】利用交集的定义把公共元素一一列举即可求解.
2．（2024高二下·甘肃期末）在复平面内，复数 对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】 ，故复数 对应的点位于第一象限.
故答案为：A
【分析】根据复数的基本性质，知复数所表示的点坐标为（），即可得出答案。
3．（2024高二下·甘肃期末）变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间（　　）
A．可能存在负相关 B．可能存在正相关
C．一定存在正相关 D．一定存在负相关
【答案】A
【知识点】线性相关
【解析】【解答】解：从散点图看，这些点在一条线的附近，且从左上角到右下角呈递减的趋势，
所以据此可以推断变量x与y之间可能存在负相关.
故答案为：A．
【分析】根据散点图和相关关系的定义，从而判断出变量x与y之间的线性相关性．
4．（2024高二下·甘肃期末）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：依题意，，
又因为，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和指数函数的单调性、对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
5．（2024高二下·甘肃期末）两批同种规格的产品，第一批占70%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%．将这两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（　　）
A．5.5% B．5.6% C．5.7% D．5.8%
【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：用事件，分别表示取到的产品来自第一批、第二批，B表示取到次品，
依题意，得，，，，
由全概率公式得．
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和全概率公式，从而计算得出这件产品是次品的概率.
6．（2024高二下·甘肃期末）已知向量，，．若，，三点共线，则（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，，得，
由，，三点共线，得，
又，
因此，所以.
故答案为：B
【分析】先利用向量加法的坐标运算可得，再利用向量共线的坐标表示即可求解.
7．（2024高二下·甘肃期末）已知随机变量，从所有可能的取值中任取3个，在取出的条件下，取出的3个值的概率之和超过的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二项分布；条件概率
【解析】【解答】解：依题意，，，
，，
在取出的条件下的事件为，则，
取出的3个值的概率之和超过的事件为，则，
所以所求概率.
故答案为：C
【分析】利用二项分布的概率公式求出的各个取值对应的概率，再利用条件概率公式即可求解.
8．（2024高二下·甘肃期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
设切点为Q，已知，则，
设，则由两点间距离公式得到，
解得，因为，所以，
因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为.
故答案为：A.
【分析】先由圆的切线的性质可求得=5，再利用两点间的距离公式并结合抛物线方程计算可得即可求解.
9．（2024高二下·甘肃期末）若随机变量，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量，，
由正态分布的性质得：
对于A、B，因为，，所以A、B正确；
对于C、D，因为，
则，s所以C错误、D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件和正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2024高二下·甘肃期末）已知函数，则（　　）．
A．的最小正周期为 B．的最大值为3
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
【答案】A,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：已知，
A、由解析式可得的最小正周期为，故A正确；
B、的最大值为，故B错误；
C、的图象关于点对称，故C正确；
D、的图象关于直线对称．故D正确，
故答案为：ACD.
【分析】先利用两角和差公式化简可得，再利用三角函数图象性质逐项判断即可求解.
11．（2024高二下·甘肃期末）若，则（　　）
A． B．
C．中，最大 D．
【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：A、令，得，A错误；
B、显然均为正数，均为负数，
取，得，
因此，B正确；
C、，，，
，，因此最大，C错误；
D、由，得，则，
因此，D正确.
故答案为：BD
【分析】利用赋值法逐项计算即可判断ABD；利用二项式展开式的通项公式把偶数项的系数逐个求出比较大小即可判断C.
12．（2024高二下·甘肃期末）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则外接圆的面积为　 　．
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：依题意，，得，
设外接圆的半径为，
所以外接圆的面积为.
故答案为：
【分析】先利用余弦定理可得，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可求解.
13．（2024高二下·甘肃期末）已知分别为椭圆的左 右焦点，为上一点，则的离心率为　 　，内切圆的半径为　 　.
【答案】；
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：第一空，将代入中，
则，
所以，，
则椭圆方程为，
所以，椭圆的离心率为：.
第二空，如图所示，
易得，
则，，，
因为(为三角形周长，为内切圆半径).
又因为，代入得，
解得.
故答案为：；.
【分析】第一空，将点代入椭圆方程得出b的值，从而得出椭圆C的方程，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式，从而得出椭圆C的离心率的值；第二空，先画出图形，在直角三角形中用等面积法求出内切圆的半径.
14．（2024高二下·甘肃期末）甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从，，三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为　 　．
【答案】486
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：易知甲、乙、丙三个不同的社区的选法有种；
除甲、乙、丙外余下的4人，每人选择一个社区的方法有3种，则4人选择社区的方法种数为，
故所有不同的选择种数为.
故答案为：486.
【分析】先安排甲、乙、丙去三个不同的社区，再让余下4人选择所去社区，最后利用分步乘法计数原理列式计算即可.
15．（2024高二下·甘肃期末）已知数列是等差数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
解得，
因为，
可得，解得，
所以.
（2）解：因为，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由题意，可得，
从而求出，的值，再结合等差数列的通项公式，从而得到数列的通项公式.
（2）由（1）结合数列的通项公式，从而得出，再利用裂项相消法，从而求出数列的前项和.
（1）设等差数列的公差为，解得.
，可得，解得.
所以.
（2），
所以
16．（2024高二下·甘肃期末）某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．
（1）求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；
（2）记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望．
【答案】（1）解：甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率；
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率，
则甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为；
（2）解：由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为，
由题意可知：随机变量X的可能取0，1，2，3，且随机变量X服从二项分布，，
，，
，，
则的分布列为：
0 1 2 3
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算即可；
（2）由（1）中信息，求出的可能值，利用二项分布求出相应值的概率，列分布列，求期望即可.
（1）甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率；
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率，
所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为.
（2）由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为，
X的可能取0，1，2，3，显然，
，，
，，
所以的分布列为：
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期望.
17．（2024高二下·甘肃期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形，是的中点．
（1）证明：平面．
（2）若，四棱锥的体积为72，且，求平面与平面的夹角．
【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，由是菱形，得为的中点，
而E为的中点，则，平面，平面，
所以平面.
（2）解：由底面，得，
则，即，于是菱形为正方形，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，由，得，则，
，
设平面的法向量为，，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然，所以平面与平面的夹角为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，交于点，利用中位线及平行公理可得，再利用线面平行的判定即可求解.
（2）利用锥体体积计算判断菱形的形状，再建立空间直角坐标系，可得平面的法向量为，平面的法向量可得，再利用即可求解.
（1）连接，交于点，连接，由是菱形，得为的中点，
而E为的中点，则，平面，平面，
所以平面.
（2）由底面，得，
则，即，于是菱形为正方形，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，由，得，则，
，
设平面的法向量为，，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然，所以平面与平面的夹角为.
18．（2024高二下·甘肃期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
【答案】（1）解：不妨设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
因为焦点F到渐近线的距离为，所以，
又因为实轴长是虚轴长的倍，所以，则双曲线的标准方程为；
（2）解：由（1）知，双曲线的渐近线方程为，
当直线的斜率不存在时，的方程为，，，
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且，
联立，消去y整理得，
由，得，
联立，解得，不妨设与的交点为，则点的横坐标，
同理得点的横坐标，则，
而原点到直线的距离，因此，
所以的面积为定值，且定值为.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，结合双曲线渐近线求出，即可得双曲线的方程；
（2）按直线的斜率是否存在进行分类讨论，与双曲线渐近线方程联立求出，并求出原点O到直线l的距离，再计算推理即可.
（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
焦点F到渐近线的距离为，
由实轴长是虚轴长的倍，得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为，
当直线的斜率不存在时，的方程为，，，
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且，
由消去y得，
由，得，
由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标，
同理得点的横坐标，则，
而原点到直线的距离，因此，
所以的面积为定值，且定值为.
19．（2024高二下·甘肃期末）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当恒成立时，判断的零点个数．
【答案】（1）解：由知.
当时，对有，所以在上递增；
当时，对有，对有，
所以在上递增，在上递减.
综上，当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减.
（2）解：当恒成立时，
假设，则.
从而，这与矛盾，所以一定有.
当时，据的单调性有.
故对，有，代入表达式知，即.
所以对都有，
这就得到
.
故恒成立.
综上，的取值范围是.
下面来讨论的零点个数：
当时，根据的单调性，有，所以没有零点；
当时，首先有.
而根据的单调性，对有，所以有唯一的零点即.
综上，当时，的零点个数为；当时，的零点个数为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求导可得，再分，两类讨论并判断导函数的正负性即可求解；
（2）先分，两类讨论法确定的取值范围，再利用的单调性确定零点的个数即可求解.
（1）由知.
当时，对有，所以在上递增；
当时，对有，对有，
所以在上递增，在上递减.
综上，当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减.
（2）当恒成立时，
假设，则.
从而，这与矛盾，所以一定有.
当时，据的单调性有.
故对，有，代入表达式知，即.
所以对都有，
这就得到
.
故恒成立.
综上，的取值范围是.
下面来讨论的零点个数：
当时，根据的单调性，有，所以没有零点；
当时，首先有.
而根据的单调性，对有，所以有唯一的零点即.
综上，当时，的零点个数为；当时，的零点个数为.
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