资源简介

山东省东营市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试题
1．（2024高二下·东营期末）已知数列是等差数列，且满足，则等于（　　）
A．84 B．72 C．75 D．56
【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列的性质得，则，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用等差数列的性质即可求解.
2．（2024高二下·东营期末）一个圆锥的母线长为8，母线与轴的夹角为，则圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：设母线长、底面圆半径长分别为，由题意，
所以底面圆周长为，r=4，
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：B.
【分析】先利用底面圆的半径长度以及周长可得r=4，再l利用圆锥侧面积的计算公式即可求解.
3．（2024高二下·东营期末）已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由在上单调递减，
可得在上恒成立，故，
所以，
故答案为：A
【分析】先求导，再转化为函数在上恒成立，参变分离即可求解.
4．（2024高二下·东营期末）已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（　　）
x 4 4.5 5 5.5 6
y 7 6 4 2 1
A．0.2 B． C．0.4 D．
【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意得，
，
则样本中心点为，代入可得，
所以回归直线方程为，
当时，，
所以时的残差为.
故答案为：D
【分析】先求出，，即可得到，再利用回归方程求出时的预测值，再利用残差定义即可求解.
5．（2024高二下·东营期末）已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，假设抽出的产品需要专门检测，检测费用Y元与抽到的次品数X有关，且，则（　　）
A．97 B．98 C．99 D．100
【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由题意得抽到的次品数X服从二项分布，
方差，
而，
所以.
故答案为：B.
【分析】先利用二项分布的方差公式可得，再利用方差的性质即可求出.
6．（2024高二下·东营期末）已知二面角的大小为，其棱上有两点，分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直，已知，则（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接，
因为，，
则，
又因为，，，
所以二面角的平面角为，
因为四边形为平行四边形，
则，，
因为，
所以为直角三角形，
则，
，
则，，
，
所以平面，
因为平面，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】以、为邻边作平行四边形，连接，结合平行四边形的结构特征和勾股定理，从而计算出、的长，再结合和线线垂直、线面垂直的推导关系，从而证出，再利用勾股定理得出的长.
7．（2024高二下·东营期末）记为等比数列的前项和，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，①，
由①化简得，，解得：，
所以．
故答案为：C．
【分析】先验证时是不成立，再利用等比数列前n项和公式求出，代入求和公式即可.
8．（2024高二下·东营期末）已知函数，若方程有三个实数解，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：求导可得，
当或时，；当时，，
故在，上为增函数，在上为减函数，
故的极大值为，的极小值为，
当时，，当时，，
故的图像如图所示：
故，
故答案为：A.
【分析】先求导，再利用导数刻画的图像，结合函数图象可得直线与的图像有3个不同的交点即可求解.
9．（2024高二下·东营期末）已知盒中有大小相同的2个红球和2个蓝球，从中随机摸球，下列说法正确的是（　　）
A．每次摸出1个球并放回，则第1次摸到红球与第2次摸到蓝球是相互独立的
B．每次摸出1个球并放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为
C．每次摸出1个球不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为
D．每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为
【答案】A,C
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点；条件概率
【解析】【解答】解：A、每次摸出1个球并放回，则第1次摸到红球与第2次摸到蓝球是互不影响的，
即它们是相互独立的，故A正确；
B、摸到红球的次数X服从二项分布，
所以，故B错误；
C、第1次摸到红球的条件下，此时袋子中只有：1个红球，两个蓝球，
所以第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，故C正确；
D、第一次可能摸到红球或者蓝球，结合全概率公式可知，
所求概率为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用独立事件定义即可判断A，利用二项分布方差即可判断B，利用条件概率即可判断C，利用全概率公式即可判断D.
10．（2024高二下·东营期末）已知数列满足，则（　　）
A．存在等差数列满足上述递推公式
B．存在等比数列满足上述递推公式
C．存在周期数列满足上述递推公式
D．存在摆动数列满足上述递推公式
【答案】A,C,D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：已知，
则或，
当时，则为
当时，则为
A、当时，为首项为，公差为的等差数列，故A正确；
B、 设数列为等比数列，公比为，
因为，所以，
若，则，此时，，矛盾，
当时，，
此时，若为大于的奇数，，矛盾，故B错误；
C、当时，则为故为周期数列，故C正确；
D、当时，则为故为摆动数列，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意可得到或，再构造等比数列逐项判断即可求解.
11．（2024高二下·东营期末）已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点是侧面内一点（含边界），若平面，则下列说法正确的是（　　）
A．点的轨迹为一条线段
B．三棱锥的体积为定值
C．的取值范围是
D．平面截该正方体的外接球所得截面的面积为
【答案】A,B,D
【知识点】球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、取的中点分别为，连接、、，
由正方体的性质易得，
又面，面，面，面，
所以面，面，又，面，
所以面面，又平面，点是侧面内一点（含边界），
所以点的轨迹为线段，故A正确；
B、的面积为定值，因为平面，
所以点到平面的距离为定值，则点到平面的距离为定值，
所以为定值，故B正确；
C、，，
所以点到的距离，故C错误；
D、连接、，则，，所以，
所以、、、四点共面，
正方体外接球的球心在体对角线的中点，
设球心为，外接球的半径，
如图建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
取，
则点到平面的距离，
所以平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径，
所以截面面积，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】通过证明平面平面可得点的轨迹即可判断A；利用到平面的距离为定值来即可判断B；求出点到的距离即可判断C；建立空间直角坐标系，求出球心到平面的距离，求出截面圆的半径即可判断D.
12．（2024高二下·东营期末）已知随机变量服从正态分布，且，则　 　.
【答案】0.3
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意可得正态分布均值为，
所以，
故.
【分析】利用正态分布的对称性即可求解.
13．（2024高二下·东营期末）已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，则体积为　 　．
【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：连接，，取他们中点分别为，.连接，过作于如图所示：
根据题意可求得，.
则，
则.
则.
故答案为：.
【分析】由题意画出图形过作于，利用勾股定理求出高，再利用棱台的体积公式即可求解.
14．（2024高二下·东营期末）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为　 　
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为等价于，
令，则，
所以是增函数，
所以等价于，
所以，所以，
令，则，
所以在上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以，则，
所以实数的取值范围为．
故答案为：.
【分析】利用等价于，令，则求导判断函数的单调性，从而可得等价于，进而可得，令，只需，再利用导数求函数最值的方法得出实数a的取值范围．
15．（2024高二下·东营期末）如图，在三棱锥中，，，设分别为棱的中点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：由分别为棱的中点，得，
分别为棱的中点，如图所示：
且，，
平面平面，
平面，
因为平面，
所以平面平面．
（2）解：由（1）知平面，又是等腰直角三角形，E是中点，，
以E为原点，为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
，
记平面与平面所成角为，，
平面与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理证明，，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，平面的法向量，平面的法向量，再利用平面与平面向量夹角的坐标公式即可求解.
（1）由分别为棱的中点，得，
分别为棱的中点，
且，，
平面平面，
平面，
因为平面，
所以平面平面．
（2）由（1）知平面，又是等腰直角三角形，E是中点，，
以E为原点，为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
，
记平面与平面所成角为，，
平面与平面所成角的正弦值为.
16．（2024高二下·东营期末）已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：由题意知当时，①
当时，②
联立①②，解得，；
所以数列的通项公式．
（2）解：由（1）知，，
所以，可得；
设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，
所以，即；
又因为，，成等差数列，所以，
所以，化简得，即；
又，所以与已知矛盾；
所以在数列中不存在3项，，成等比数列．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）由题意构造方程组解得，，再利用等比数列的通项公式即可求解；
（2）假设存在，，成等比数列，由，，成等差数列可得，且，解得，与已知矛盾，因此不存在这样的3项.
（1）由题意知当时，①
当时，②
联立①②，解得，；
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
所以，可得；
设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，
所以，即；
又因为，，成等差数列，所以，
所以，化简得，即；
又，所以与已知矛盾；
所以在数列中不存在3项，，成等比数列．
17．（2024高二下·东营期末）某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且．
（1）求和；
（2）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并分析能否有的把握认为学生期末统考中数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关；
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及价 不及格A
建立B
未建立
合计
（3）现从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法抽取6人座谈，再从这6人中随机抽取3人了解建立错题本情况，记建立个性化错题本的学生人数为X，求X的分布列及期望．
0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
（附：，．）
【答案】（1）解：因为，所以，
所以
由，解得，所以，
则，解得．
（2）解：
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及价 不及格A
建立B 20 4 24
未建立 4 8 12
合计 24 12 36
根据列联表中的数据，经计算得到．
所以有的把握认为期末统考中的数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关．
（3）解：从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，其中建立个性化错题本的学生人数为2人，不建立个性化错题本的学生人数为4人．故X的取值范围是
X的分布列为：
X 0 1 2
P
故X的期望为
【知识点】独立性检验的应用；超几何分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）根据对立事件的概率可得，即可根据条件概率以及全概率公式即可求解，
（2）计算卡方，再与临界值比较即可求解；
（3）利用超几何概率的计算得分布列，即可求解期望.
（1）因为，所以，
所以
由，解得，所以，
则，解得．
（2）
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及价 不及格A
建立B 20 4 24
未建立 4 8 12
合计 24 12 36
根据列联表中的数据，经计算得到．
所以有的把握认为期末统考中的数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关．
（3）从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，其中建立个性化错题本的学生人数为2人，不建立个性化错题本的学生人数为4人．故X的取值范围是
X的分布列为
X 0 1 2
P
故X的期望为
18．（2024高二下·东营期末）已知函数 ．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，则
所以曲线在点处的切线方程为：
即．
故答案为：
（2）解：的定义域为，
（ⅰ）若，则，所以在上单调递减
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，.
所以在单调递减，在单调递增．
故当时， 在上单调递减
当时， 在单调递减，在单调递增．
（3）解：（ⅰ）若，由（2）知，至多有一个零点，不满足条件．
（ⅱ）若，由（2）知，当时，取得最小值，最小值为
①当时，由于，故只有一个零点，不满足条件；
②当时，，即，故没有零点，不满足条件；
③当时，，，即．
又，故在有一个零点．
设正整数满足，则
．
由于，因此在有一个零点．
综上，的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)当 时，根据题意可得 ，计算f(0)，对f(x)求导得f' (x)，再由导数的几何意义可得k切=f' (0)，进而求出切线方程；
(2)求导得 ，令f' (x)=0的解为 ，分两种情况讨论f' (x)正负，进而可判断出 的单调性；
(3)对f (x)求导得分三种情况：当 时，当 时，讨论导数的正负，f (x)的单调性，进而求出 的取值范围．
19．（2024高二下·东营期末）在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”．
（1）若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；
（2）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式；
（3）若正项数列为“数列”，且，，证明：．
【答案】（1）解：数列不是“数列”，理由如下：，则，
又，
所以，
因为不是常数，所以数列不是“数列”.
（2）解：因为数列为“数列”，由，有①，
所以②，
两式作差得，
又因为数列为“数列”，所以，
设数列的公比为，所以，
即对成立，
则，得；
又，，
得，所以.
（3）证明：设函数，则，当时，，则在上单调递减，且，
因为数列为“数列”，则，
因为，，
则，故，
由此类推，可得对，，
所以，即，所以得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出即可判断；
（2）根据数列为“数列”，化为，进而求得，作差有，再利用题意，解出，由此求出，即可求求解.
（3）构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，且，再推导出且，符合上述区间，即可证明.
（1）数列不是“数列”，理由如下：
，则，
又，
所以，
因为不是常数，所以数列不是“数列”.
（2）因为数列为“数列”，由，
有①，
所以②，
两式作差得，
又因为数列为“数列”，所以，
设数列的公比为，所以，
即对成立，
则，得；
又，，
得，所以.
（3）设函数，则，
当时，，则在上单调递减，且，
因为数列为“数列”，则，
因为，，
则，故，
由此类推，可得对，，
所以，即，所以得证.
1 / 1山东省东营市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试题
1．（2024高二下·东营期末）已知数列是等差数列，且满足，则等于（　　）
A．84 B．72 C．75 D．56
2．（2024高二下·东营期末）一个圆锥的母线长为8，母线与轴的夹角为，则圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·东营期末）已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
4．（2024高二下·东营期末）已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（　　）
x 4 4.5 5 5.5 6
y 7 6 4 2 1
A．0.2 B． C．0.4 D．
5．（2024高二下·东营期末）已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，假设抽出的产品需要专门检测，检测费用Y元与抽到的次品数X有关，且，则（　　）
A．97 B．98 C．99 D．100
6．（2024高二下·东营期末）已知二面角的大小为，其棱上有两点，分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直，已知，则（　　）
A．2 B． C． D．
7．（2024高二下·东营期末）记为等比数列的前项和，若，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·东营期末）已知函数，若方程有三个实数解，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·东营期末）已知盒中有大小相同的2个红球和2个蓝球，从中随机摸球，下列说法正确的是（　　）
A．每次摸出1个球并放回，则第1次摸到红球与第2次摸到蓝球是相互独立的
B．每次摸出1个球并放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为
C．每次摸出1个球不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为
D．每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为
10．（2024高二下·东营期末）已知数列满足，则（　　）
A．存在等差数列满足上述递推公式
B．存在等比数列满足上述递推公式
C．存在周期数列满足上述递推公式
D．存在摆动数列满足上述递推公式
11．（2024高二下·东营期末）已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点是侧面内一点（含边界），若平面，则下列说法正确的是（　　）
A．点的轨迹为一条线段
B．三棱锥的体积为定值
C．的取值范围是
D．平面截该正方体的外接球所得截面的面积为
12．（2024高二下·东营期末）已知随机变量服从正态分布，且，则　 　.
13．（2024高二下·东营期末）已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，则体积为　 　．
14．（2024高二下·东营期末）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为　 　
15．（2024高二下·东营期末）如图，在三棱锥中，，，设分别为棱的中点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
16．（2024高二下·东营期末）已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
17．（2024高二下·东营期末）某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且．
（1）求和；
（2）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并分析能否有的把握认为学生期末统考中数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关；
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及价 不及格A
建立B
未建立
合计
（3）现从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法抽取6人座谈，再从这6人中随机抽取3人了解建立错题本情况，记建立个性化错题本的学生人数为X，求X的分布列及期望．
0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
（附：，．）
18．（2024高二下·东营期末）已知函数 ．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个零点，求的取值范围．
19．（2024高二下·东营期末）在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”．
（1）若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；
（2）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式；
（3）若正项数列为“数列”，且，，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列的性质得，则，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用等差数列的性质即可求解.
2．【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：设母线长、底面圆半径长分别为，由题意，
所以底面圆周长为，r=4，
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：B.
【分析】先利用底面圆的半径长度以及周长可得r=4，再l利用圆锥侧面积的计算公式即可求解.
3．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由在上单调递减，
可得在上恒成立，故，
所以，
故答案为：A
【分析】先求导，再转化为函数在上恒成立，参变分离即可求解.
4．【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意得，
，
则样本中心点为，代入可得，
所以回归直线方程为，
当时，，
所以时的残差为.
故答案为：D
【分析】先求出，，即可得到，再利用回归方程求出时的预测值，再利用残差定义即可求解.
5．【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由题意得抽到的次品数X服从二项分布，
方差，
而，
所以.
故答案为：B.
【分析】先利用二项分布的方差公式可得，再利用方差的性质即可求出.
6．【答案】D
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接，
因为，，
则，
又因为，，，
所以二面角的平面角为，
因为四边形为平行四边形，
则，，
因为，
所以为直角三角形，
则，
，
则，，
，
所以平面，
因为平面，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】以、为邻边作平行四边形，连接，结合平行四边形的结构特征和勾股定理，从而计算出、的长，再结合和线线垂直、线面垂直的推导关系，从而证出，再利用勾股定理得出的长.
7．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，①，
由①化简得，，解得：，
所以．
故答案为：C．
【分析】先验证时是不成立，再利用等比数列前n项和公式求出，代入求和公式即可.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：求导可得，
当或时，；当时，，
故在，上为增函数，在上为减函数，
故的极大值为，的极小值为，
当时，，当时，，
故的图像如图所示：
故，
故答案为：A.
【分析】先求导，再利用导数刻画的图像，结合函数图象可得直线与的图像有3个不同的交点即可求解.
9．【答案】A,C
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点；条件概率
【解析】【解答】解：A、每次摸出1个球并放回，则第1次摸到红球与第2次摸到蓝球是互不影响的，
即它们是相互独立的，故A正确；
B、摸到红球的次数X服从二项分布，
所以，故B错误；
C、第1次摸到红球的条件下，此时袋子中只有：1个红球，两个蓝球，
所以第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，故C正确；
D、第一次可能摸到红球或者蓝球，结合全概率公式可知，
所求概率为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用独立事件定义即可判断A，利用二项分布方差即可判断B，利用条件概率即可判断C，利用全概率公式即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：已知，
则或，
当时，则为
当时，则为
A、当时，为首项为，公差为的等差数列，故A正确；
B、 设数列为等比数列，公比为，
因为，所以，
若，则，此时，，矛盾，
当时，，
此时，若为大于的奇数，，矛盾，故B错误；
C、当时，则为故为周期数列，故C正确；
D、当时，则为故为摆动数列，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意可得到或，再构造等比数列逐项判断即可求解.
11．【答案】A,B,D
【知识点】球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、取的中点分别为，连接、、，
由正方体的性质易得，
又面，面，面，面，
所以面，面，又，面，
所以面面，又平面，点是侧面内一点（含边界），
所以点的轨迹为线段，故A正确；
B、的面积为定值，因为平面，
所以点到平面的距离为定值，则点到平面的距离为定值，
所以为定值，故B正确；
C、，，
所以点到的距离，故C错误；
D、连接、，则，，所以，
所以、、、四点共面，
正方体外接球的球心在体对角线的中点，
设球心为，外接球的半径，
如图建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
取，
则点到平面的距离，
所以平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径，
所以截面面积，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】通过证明平面平面可得点的轨迹即可判断A；利用到平面的距离为定值来即可判断B；求出点到的距离即可判断C；建立空间直角坐标系，求出球心到平面的距离，求出截面圆的半径即可判断D.
12．【答案】0.3
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意可得正态分布均值为，
所以，
故.
【分析】利用正态分布的对称性即可求解.
13．【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：连接，，取他们中点分别为，.连接，过作于如图所示：
根据题意可求得，.
则，
则.
则.
故答案为：.
【分析】由题意画出图形过作于，利用勾股定理求出高，再利用棱台的体积公式即可求解.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为等价于，
令，则，
所以是增函数，
所以等价于，
所以，所以，
令，则，
所以在上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以，则，
所以实数的取值范围为．
故答案为：.
【分析】利用等价于，令，则求导判断函数的单调性，从而可得等价于，进而可得，令，只需，再利用导数求函数最值的方法得出实数a的取值范围．
15．【答案】（1）证明：由分别为棱的中点，得，
分别为棱的中点，如图所示：
且，，
平面平面，
平面，
因为平面，
所以平面平面．
（2）解：由（1）知平面，又是等腰直角三角形，E是中点，，
以E为原点，为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
，
记平面与平面所成角为，，
平面与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理证明，，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，平面的法向量，平面的法向量，再利用平面与平面向量夹角的坐标公式即可求解.
（1）由分别为棱的中点，得，
分别为棱的中点，
且，，
平面平面，
平面，
因为平面，
所以平面平面．
（2）由（1）知平面，又是等腰直角三角形，E是中点，，
以E为原点，为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
，
记平面与平面所成角为，，
平面与平面所成角的正弦值为.
16．【答案】（1）证明：由题意知当时，①
当时，②
联立①②，解得，；
所以数列的通项公式．
（2）解：由（1）知，，
所以，可得；
设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，
所以，即；
又因为，，成等差数列，所以，
所以，化简得，即；
又，所以与已知矛盾；
所以在数列中不存在3项，，成等比数列．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）由题意构造方程组解得，，再利用等比数列的通项公式即可求解；
（2）假设存在，，成等比数列，由，，成等差数列可得，且，解得，与已知矛盾，因此不存在这样的3项.
（1）由题意知当时，①
当时，②
联立①②，解得，；
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
所以，可得；
设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，
所以，即；
又因为，，成等差数列，所以，
所以，化简得，即；
又，所以与已知矛盾；
所以在数列中不存在3项，，成等比数列．
17．【答案】（1）解：因为，所以，
所以
由，解得，所以，
则，解得．
（2）解：
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及价 不及格A
建立B 20 4 24
未建立 4 8 12
合计 24 12 36
根据列联表中的数据，经计算得到．
所以有的把握认为期末统考中的数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关．
（3）解：从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，其中建立个性化错题本的学生人数为2人，不建立个性化错题本的学生人数为4人．故X的取值范围是
X的分布列为：
X 0 1 2
P
故X的期望为
【知识点】独立性检验的应用；超几何分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）根据对立事件的概率可得，即可根据条件概率以及全概率公式即可求解，
（2）计算卡方，再与临界值比较即可求解；
（3）利用超几何概率的计算得分布列，即可求解期望.
（1）因为，所以，
所以
由，解得，所以，
则，解得．
（2）
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及价 不及格A
建立B 20 4 24
未建立 4 8 12
合计 24 12 36
根据列联表中的数据，经计算得到．
所以有的把握认为期末统考中的数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关．
（3）从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，其中建立个性化错题本的学生人数为2人，不建立个性化错题本的学生人数为4人．故X的取值范围是
X的分布列为
X 0 1 2
P
故X的期望为
18．【答案】（1）解：当时，，则
所以曲线在点处的切线方程为：
即．
故答案为：
（2）解：的定义域为，
（ⅰ）若，则，所以在上单调递减
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，.
所以在单调递减，在单调递增．
故当时， 在上单调递减
当时， 在单调递减，在单调递增．
（3）解：（ⅰ）若，由（2）知，至多有一个零点，不满足条件．
（ⅱ）若，由（2）知，当时，取得最小值，最小值为
①当时，由于，故只有一个零点，不满足条件；
②当时，，即，故没有零点，不满足条件；
③当时，，，即．
又，故在有一个零点．
设正整数满足，则
．
由于，因此在有一个零点．
综上，的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)当 时，根据题意可得 ，计算f(0)，对f(x)求导得f' (x)，再由导数的几何意义可得k切=f' (0)，进而求出切线方程；
(2)求导得 ，令f' (x)=0的解为 ，分两种情况讨论f' (x)正负，进而可判断出 的单调性；
(3)对f (x)求导得分三种情况：当 时，当 时，讨论导数的正负，f (x)的单调性，进而求出 的取值范围．
19．【答案】（1）解：数列不是“数列”，理由如下：，则，
又，
所以，
因为不是常数，所以数列不是“数列”.
（2）解：因为数列为“数列”，由，有①，
所以②，
两式作差得，
又因为数列为“数列”，所以，
设数列的公比为，所以，
即对成立，
则，得；
又，，
得，所以.
（3）证明：设函数，则，当时，，则在上单调递减，且，
因为数列为“数列”，则，
因为，，
则，故，
由此类推，可得对，，
所以，即，所以得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出即可判断；
（2）根据数列为“数列”，化为，进而求得，作差有，再利用题意，解出，由此求出，即可求求解.
（3）构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，且，再推导出且，符合上述区间，即可证明.
（1）数列不是“数列”，理由如下：
，则，
又，
所以，
因为不是常数，所以数列不是“数列”.
（2）因为数列为“数列”，由，
有①，
所以②，
两式作差得，
又因为数列为“数列”，所以，
设数列的公比为，所以，
即对成立，
则，得；
又，，
得，所以.
（3）设函数，则，
当时，，则在上单调递减，且，
因为数列为“数列”，则，
因为，，
则，故，
由此类推，可得对，，
所以，即，所以得证.
1 / 1

展开更多......

收起↑