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广东省东莞市第四高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
1．（2025高二下·东莞期中）函数在时的瞬时变化率为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
2．（2025高二下·东莞期中）函数的单调递减区间是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·东莞期中）函数在上的最大值是（　　）
A． B．0 C． D．
4．（2025高二下·东莞期中）某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为（　　）
A．120种 B．84种 C．52种 D．48种
5．（2025高二下·东莞期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·东莞期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·东莞期中）若的展开式中的系数为30，则 （　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·东莞期中）定义在上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025高二下·东莞期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（　　）
A．在上单调递减 B．在处取得极大值
C．在上单调递减 D．在处取得最小值
10．（2025高二下·东莞期中） 2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（　　）
A．若A与B相邻，则有48种不同站法
B．若C与D不相邻，则有24种不同站法
C．若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法
D．若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法
11．（2025高二下·东莞期中）已知函数，则（　　）
A．的极小值为2
B．有两个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
12．（2025高二下·东莞期中）在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为　 　.
13．（2025高二下·东莞期中）若函数在处取得极小值，则　 　；函数的极大值为　 　．
14．（2025高二下·东莞期中）若函数在上单调递增，则实数的最大值为　 　．
15．（2025高二下·东莞期中）已知函数在处取得极小值5.
（1）求实数a，b的值；
（2）当时，求函数的最大值.
16．（2025高二下·东莞期中）若，求：
（1）求的值；
（2）；
（3）．
17．（2025高二下·东莞期中）工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
（1）求取到次品的概率；
（2）若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少
18．（2025高二下·东莞期中）设函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间与极值；
（3）求出方程的解的个数.
19．（2025高二下·东莞期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】瞬时变化率
【解析】【解答】解：由可得，
故时的瞬时变化率为，
故答案为：B
【分析】先求导可得，利用瞬时速度分定义代入即可求解.
2．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：已知，则，
由，得，所以单调递减区间是.
故答案为：D．
【分析】先求导可得，再利用导函数和原函数单调性的关系即可求解.
3．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：已知，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以.
故答案为：B.
【分析】先求导可得，再利用导数的正负与原函数单调性的关系即可求解.
4．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：8人中任选3人的组队方案有种，
没有女生的方案有种，
所以符合要求的组队方案有种.
故答案为：C.
【分析】先求出8人中任选3人的方案，再利用间接法求出没有女生的方案即可求解.
5．【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：已知直线斜率为1，因为两直线垂直，
则
曲线在点处的切线的斜率为，
由，则，
所以.
故答案为：A
【分析】先利用两直线垂直结合导数几何意义可得，再利用求导公式可得代值即可求解.
6．【答案】C
【知识点】概率的基本性质；条件概率
【解析】【解答】解：因为，
所以，故A错误；
，故B错误；
又因为，故D错误；
，，
.
故答案为：C．
【分析】先利用在时，，再利用条件概率公式计算即可求解．
7．【答案】A
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，
则的展开式中为，
可得，解得.
故答案为：A.
【分析】先利用展开式的通项可得，再利用分类求得的系数列出方程即可求解.
8．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
由于当时，，
则当时，，在单调递减，
又为奇函数，，
则，则函数为偶函数，
由偶函数性质可得函数在上单调递增，又，则，
当时，由，可得，即，解得；
当时，由，可得，即，解得；
综上，不等式的解集为，故D正确.
故答案为：D．
【分析】先由题意构造，求导可得，可得在单调递减且函数为偶函数，再将合理转化即可求解.
9．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由导函数的图象可知，当时，当时，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，在处取得极大值.
故正确的有BC.
故答案为：BC
【分析】利用导函数图象结合的单调性与导数正负的关系与极值的定义即可求解.
10．【答案】A,C,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、将A，捆绑成一个元素，和剩余的3人，一共4个人全排列，
由分步原理可知共有种，故A正确；
B、先将，之外的3人全排，形成4个空，再将两人插空，所以共有种，故B错误；
C、5人全排列，而其中在的左边和在的右边是等可能的，所以在的左边的排法有种，故C正确；
D、对A分两种情况：若A站在最中间，则剩下的4人全排列有种；
若A不在最左边也不在最中间，则A从其余的3个位置中任选1个，然后从除最中间的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有种，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用捆绑法，即可判断A；根据插空法，即可判断B；根据全排列及对称性，即可判断C；先分析特殊元素（位置），再进行全排列，即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；图形的对称性；函数零点存在定理
【解析】【解答】，，
令，解得：或，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增；
的极小值为：，
的极大值为：，
有两个零点，的极小值为4，A不符合题意、B符合题意；
对C，若点是曲线的对称中心，则有，
将函数代入上式验证得：
，C符合题意；
对于D，，解得：，
当时，， 切线方程为：，即，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合零点存在性定理判断出函数的零点的个数，再结合函数的对称中心求解方法、求导的方法求出曲线的切线的方法，进而找出正确的选项。
12．【答案】24
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为的展开式中，所有二项式系数的和是16，所以，解得.
又的展开式的通项公式，
令，得，所以展开式中的常数项为.
故答案为：24
【分析】利用二项式系数和公式求出n的值，再求出展开式的通项公式，令x的指数为0，由此即可求解．
13．【答案】2；
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，或 ，
当 时， ，所以 ，当 或 时 ， 时 ，即函数在 和 上单调递增，在 上单调递减，所以函数在 处取得极小值，符合题意，函数在 处取得极大值，且 ；
当 时， ，所以 ，当 或 时 ， 时 ，即函数在 和 上单调递增，在 上单调递减，函数在 处取得极大值，不符合题意，
．
故答案为：2； ；
【分析】求出函数的导数，结合f' (2) = 0，求出a的值，结合函数的极值点确定a的值，求出函数的极大值即可.
14．【答案】2
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
由在上单调递增，得到，即，
又当，令，由二次函数性质得在上单调递增，
则，故，则实数的最大值为2．
故答案为：2．
【分析】先可得求导，结合题意可得在上恒成立，构造函数求最小值即可求解.
15．【答案】（1）解：，
因为在处取极小值5，所以，得，
此时，
令，解得；令，解得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取极小值，符合题意.
所以，.
又，所以.
综上，，.
（2）解：由（1）知，，
列表如下：
0 （0，1） 1 2 （2，3） 3
0 0
1 极大值6 极小值5 10
由于，故时，.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导得，利用极值的定义可得，解出值，验证即可求解；
（2）由（1）知，求导再列表即可得到其最大值即可求解.
（1），
因为在处取极小值5，所以，得，
此时，
令，解得；令，解得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取极小值，符合题意.
所以，.
又，所以.
综上，，.
（2）由（1）知，，
列表如下：
0 （0，1） 1 2 （2，3） 3
0 0
1 极大值6 极小值5 10
由于，故时，.
16．【答案】（1）解：二项式展开式的通项为，
其中．
因为，所以．
（2）解：，
令，解得；
令，整理得，
故．
（3）解：的展开式通项为，则，
其中且，当为偶数时，；当为奇数时，．
所以
令可得，
所以．
【知识点】二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，结合题意可求等于通项公式的第5项的系数即可求解；
（2）利用赋值法可求系数和即可求解；
（3）同（2）利用赋值法可求系数和.
（1）二项式展开式的通项为，
其中．
因为，所以．
（2），
令，解得；
令，整理得，
故．
（3）的展开式通项为，则，
其中且，当为偶数时，；当为奇数时，．
所以
令可得，
所以．
17．【答案】（1）解：记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则，
，
取到次品的概率为：
.
（2）解：若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：
.
【知识点】全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，再利用全概率公式计算可得取到次品的概率.
（2）利用已知条件和条件概率公式和乘法公式，从而计算可得此次品由甲车间生产的概率.
（1）记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则，
，
取到次品的概率为
；
（2）若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：
.
18．【答案】（1）解：由，
所以，且，
所以曲线在处的切线方程为，
即；
（2）解：因为，
令，得或，
所以当或时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以的单调递增区间为；的单调递减区间为.
的极大值为；的极小值为；
（3）解：由（2）可知函数的单调性和极值，
画出和得图象，
可得当或时，方程的解为1个；
当或时，方程的解为2个；
当时，方程的解为3个.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求导可得，再利用导数几何意义先求切线斜率为-1，然后求出切线方程即可；
（2）利用导数求的单调区间与极值；
（3）画出和得图象，利用数形结合即可求解.
（1）由，
所以，且，
所以曲线在处的切线方程为，
即；
（2）因为，
令，得或，
所以当或时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以的单调递增区间为；的单调递减区间为.
的极大值为；的极小值为；
（3）由（2）可知函数的单调性和极值，
画出和得图象，
可得当或时，方程的解为1个；
当或时，方程的解为2个；
当时，方程的解为3个.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，
则，
①当时，令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
③当时，恒成立，
在上单调递增，
④当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
（2）证明：当时，，定义域为，
设，
则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，所以，
所以，即得证．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）设，求导可得，利用导数说明函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可得证.
（1）函数的定义域为，
则，
①当时，令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
③当时，恒成立，
在上单调递增，
④当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
（2）当时，，定义域为，
设，
则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，所以，
所以，即得证．
1 / 1广东省东莞市第四高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
1．（2025高二下·东莞期中）函数在时的瞬时变化率为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】瞬时变化率
【解析】【解答】解：由可得，
故时的瞬时变化率为，
故答案为：B
【分析】先求导可得，利用瞬时速度分定义代入即可求解.
2．（2025高二下·东莞期中）函数的单调递减区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：已知，则，
由，得，所以单调递减区间是.
故答案为：D．
【分析】先求导可得，再利用导函数和原函数单调性的关系即可求解.
3．（2025高二下·东莞期中）函数在上的最大值是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：已知，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以.
故答案为：B.
【分析】先求导可得，再利用导数的正负与原函数单调性的关系即可求解.
4．（2025高二下·东莞期中）某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为（　　）
A．120种 B．84种 C．52种 D．48种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：8人中任选3人的组队方案有种，
没有女生的方案有种，
所以符合要求的组队方案有种.
故答案为：C.
【分析】先求出8人中任选3人的方案，再利用间接法求出没有女生的方案即可求解.
5．（2025高二下·东莞期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：已知直线斜率为1，因为两直线垂直，
则
曲线在点处的切线的斜率为，
由，则，
所以.
故答案为：A
【分析】先利用两直线垂直结合导数几何意义可得，再利用求导公式可得代值即可求解.
6．（2025高二下·东莞期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率的基本性质；条件概率
【解析】【解答】解：因为，
所以，故A错误；
，故B错误；
又因为，故D错误；
，，
.
故答案为：C．
【分析】先利用在时，，再利用条件概率公式计算即可求解．
7．（2025高二下·东莞期中）若的展开式中的系数为30，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，
则的展开式中为，
可得，解得.
故答案为：A.
【分析】先利用展开式的通项可得，再利用分类求得的系数列出方程即可求解.
8．（2025高二下·东莞期中）定义在上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
由于当时，，
则当时，，在单调递减，
又为奇函数，，
则，则函数为偶函数，
由偶函数性质可得函数在上单调递增，又，则，
当时，由，可得，即，解得；
当时，由，可得，即，解得；
综上，不等式的解集为，故D正确.
故答案为：D．
【分析】先由题意构造，求导可得，可得在单调递减且函数为偶函数，再将合理转化即可求解.
9．（2025高二下·东莞期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（　　）
A．在上单调递减 B．在处取得极大值
C．在上单调递减 D．在处取得最小值
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由导函数的图象可知，当时，当时，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，在处取得极大值.
故正确的有BC.
故答案为：BC
【分析】利用导函数图象结合的单调性与导数正负的关系与极值的定义即可求解.
10．（2025高二下·东莞期中） 2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（　　）
A．若A与B相邻，则有48种不同站法
B．若C与D不相邻，则有24种不同站法
C．若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法
D．若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法
【答案】A,C,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、将A，捆绑成一个元素，和剩余的3人，一共4个人全排列，
由分步原理可知共有种，故A正确；
B、先将，之外的3人全排，形成4个空，再将两人插空，所以共有种，故B错误；
C、5人全排列，而其中在的左边和在的右边是等可能的，所以在的左边的排法有种，故C正确；
D、对A分两种情况：若A站在最中间，则剩下的4人全排列有种；
若A不在最左边也不在最中间，则A从其余的3个位置中任选1个，然后从除最中间的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有种，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用捆绑法，即可判断A；根据插空法，即可判断B；根据全排列及对称性，即可判断C；先分析特殊元素（位置），再进行全排列，即可判断D.
11．（2025高二下·东莞期中）已知函数，则（　　）
A．的极小值为2
B．有两个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；图形的对称性；函数零点存在定理
【解析】【解答】，，
令，解得：或，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增；
的极小值为：，
的极大值为：，
有两个零点，的极小值为4，A不符合题意、B符合题意；
对C，若点是曲线的对称中心，则有，
将函数代入上式验证得：
，C符合题意；
对于D，，解得：，
当时，， 切线方程为：，即，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合零点存在性定理判断出函数的零点的个数，再结合函数的对称中心求解方法、求导的方法求出曲线的切线的方法，进而找出正确的选项。
12．（2025高二下·东莞期中）在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为　 　.
【答案】24
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为的展开式中，所有二项式系数的和是16，所以，解得.
又的展开式的通项公式，
令，得，所以展开式中的常数项为.
故答案为：24
【分析】利用二项式系数和公式求出n的值，再求出展开式的通项公式，令x的指数为0，由此即可求解．
13．（2025高二下·东莞期中）若函数在处取得极小值，则　 　；函数的极大值为　 　．
【答案】2；
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，或 ，
当 时， ，所以 ，当 或 时 ， 时 ，即函数在 和 上单调递增，在 上单调递减，所以函数在 处取得极小值，符合题意，函数在 处取得极大值，且 ；
当 时， ，所以 ，当 或 时 ， 时 ，即函数在 和 上单调递增，在 上单调递减，函数在 处取得极大值，不符合题意，
．
故答案为：2； ；
【分析】求出函数的导数，结合f' (2) = 0，求出a的值，结合函数的极值点确定a的值，求出函数的极大值即可.
14．（2025高二下·东莞期中）若函数在上单调递增，则实数的最大值为　 　．
【答案】2
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
由在上单调递增，得到，即，
又当，令，由二次函数性质得在上单调递增，
则，故，则实数的最大值为2．
故答案为：2．
【分析】先可得求导，结合题意可得在上恒成立，构造函数求最小值即可求解.
15．（2025高二下·东莞期中）已知函数在处取得极小值5.
（1）求实数a，b的值；
（2）当时，求函数的最大值.
【答案】（1）解：，
因为在处取极小值5，所以，得，
此时，
令，解得；令，解得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取极小值，符合题意.
所以，.
又，所以.
综上，，.
（2）解：由（1）知，，
列表如下：
0 （0，1） 1 2 （2，3） 3
0 0
1 极大值6 极小值5 10
由于，故时，.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导得，利用极值的定义可得，解出值，验证即可求解；
（2）由（1）知，求导再列表即可得到其最大值即可求解.
（1），
因为在处取极小值5，所以，得，
此时，
令，解得；令，解得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取极小值，符合题意.
所以，.
又，所以.
综上，，.
（2）由（1）知，，
列表如下：
0 （0，1） 1 2 （2，3） 3
0 0
1 极大值6 极小值5 10
由于，故时，.
16．（2025高二下·东莞期中）若，求：
（1）求的值；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：二项式展开式的通项为，
其中．
因为，所以．
（2）解：，
令，解得；
令，整理得，
故．
（3）解：的展开式通项为，则，
其中且，当为偶数时，；当为奇数时，．
所以
令可得，
所以．
【知识点】二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，结合题意可求等于通项公式的第5项的系数即可求解；
（2）利用赋值法可求系数和即可求解；
（3）同（2）利用赋值法可求系数和.
（1）二项式展开式的通项为，
其中．
因为，所以．
（2），
令，解得；
令，整理得，
故．
（3）的展开式通项为，则，
其中且，当为偶数时，；当为奇数时，．
所以
令可得，
所以．
17．（2025高二下·东莞期中）工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
（1）求取到次品的概率；
（2）若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少
【答案】（1）解：记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则，
，
取到次品的概率为：
.
（2）解：若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：
.
【知识点】全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，再利用全概率公式计算可得取到次品的概率.
（2）利用已知条件和条件概率公式和乘法公式，从而计算可得此次品由甲车间生产的概率.
（1）记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则，
，
取到次品的概率为
；
（2）若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：
.
18．（2025高二下·东莞期中）设函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间与极值；
（3）求出方程的解的个数.
【答案】（1）解：由，
所以，且，
所以曲线在处的切线方程为，
即；
（2）解：因为，
令，得或，
所以当或时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以的单调递增区间为；的单调递减区间为.
的极大值为；的极小值为；
（3）解：由（2）可知函数的单调性和极值，
画出和得图象，
可得当或时，方程的解为1个；
当或时，方程的解为2个；
当时，方程的解为3个.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求导可得，再利用导数几何意义先求切线斜率为-1，然后求出切线方程即可；
（2）利用导数求的单调区间与极值；
（3）画出和得图象，利用数形结合即可求解.
（1）由，
所以，且，
所以曲线在处的切线方程为，
即；
（2）因为，
令，得或，
所以当或时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以的单调递增区间为；的单调递减区间为.
的极大值为；的极小值为；
（3）由（2）可知函数的单调性和极值，
画出和得图象，
可得当或时，方程的解为1个；
当或时，方程的解为2个；
当时，方程的解为3个.
19．（2025高二下·东莞期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）解：函数的定义域为，
则，
①当时，令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
③当时，恒成立，
在上单调递增，
④当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
（2）证明：当时，，定义域为，
设，
则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，所以，
所以，即得证．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）设，求导可得，利用导数说明函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可得证.
（1）函数的定义域为，
则，
①当时，令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
③当时，恒成立，
在上单调递增，
④当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
（2）当时，，定义域为，
设，
则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，所以，
所以，即得证．
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