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江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题
1．（2024高二下·苏州期末）函数在上的平均变化率为（　　）
A．0.21 B．2.1 C．－0.21 D．-2.1
2．（2024高二下·苏州期末）设全集，集合，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·苏州期末）对于满足的任意正整数，（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·苏州期末）已知a，，则“”是“”的什么条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高二下·苏州期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（　　）
A．或1 B．或2 C．1 D．
6．（2024高二下·苏州期末）在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·苏州期末）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·苏州期末）已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有（　　）
A．48种 B．60种 C．66种 D．72种
9．（2024高二下·苏州期末）下列说法中正确的有（　　）
A．若随机变量，满足经验回归方程，则，的取值呈现正相关
B．若随机变量，且，则
C．若事件相互独立，则
D．若5件产品中有2件次品，采取无放回的方式随机抽取3件，则抽取的3件产品中次品数为1的概率是
10．（2024高二下·苏州期末）拐点（Inflection Point）又称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点，直观地说，是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）．拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．设函数对于区间内任一点都可导，且函数对于区间内任一点都可导，若，使得，且在的两侧的符号相反，则称点为曲线的拐点．以下函数具有唯一拐点的有（　　）
A． B．，
C．（，且） D．
11．（2024高二下·苏州期末）已知定义域为的连续函数满足，，则（　　）
A． B．为奇函数
C．在上单调递减 D．在上的最大值为1
12．（2024高二下·苏州期末）被6除所得的余数为　 　．
13．（2024高二下·苏州期末）已知随机变量，的五组观测数据如下表：
1 2 3 4 5
由表中数据通过模型得到经验回归方程为，则实数的值为　 　．
14．（2024高二下·苏州期末）已知函数，若关于的不等式的解集为且，则的极小值为　 　．
15．（2024高二下·苏州期末）已知（其中）的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为．
（1）求；
（2）记，求的值．
16．（2024高二下·苏州期末）已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为，每次射击的结果相互独立，共进行4次射击．
（1）求恰有3次命中10环的概率；
（2）求至多有3次命中10环的概率；
（3）设命中10环的次数为，求随机变量的数学期望和方差．
17．（2024高二下·苏州期末）已知函数为奇函数．
（1）设函数，求的值；
（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．
18．（2024高二下·苏州期末）某学校组织名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下列联表．
　 红色 蓝色 合计
男 20 25 45
女 40 15 55
合计 60 40 100
（1）是否有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”；
（2）在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，
①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率；
②记所选的箱子中有对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以），求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．
α 0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
19．（2024高二下·苏州期末）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值；
（3）若关于的方程有两个实根，，求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：函数在上的平均变化率为
.
故选：D
【分析】
本题主要考查了平均变化率的求解，利用平均变化率的定义，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，，
又因为，
所以，
所以.
故选：C.
【分析】本题考查了集合的补集和交集运算，先分别用列举法求集合、，再根据补集的定义求，最后根据交集的定义求.
3．【答案】D
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：对于选项A：，显然不满足题目中给出的表达式。
对于选项B：，也不满足题目的表达式。
对于选项C：，虽然它接近题目的表达式，但由于缺少4这一项，所以也是错误的。
对于选项D：，这与题目中给出的表达式完全一致。
故选：D.
【分析】需要寻找与表达式相等的排列公式。观察给定的表达式，可以看到是从4开始到n的连续整数的乘积。
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若，则，
所以，充分性成立；
反之，当时，成立，
但，故必要性不成立；
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质可得充分性成立，举反例，则不满足，进而可得结论.
5．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为幂函数在上单调递减，
可得：，
解得.
故选：C.
【分析】本题主要考查了幂函数的定义及应用，根据幂函数的定义及单调性，列出方程组，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色，
事件为第二次再从中随机摸出一个球是黄球，
则
.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和全概率公式，从而计算得出此次摸出的是黄球的概率.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，且，
所以，
令，
则，
所以在上为增函数，
所以，
即，
所以，
则，
所以，
综上所述，.
故选：A.
【分析】利用对数函数、三角函数、幂函数的单调性判断a和b的大小，构造函数判断a和c的大小.
8．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：分两类讨论，第一类，甲站在正中间，有种，
第二类，甲不站在正中间，则乙有3种位置可选，剩余三人全排，有种，
根据分类加法计数原理，不同的排法共有种.
故选：B.
【分析】本题主要考查了排列组合，分两类讨论甲的位置情况，再求和，第一类甲站在正中间，剩余4人全排，第二类甲不站在正中间，则乙有3种位置可选，剩余三人全排，再排甲，利用分步乘法计数原理求解.
9．【答案】B,C
【知识点】线性回归方程；相互独立事件；条件概率与独立事件；正态分布定义
【解析】【解答】解：对于A，回归方程为，这里的斜率为，这意味着和之间是负相关，而非正相关，故A错误；
对于B，因为随机变量，且，
所以，故B正确；
对于C，若事件相互独立，那么事件A发生的概率不会受到事件B是否发生的影响。根据独立事件的性质，我们知道，故C正确；
对于D，由题意抽取的3件产品中次品数为1的概率，故D正确.
故选：BCD.
【分析】
本题需要分别分析四个选项中提到的统计概念，包括回归方程、正态分布、独立事件和无放回抽样，然后根据统计学的基本原理判断每个选项的正确性。根据回归方程即可判断A；根据正态分布的对称性即可判断B；根据相互独立事件的概率公式及条件概率公式即可判断C；根据古典概型的概率公式即可判断D.
10．【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A：因为
所以，
则，
令得，
当时，，
当时，，，
所以是函数的拐点，故A正确；
对于B：，
，，
令，方程无解，
所以无拐点，故B错误；
对于C：，
，
令得，
当且时，，
当且当时，，
当且时，，
当且时，，
，
所以是函数唯一拐点，故C正确；
对于D：，，
因为，
所以在至少有一个零点且为变号零点，
又因为，
所以在至少有一个零点且为变号零点所以有拐点但不唯一，故D错误.
故选：AC
【分析】本题考查新定义，导数的运算，利用导数判断函数单调性与最值，先求导，再求二阶导，然后利用导数的性质逐个判断，即可得出答案.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】解：【解答】对于A，令，
则，
所以，故A正确；
对于B，由，
得，
令，
则，
令，
则，
所以，
令，
则，
所以为奇函数，
即为奇函数，故B正确；
由，
关于求导得，，
令，
则，
所以（为常数），
即，
所以（为常数），
因为，
所以，
所以，
则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，故C错误；D正确.
故选：ABD.
【分析】
代入，求出，A选项正确；对函数化简可得为奇函数，B选项正确；通过构造函数，利用函数的单调性与奇偶性，求得在上单调递增，在上单调递减，故C选项错误；根据的单调性，可得在上的最大值为，D选项正确．
12．【答案】
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：，
展开式的前项都能被整除，
只有最后一项不能被整除，
所以问题转化为被的余数，
而，被除的余数为，
所以被除的余数为.
故填：
【分析】
本题考查了二项式定理的应用，将用二项式定理展开，把问题转化为被6的余数。
13．【答案】
【知识点】线性回归方程
【解析】解：【解答】令，
则，
因为，
所以，
所以，
解得.
故填：.
【分析】
本题考查经验回归方程研究其应用，令，则，求出，再根据线性回归方程必过样本中心点即可得解.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】解：【解答】由题意可得，
即，
当时，，
当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为.
故填：.
【分析】
本题主要考查了导数与极值的问题，本题的关键是判断出，根据不等式的解集和韦达定理得到，再利用导数求出极小值.
15．【答案】（1）解：因为第2项的二项式系数为，
第3项的二项式系数为，
由题意，知，解得
（2）解：由（1）可知，
令，则，
令，则，
则.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式定理，写出第2项的二项式系数与第3项的二项式系数，从而得到。
（2）令，求出，再令，即可求出答案.
16．【答案】（1）解：设运动员每次射击命中10环为随机变量，
由题意可知，
所以
（2）解：由题意可知
至多有3次命中10环的概率即；
（3）解：命中10环的次数为，则，
所以，
.
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】
(1)、利用二项分布的概率计算公式求解即可；
(2)、利用对立事件的概率计算公式求解即可；
(3)、根据二项分布的数学期望和方差计算公式求解即可。
17．【答案】（1）解：因为函数的定义域为，且函数为奇函数，
所以，
即，
所以，
经检验，符合题意，
所以，
则，
因为为奇函数，所以，
所以；

（2）解：，
因为是上的增函数，且恒大于零，
所以在上单调递减，
由，
得，
所以，
即，
因为关于的方程有实数根，
所以关于的方程有实数根，
而，
当且仅当，
即时取等号，
所以.

【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性求出t，得到的解析式，从而求出的解析式，再利用奇函数求解；
（2）由的奇偶性和单调性化简方程，利用换元法和一元二次方程求解.
18．【答案】（1）零假设：喜好红色或蓝色与性别无关，
因为，
所以根据独立性检验，没有充分证据推断成立，
因此有的把握认为喜好红色或蓝色与性别有关.
（2）①根据题意可知箱子的标号有4个奇数3个偶数，
标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，
设事件记为所选的4个箱子的标号数之和为奇数，
则；
②标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，
则选取4个箱子的所有情况有
记所选的箱子中有对相邻序号，可得则
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3
因此数学期望.
【知识点】独立性检验；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论；
（2） ① 根据古典概型计算概率；
② 根据题意求离散型随机变量的可能取值及相应概率，列出分布列，根据数学期望公式计算出结果；
19．【答案】（1）解：，，
又，
则有，
即曲线在处的切线方程为；
（2）解：由题意可得在上恒成立，令，
则，
令，
则，
则当时，，
故在上单调递增，
则当时，，
当时，，
故在上单调递增，
有，符合要求，
当时，由，，
则存在，使，
即当时，，
当，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，不符合要求，故舍去，
综上所述，，故实数的最大值为；
（3），
由，即有有两个实根，，
令，，
当时，恒成立，不可能有两个实根，故舍去；
当，则时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则有，即，
又，
不妨令，则有，
有，令，，即有，
则有，即，
即，则要证，只需证，
即证， 令，即证，
令，，
则恒成立，
故在上单调递减，故，
即有在时恒成立，故得证；
由（2）可知，当时，在上恒成立，
即在上恒成立，
则当时，，即，
由，则、，
故，，
则，，
又，即，即，
即，则有，
整理得，即，即，
即；
综上，得证.
【知识点】导数的几何意义
【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）由题意可得在上恒成立，则可构造函数，求导后分及讨论其单调性，在时结合零点的存在性定理研究，即可得的具体范围，即可得其最大值；
（3）借助因式分解可将原问题转化为有两个实根，借助导数研究其单调性可得两根范围，借助换元法，令，，可得，两式作差可得，从而将证明转化为证明，借助换元法令，即证，构造相应函数，借助导数即可证明；再借助（2）中所得，结合两实根的范围，可得，即可得，两式作差即可得证.
1 / 1江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题
1．（2024高二下·苏州期末）函数在上的平均变化率为（　　）
A．0.21 B．2.1 C．－0.21 D．-2.1
【答案】D
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：函数在上的平均变化率为
.
故选：D
【分析】
本题主要考查了平均变化率的求解，利用平均变化率的定义，即可求解.
2．（2024高二下·苏州期末）设全集，集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，，
又因为，
所以，
所以.
故选：C.
【分析】本题考查了集合的补集和交集运算，先分别用列举法求集合、，再根据补集的定义求，最后根据交集的定义求.
3．（2024高二下·苏州期末）对于满足的任意正整数，（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：对于选项A：，显然不满足题目中给出的表达式。
对于选项B：，也不满足题目的表达式。
对于选项C：，虽然它接近题目的表达式，但由于缺少4这一项，所以也是错误的。
对于选项D：，这与题目中给出的表达式完全一致。
故选：D.
【分析】需要寻找与表达式相等的排列公式。观察给定的表达式，可以看到是从4开始到n的连续整数的乘积。
4．（2024高二下·苏州期末）已知a，，则“”是“”的什么条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若，则，
所以，充分性成立；
反之，当时，成立，
但，故必要性不成立；
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质可得充分性成立，举反例，则不满足，进而可得结论.
5．（2024高二下·苏州期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（　　）
A．或1 B．或2 C．1 D．
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为幂函数在上单调递减，
可得：，
解得.
故选：C.
【分析】本题主要考查了幂函数的定义及应用，根据幂函数的定义及单调性，列出方程组，即可求解.
6．（2024高二下·苏州期末）在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色，
事件为第二次再从中随机摸出一个球是黄球，
则
.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和全概率公式，从而计算得出此次摸出的是黄球的概率.
7．（2024高二下·苏州期末）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，且，
所以，
令，
则，
所以在上为增函数，
所以，
即，
所以，
则，
所以，
综上所述，.
故选：A.
【分析】利用对数函数、三角函数、幂函数的单调性判断a和b的大小，构造函数判断a和c的大小.
8．（2024高二下·苏州期末）已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有（　　）
A．48种 B．60种 C．66种 D．72种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：分两类讨论，第一类，甲站在正中间，有种，
第二类，甲不站在正中间，则乙有3种位置可选，剩余三人全排，有种，
根据分类加法计数原理，不同的排法共有种.
故选：B.
【分析】本题主要考查了排列组合，分两类讨论甲的位置情况，再求和，第一类甲站在正中间，剩余4人全排，第二类甲不站在正中间，则乙有3种位置可选，剩余三人全排，再排甲，利用分步乘法计数原理求解.
9．（2024高二下·苏州期末）下列说法中正确的有（　　）
A．若随机变量，满足经验回归方程，则，的取值呈现正相关
B．若随机变量，且，则
C．若事件相互独立，则
D．若5件产品中有2件次品，采取无放回的方式随机抽取3件，则抽取的3件产品中次品数为1的概率是
【答案】B,C
【知识点】线性回归方程；相互独立事件；条件概率与独立事件；正态分布定义
【解析】【解答】解：对于A，回归方程为，这里的斜率为，这意味着和之间是负相关，而非正相关，故A错误；
对于B，因为随机变量，且，
所以，故B正确；
对于C，若事件相互独立，那么事件A发生的概率不会受到事件B是否发生的影响。根据独立事件的性质，我们知道，故C正确；
对于D，由题意抽取的3件产品中次品数为1的概率，故D正确.
故选：BCD.
【分析】
本题需要分别分析四个选项中提到的统计概念，包括回归方程、正态分布、独立事件和无放回抽样，然后根据统计学的基本原理判断每个选项的正确性。根据回归方程即可判断A；根据正态分布的对称性即可判断B；根据相互独立事件的概率公式及条件概率公式即可判断C；根据古典概型的概率公式即可判断D.
10．（2024高二下·苏州期末）拐点（Inflection Point）又称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点，直观地说，是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）．拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．设函数对于区间内任一点都可导，且函数对于区间内任一点都可导，若，使得，且在的两侧的符号相反，则称点为曲线的拐点．以下函数具有唯一拐点的有（　　）
A． B．，
C．（，且） D．
【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A：因为
所以，
则，
令得，
当时，，
当时，，，
所以是函数的拐点，故A正确；
对于B：，
，，
令，方程无解，
所以无拐点，故B错误；
对于C：，
，
令得，
当且时，，
当且当时，，
当且时，，
当且时，，
，
所以是函数唯一拐点，故C正确；
对于D：，，
因为，
所以在至少有一个零点且为变号零点，
又因为，
所以在至少有一个零点且为变号零点所以有拐点但不唯一，故D错误.
故选：AC
【分析】本题考查新定义，导数的运算，利用导数判断函数单调性与最值，先求导，再求二阶导，然后利用导数的性质逐个判断，即可得出答案.
11．（2024高二下·苏州期末）已知定义域为的连续函数满足，，则（　　）
A． B．为奇函数
C．在上单调递减 D．在上的最大值为1
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】解：【解答】对于A，令，
则，
所以，故A正确；
对于B，由，
得，
令，
则，
令，
则，
所以，
令，
则，
所以为奇函数，
即为奇函数，故B正确；
由，
关于求导得，，
令，
则，
所以（为常数），
即，
所以（为常数），
因为，
所以，
所以，
则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，故C错误；D正确.
故选：ABD.
【分析】
代入，求出，A选项正确；对函数化简可得为奇函数，B选项正确；通过构造函数，利用函数的单调性与奇偶性，求得在上单调递增，在上单调递减，故C选项错误；根据的单调性，可得在上的最大值为，D选项正确．
12．（2024高二下·苏州期末）被6除所得的余数为　 　．
【答案】
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：，
展开式的前项都能被整除，
只有最后一项不能被整除，
所以问题转化为被的余数，
而，被除的余数为，
所以被除的余数为.
故填：
【分析】
本题考查了二项式定理的应用，将用二项式定理展开，把问题转化为被6的余数。
13．（2024高二下·苏州期末）已知随机变量，的五组观测数据如下表：
1 2 3 4 5
由表中数据通过模型得到经验回归方程为，则实数的值为　 　．
【答案】
【知识点】线性回归方程
【解析】解：【解答】令，
则，
因为，
所以，
所以，
解得.
故填：.
【分析】
本题考查经验回归方程研究其应用，令，则，求出，再根据线性回归方程必过样本中心点即可得解.
14．（2024高二下·苏州期末）已知函数，若关于的不等式的解集为且，则的极小值为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】解：【解答】由题意可得，
即，
当时，，
当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为.
故填：.
【分析】
本题主要考查了导数与极值的问题，本题的关键是判断出，根据不等式的解集和韦达定理得到，再利用导数求出极小值.
15．（2024高二下·苏州期末）已知（其中）的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为．
（1）求；
（2）记，求的值．
【答案】（1）解：因为第2项的二项式系数为，
第3项的二项式系数为，
由题意，知，解得
（2）解：由（1）可知，
令，则，
令，则，
则.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式定理，写出第2项的二项式系数与第3项的二项式系数，从而得到。
（2）令，求出，再令，即可求出答案.
16．（2024高二下·苏州期末）已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为，每次射击的结果相互独立，共进行4次射击．
（1）求恰有3次命中10环的概率；
（2）求至多有3次命中10环的概率；
（3）设命中10环的次数为，求随机变量的数学期望和方差．
【答案】（1）解：设运动员每次射击命中10环为随机变量，
由题意可知，
所以
（2）解：由题意可知
至多有3次命中10环的概率即；
（3）解：命中10环的次数为，则，
所以，
.
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】
(1)、利用二项分布的概率计算公式求解即可；
(2)、利用对立事件的概率计算公式求解即可；
(3)、根据二项分布的数学期望和方差计算公式求解即可。
17．（2024高二下·苏州期末）已知函数为奇函数．
（1）设函数，求的值；
（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数的定义域为，且函数为奇函数，
所以，
即，
所以，
经检验，符合题意，
所以，
则，
因为为奇函数，所以，
所以；

（2）解：，
因为是上的增函数，且恒大于零，
所以在上单调递减，
由，
得，
所以，
即，
因为关于的方程有实数根，
所以关于的方程有实数根，
而，
当且仅当，
即时取等号，
所以.

【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性求出t，得到的解析式，从而求出的解析式，再利用奇函数求解；
（2）由的奇偶性和单调性化简方程，利用换元法和一元二次方程求解.
18．（2024高二下·苏州期末）某学校组织名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下列联表．
　 红色 蓝色 合计
男 20 25 45
女 40 15 55
合计 60 40 100
（1）是否有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”；
（2）在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，
①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率；
②记所选的箱子中有对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以），求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．
α 0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）零假设：喜好红色或蓝色与性别无关，
因为，
所以根据独立性检验，没有充分证据推断成立，
因此有的把握认为喜好红色或蓝色与性别有关.
（2）①根据题意可知箱子的标号有4个奇数3个偶数，
标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，
设事件记为所选的4个箱子的标号数之和为奇数，
则；
②标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，
则选取4个箱子的所有情况有
记所选的箱子中有对相邻序号，可得则
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3
因此数学期望.
【知识点】独立性检验；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论；
（2） ① 根据古典概型计算概率；
② 根据题意求离散型随机变量的可能取值及相应概率，列出分布列，根据数学期望公式计算出结果；
19．（2024高二下·苏州期末）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值；
（3）若关于的方程有两个实根，，求证：．
【答案】（1）解：，，
又，
则有，
即曲线在处的切线方程为；
（2）解：由题意可得在上恒成立，令，
则，
令，
则，
则当时，，
故在上单调递增，
则当时，，
当时，，
故在上单调递增，
有，符合要求，
当时，由，，
则存在，使，
即当时，，
当，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，不符合要求，故舍去，
综上所述，，故实数的最大值为；
（3），
由，即有有两个实根，，
令，，
当时，恒成立，不可能有两个实根，故舍去；
当，则时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则有，即，
又，
不妨令，则有，
有，令，，即有，
则有，即，
即，则要证，只需证，
即证， 令，即证，
令，，
则恒成立，
故在上单调递减，故，
即有在时恒成立，故得证；
由（2）可知，当时，在上恒成立，
即在上恒成立，
则当时，，即，
由，则、，
故，，
则，，
又，即，即，
即，则有，
整理得，即，即，
即；
综上，得证.
【知识点】导数的几何意义
【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）由题意可得在上恒成立，则可构造函数，求导后分及讨论其单调性，在时结合零点的存在性定理研究，即可得的具体范围，即可得其最大值；
（3）借助因式分解可将原问题转化为有两个实根，借助导数研究其单调性可得两根范围，借助换元法，令，，可得，两式作差可得，从而将证明转化为证明，借助换元法令，即证，构造相应函数，借助导数即可证明；再借助（2）中所得，结合两实根的范围，可得，即可得，两式作差即可得证.
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