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湖北省武汉市新洲区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题
1．（2024高二下·新洲期末）设等差数列满足，则（　　）
A．80 B．100 C．120 D．160
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，
所以，
所以
则，
所以。
故选：D
【分析】先根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而求解结论。
2．（2024高二下·新洲期末）若圆与圆的公共弦长为，则（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：圆与圆两式相减，
可得公共弦所在直线方程为，
又因为圆心到公共弦距离为
，
因为公共弦长为
所以
解得：。
故选：A.
【分析】本题主要考查了两圆相交的性质的应用，先求出两圆的公共弦，结合直线与圆相交的性质即可求解。
3．（2024高二下·新洲期末）的展开式中含项的系数为（ ）
A．-56 B．-28 C．28 D．56
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式的展开式的通项公式为
，
令，
解得，
所以展开式中含的项的系数为.
故选：A.
【分析】本题考查二项展开式的通项公式的应用，利用二项展开式的通项公式可求得含项为第6项，进而可求得答案。
4．（2024高二下·新洲期末）5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
销售量y (千只) 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法正确的是（　　）
A．由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数
B．当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位
C．线性回归方程中
D．可以预测时， 该商场5G手机销量约为1.72 (千只)
【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：对于A，由题中数据可知， 变量y与x正相关，且相关系数，故A错误；
对于B，由线性回归方程，可得每增加1个单位时，预报变量平均增加0.24个单位，故B错误；
对于C，由已知数据得，，样本点的中心为，代入中得到，故C错；
对于D，将代入中得到，故D正确.
故选：D.
【分析】由两变量的相关性判断相关系数的范围判断A；由已知线性回归方程判断B；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断C与D。
5．（2024高二下·新洲期末）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则女生人数的期望为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设抽取的女生人数为，
，
，
，
则代入公式
得到 .
故选：C
【分析】本题主要考查超几何分布和数学期望，首先将抽取的女生人数设为随机变量，再求得概率，代入期望公式，即可求解。
6．（2024高二下·新洲期末）甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（　　）
A．96种 B．132种 C．168种 D．204种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：根据题意，甲乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则剩下的4人去其他的两个景点游玩，则剩下4位主播有两种情况：
①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点 ，有
种不同游玩方法，
②分别都是位主播去一个景点 ，
种不同游玩方法，
则不同游玩方法种。
故选：C
【分析】本题主要考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，根据题意，剩下的4人去其他的两个景点游玩，由此按旅游的人数分为2种情况讨论，由加法原理计算可得答案。
7．（2024高二下·新洲期末）质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：不超过的自然数有个，
其中素数有共个，
孪生素数有和，和，和，和，共组，
所以，，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和条件概率公式，从而得出的值.
8．（2024高二下·新洲期末）已知函数若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：，
则，
令，解得，
令，解得，
因为，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减，
，
所以，
若对任意的都有成立，则成立，
，
则，
当时，，在单调递增，
所以，
故，
即，舍去；
当时，
令，解得，
令，解得，
故在单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
综上所述，.
故选：B.
【分析】本题考查了函数的单调性和应用，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想。问题转化为即可，根据函数的单调性分别求出的最小值和的最大值，得到关于的不等式，解出即可。
9．（2024高二下·新洲期末）对于的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（　　）
A． B．展开式的各项系数之和为1
C．展开式的二项式系数之和为512 D．展开式中的含项系数是1792
【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：对于A，因为的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，
则第5项为中间项，所以，即，A错误；
对于B，令，可得展开式的各项系数之和为，B正确；
对于C，由题意可得展开式的二项式系数之和为，可求出展开式的二项式系数之和为，C错误；
对于D，在的展开式中，通项
令，得，故展开式中含的系数为，D正确；
故选：BD．
【分析】本题主要考察二项式定理，着重考查二项式展开式的通项以及二项式系数的性质的应用，依题意，直接利用二项展开式的应用求出结果。
10．（2024高二下·新洲期末）定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足(若则f(x)=lnx+c， c为常数)， 则下列说法正确的是（　　）
A．f(x)在.处取得极大值，极大值为
B．f(x)恰有两个零点
C．若在(0，+∞)上恒成立，则
D．
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A：因为，且，
则，
所以，
故，
又，
所以，
解得，
故，
所以，，
则，
当，即时，，则单调递增；
当，即时，，则单调递减；
所以时，取得极大值，极大值为，故A正确；
对于B：当，，
当，，
当，，
作出的示意图，如图所示：
根据图象可知，只有一个零点，故B错误；
对于C：要使，在(0，+∞)上恒成立，
即在恒成立，
因为，
所以在恒成立，
只需，
令，
所以，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，
所以，故C正确；
对于D：根据，单调递增，，单调递减，
因为，可得，
又，，
又，
根据，
所以，
故，故D正确.
故选：ACD.
【分析】本题主要考查了导数的综合应用，先求出的解析式，利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，即可判断A，利用函数的图象以及零点的定义，即可判断B，将问题转化为求解函数的最值，即可判断C，利用函数的单调性以及作差法，即可判断D。
11．（2024高二下·新洲期末）某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取 100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图：
用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（　　）
A．若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植
B．若种下12粒A类种子，则有10粒种子5天内发芽的概率最大
C．从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145
D．若种下10粒B类种子， 5至8天发芽的种子数记为X， 则
【答案】B,C
【知识点】极差、方差与标准差；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；二项分布；概率的应用
【解析】【解答】解：对于A，A类种子5天内发芽的概率是，B类种子5天内发芽的概率是。根据题目的规定，5天内发芽的种子更适合种植。因此，A类种子的5天内发芽率更高，所以选项A是错误的。
对于B，若种下12粒A类种子，由题意可知发芽数X服从二项分布，，
，
则，
且，
可得，
且，
所以，即，即有10粒种子5天内发芽的概率最大，故B正确；
对于C， 从样本A、B两类种子中各随机取一粒，A类种子8天内未发芽的概率为，B类种子8天内未发芽的概率为。因此，两粒种子都未发芽的概率为。所以，至少有一粒种子在8天内发芽的概率为，故C正确；
对于D， 若种下10粒B类种子，5至8天发芽的种子数记为，则服从二项分布（因为B类种子在5天内不发芽但在8天内发芽的概率为）。，故D错误；
故选：BC
【分析】本题主要考查饼状图和条形图，离散型随机变量的方差，A选项通过比较A类和B类种子在5天内的发芽率，得出了B类种子更适合种植的结论，这符合题目中“种子发芽时间越短，越适合种植”的假设。由题意可知发芽数X服从二项分布，，再由，且，可求k的最大值。C选项正确的计算是先求出两粒种子都发芽的概率，然后用1减去这个概率。D选项即利用二项分布的方差公式来计算5至8天发芽的种子数的方差。
12．（2024高二下·新洲期末）若 则n=　 　.
【答案】4或6
【知识点】组合及组合数公式；组合数公式的推导
【解析】【解答】解：因为，
故分为两种情况进行讨论
解得
解得
综上：或
故填为：或.
【分析】本题主要考查组合数公式的性质，由题意利用组合数的性质，可得结论。
13．（2024高二下·新洲期末）已知某批产品的质量指标服从正态分布， 其中的产品为合格产品，则在件该产品中合格产品件数约为　 　.
参考数据：若，则，，
【答案】840
【知识点】概率的应用；正态分布定义；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：某产品的质量指标服从正态分布，则，
所以，
，
则，
，
则
则在件该产品中合格产品件数约为.
故答案为：.
【分析】本题主要考查正态分布曲线相关性质，根据正态分布曲线相关性质求解即可。
14．（2024高二下·新洲期末）如图所示，设点F是双曲线与抛物线的公共焦点，B是上的一点，若双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，双曲线的离心率为e，则　 　
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：由题意可得与之间的关系，
所以求得，
设点B的位置坐标为，则的斜率为，中点，
因为双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，
所以，
整理为，
即，
所以，
所以，
所以，，
所以，
代入得：，
等式两边同时乘4则，
利用完全平方公式得，
解得.
故填为：.
【分析】本题主要考查双曲线离心率求法，熟练掌握双曲线的几何性质，点差法，考查方程思想和运算能力， 由题意可得与之间的关系，进而可设点B的位置坐标，联立方程组，计算可得结论.
15．（2024高二下·新洲期末）已知数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：因为，
所以当时，，解得；
当时，，
由得：，则
，
又因为且，
所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以．
（2）解：由（1）可得：，
则，
，
同理（1）得：
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质；等差数列的实际应用
【解析】解：（1）因为，
所以当时，，解得；
当时，，
由得：，则
，
又因为且，
所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以．
（2）由（1）可得：，
则，
，
同理（1）得：
所以．
【分析】
（1）本题主要考查数列的递推式和错位相减求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，利用递推关系，令，，结合和的关系，即可得出答案，
（2）由（1）可得，，利用错位相减法，即可得出答案。
16．（2024高二下·新洲期末）如图，在四棱锥P—ABCD中， PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形， AD∥BC， AD⊥AB， AB=BC=1，PA=AD=2， AD=3AE， Q为PD的中点.
（1）求证： 平面PCD⊥平面ABQ；
（2）求二面角A-BQ-E的正弦值.
【答案】（1）证明：因为平面，平面，
所以，
所以，
所以平面
即，，为的中点，
所以，
又，
所以平面，
因为，
所以平面⊥平面
（2）解：以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
则，
设平面ABQ的法向量为，
则 ，
取，
则，
设平面BQE的一个法向量为，
则，
取
则，
则
所以二面角的正弦值为，
所以二面角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】解：（1）因为平面，平面，
所以，
所以，
所以平面
即，，为的中点，
所以，
又，
所以平面，
因为，
所以平面⊥平面
（2）以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
则，
设平面ABQ的法向量为，
则 ，
取，
则，
设平面BQE的一个法向量为，
则，
取
则，
则
所以二面角的正弦值为，
所以二面角的正弦值为．
【分析】
（1）本题主要考查了面面垂直的判定以及空间向量的应用，先证明平面，再利用面面垂直的判定即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面ABQ与平面BQE的一个法向量，再利用向量夹角公式求解即可.
17．（2024高二下·新洲期末）将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向.2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用.近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份编号x 1 2 3 4 5
销量y (万台) 2 3.5 2.5 8 9
（1）求y关于x的经验回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量；
（2）为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据：
　 了解 不了解 合计
男生 　 25 　
女生 20 　 　
合计 　 　 　
（i）根据已知条件，填写上述2×2列联表；
（ii）依据α=0.01的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关 参考公式：
1. 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
2.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）由题意得：年份编号的平均数，
销量的平均数，
所以，
又
所以，
于是，
所以关于的经验回归方程为，
又因为年份2024对应的编号为7，‘
所以把代入公式得：
，
即预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台．
（2）（ⅰ）根据男生和女生各60名，补全列联表为：
了解 不了解 合计
男生 35 25 60
女生 20 40 60
合计 55 65 120
（ⅱ）零假设：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据可得：
，
依据的独立性检验，可以推断不成立，即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关.
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用
【解析】解：（1）由题意得：年份编号的平均数，
销量的平均数，
所以，
又
所以，
于是，
所以关于的经验回归方程为，
又因为年份2024对应的编号为7，‘
所以把代入公式得：
，
即预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台．
（2）（ⅰ）根据男生和女生各60名，补全列联表为：
了解 不了解 合计
男生 35 25 60
女生 20 40 60
合计 55 65 120
（ⅱ）零假设：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据可得：
，
依据的独立性检验，可以推断不成立，即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关.
【分析】（1）本题考查独立性检验与线性回归方程的求法，考查运算求解能力，利用已知数据和公式求回归直线方程，由方程进行数据预测；
（2） （ⅰ） 根据男生和女生各60名补全的列联表；
（ⅱ） 计算，与临界值比较下结论。
18．（2024高二下·新洲期末）中华茶文化源远流长，博大精深，制作复杂.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为三道工序加工都合格的绿茶为特级绿茶，恰有两道工序加工合格的绿茶为一级绿茶，恰有一道工序加工合格的绿茶为二级绿茶，其余的为不合格绿茶.
（1）在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率；
（2）每盒绿茶(净重100g)原材料及制作成本为30元，其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分别为90元，60元，40元，而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为X元，求随机变量X的分布列及数学期望.
【答案】（1）由题意得：至少有一道工序合格的概率为，
即，
解得，
恰有两道工序合格的概率为：
，
有两道工序合格且杀青合格概率为：
，
所以，
则在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为

（2）特级绿茶概率：，
一级绿茶概率：，
二级绿茶概率：，
不合格绿茶概率：。
因为
所以由题意可知随机变量的所有可能取值为
则的分布列为：
故的数学期望为.
【知识点】复数相等的充要条件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件；条件概率
【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件的概率公式求出，再利用条件概率公式求解即得.
（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.
解：（1）由题意得：至少有一道工序合格的概率为，
即，
解得，
恰有两道工序合格的概率为：
，
有两道工序合格且杀青合格概率为：
，
所以，
则在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为
（2）特级绿茶概率：，
一级绿茶概率：，
二级绿茶概率：，
不合格绿茶概率：。
因为
所以由题意可知随机变量的所有可能取值为
则的分布列为：
故的数学期望为.
【分析】
（1）根据给定条件，利用对立事件的概率公式求出，再利用条件概率公式求解即得.
（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.
19．（2024高二下·新洲期末）已知函数
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设， 求函数在上的零点个数.
【答案】（1）当时，代入得：
，
把代入，
则，
又因为，
所以在点处的切线斜率，
故所求切线方程为，
即.
（2）由，
所以，
当时，，
所以函数在上单调递增，
当时，由，则，
若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，函数在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减.
（3）由，
所以，
令，因为，
所以，
得，
则原题等价于与在上的交点个数，
令，则，
令，则，
又因为，得，
所以在上单调递增，
，即，
所以在上递增，
由，
所以在上单调递增，
所以， 即，
当，与在只有一个交点，
此时在上只有一个零点；
当或时，与在无交点，此时在上没有零点；
综上：当时，在上只有一个零点；当或时，在上没有零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】解：（1）当时，代入得：
，
把代入，
则，
又因为，
所以在点处的切线斜率，
故所求切线方程为，
即.
（2）由，
所以，
当时，，
所以函数在上单调递增，
当时，由，则，
若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，函数在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减.
（3）由，
所以，
令，因为，
所以，
得，
则原题等价于与在上的交点个数，
令，则，
令，则，
又因为，得，
所以在上单调递增，
，即，
所以在上递增，
由，
所以在上单调递增，
所以， 即，
当，与在只有一个交点，
此时在上只有一个零点；
当或时，与在无交点，此时在上没有零点；
综上：当时，在上只有一个零点；当或时，在上没有零点.
【分析】
（1）本题主要了利用导数研究函数的单调性与极值及切线方程，转化方法，考查了推理能力与计算能力，当时，，求出，且，利用导数的几何意义可得切线斜率 斜率，利用点斜式即可得出所求切线方程。
（2）由，求出，对a进行分类讨论，即可得到函数的单调性；
（3）由，所以，令，由，所以，可得，原题意等价于与在上的交点个数，令，对a进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出结论。
1 / 1湖北省武汉市新洲区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题
1．（2024高二下·新洲期末）设等差数列满足，则（　　）
A．80 B．100 C．120 D．160
2．（2024高二下·新洲期末）若圆与圆的公共弦长为，则（　　）
A． B． C．2 D．4
3．（2024高二下·新洲期末）的展开式中含项的系数为（ ）
A．-56 B．-28 C．28 D．56
4．（2024高二下·新洲期末）5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
销售量y (千只) 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法正确的是（　　）
A．由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数
B．当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位
C．线性回归方程中
D．可以预测时， 该商场5G手机销量约为1.72 (千只)
5．（2024高二下·新洲期末）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则女生人数的期望为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·新洲期末）甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（　　）
A．96种 B．132种 C．168种 D．204种
7．（2024高二下·新洲期末）质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·新洲期末）已知函数若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·新洲期末）对于的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（　　）
A． B．展开式的各项系数之和为1
C．展开式的二项式系数之和为512 D．展开式中的含项系数是1792
10．（2024高二下·新洲期末）定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足(若则f(x)=lnx+c， c为常数)， 则下列说法正确的是（　　）
A．f(x)在.处取得极大值，极大值为
B．f(x)恰有两个零点
C．若在(0，+∞)上恒成立，则
D．
11．（2024高二下·新洲期末）某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取 100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图：
用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（　　）
A．若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植
B．若种下12粒A类种子，则有10粒种子5天内发芽的概率最大
C．从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145
D．若种下10粒B类种子， 5至8天发芽的种子数记为X， 则
12．（2024高二下·新洲期末）若 则n=　 　.
13．（2024高二下·新洲期末）已知某批产品的质量指标服从正态分布， 其中的产品为合格产品，则在件该产品中合格产品件数约为　 　.
参考数据：若，则，，
14．（2024高二下·新洲期末）如图所示，设点F是双曲线与抛物线的公共焦点，B是上的一点，若双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，双曲线的离心率为e，则　 　
15．（2024高二下·新洲期末）已知数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
16．（2024高二下·新洲期末）如图，在四棱锥P—ABCD中， PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形， AD∥BC， AD⊥AB， AB=BC=1，PA=AD=2， AD=3AE， Q为PD的中点.
（1）求证： 平面PCD⊥平面ABQ；
（2）求二面角A-BQ-E的正弦值.
17．（2024高二下·新洲期末）将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向.2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用.近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份编号x 1 2 3 4 5
销量y (万台) 2 3.5 2.5 8 9
（1）求y关于x的经验回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量；
（2）为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据：
　 了解 不了解 合计
男生 　 25 　
女生 20 　 　
合计 　 　 　
（i）根据已知条件，填写上述2×2列联表；
（ii）依据α=0.01的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关 参考公式：
1. 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
2.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
18．（2024高二下·新洲期末）中华茶文化源远流长，博大精深，制作复杂.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为三道工序加工都合格的绿茶为特级绿茶，恰有两道工序加工合格的绿茶为一级绿茶，恰有一道工序加工合格的绿茶为二级绿茶，其余的为不合格绿茶.
（1）在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率；
（2）每盒绿茶(净重100g)原材料及制作成本为30元，其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分别为90元，60元，40元，而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为X元，求随机变量X的分布列及数学期望.
19．（2024高二下·新洲期末）已知函数
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设， 求函数在上的零点个数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，
所以，
所以
则，
所以。
故选：D
【分析】先根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而求解结论。
2．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：圆与圆两式相减，
可得公共弦所在直线方程为，
又因为圆心到公共弦距离为
，
因为公共弦长为
所以
解得：。
故选：A.
【分析】本题主要考查了两圆相交的性质的应用，先求出两圆的公共弦，结合直线与圆相交的性质即可求解。
3．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式的展开式的通项公式为
，
令，
解得，
所以展开式中含的项的系数为.
故选：A.
【分析】本题考查二项展开式的通项公式的应用，利用二项展开式的通项公式可求得含项为第6项，进而可求得答案。
4．【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：对于A，由题中数据可知， 变量y与x正相关，且相关系数，故A错误；
对于B，由线性回归方程，可得每增加1个单位时，预报变量平均增加0.24个单位，故B错误；
对于C，由已知数据得，，样本点的中心为，代入中得到，故C错；
对于D，将代入中得到，故D正确.
故选：D.
【分析】由两变量的相关性判断相关系数的范围判断A；由已知线性回归方程判断B；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断C与D。
5．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设抽取的女生人数为，
，
，
，
则代入公式
得到 .
故选：C
【分析】本题主要考查超几何分布和数学期望，首先将抽取的女生人数设为随机变量，再求得概率，代入期望公式，即可求解。
6．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：根据题意，甲乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则剩下的4人去其他的两个景点游玩，则剩下4位主播有两种情况：
①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点 ，有
种不同游玩方法，
②分别都是位主播去一个景点 ，
种不同游玩方法，
则不同游玩方法种。
故选：C
【分析】本题主要考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，根据题意，剩下的4人去其他的两个景点游玩，由此按旅游的人数分为2种情况讨论，由加法原理计算可得答案。
7．【答案】D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：不超过的自然数有个，
其中素数有共个，
孪生素数有和，和，和，和，共组，
所以，，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和条件概率公式，从而得出的值.
8．【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：，
则，
令，解得，
令，解得，
因为，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减，
，
所以，
若对任意的都有成立，则成立，
，
则，
当时，，在单调递增，
所以，
故，
即，舍去；
当时，
令，解得，
令，解得，
故在单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
综上所述，.
故选：B.
【分析】本题考查了函数的单调性和应用，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想。问题转化为即可，根据函数的单调性分别求出的最小值和的最大值，得到关于的不等式，解出即可。
9．【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：对于A，因为的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，
则第5项为中间项，所以，即，A错误；
对于B，令，可得展开式的各项系数之和为，B正确；
对于C，由题意可得展开式的二项式系数之和为，可求出展开式的二项式系数之和为，C错误；
对于D，在的展开式中，通项
令，得，故展开式中含的系数为，D正确；
故选：BD．
【分析】本题主要考察二项式定理，着重考查二项式展开式的通项以及二项式系数的性质的应用，依题意，直接利用二项展开式的应用求出结果。
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A：因为，且，
则，
所以，
故，
又，
所以，
解得，
故，
所以，，
则，
当，即时，，则单调递增；
当，即时，，则单调递减；
所以时，取得极大值，极大值为，故A正确；
对于B：当，，
当，，
当，，
作出的示意图，如图所示：
根据图象可知，只有一个零点，故B错误；
对于C：要使，在(0，+∞)上恒成立，
即在恒成立，
因为，
所以在恒成立，
只需，
令，
所以，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，
所以，故C正确；
对于D：根据，单调递增，，单调递减，
因为，可得，
又，，
又，
根据，
所以，
故，故D正确.
故选：ACD.
【分析】本题主要考查了导数的综合应用，先求出的解析式，利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，即可判断A，利用函数的图象以及零点的定义，即可判断B，将问题转化为求解函数的最值，即可判断C，利用函数的单调性以及作差法，即可判断D。
11．【答案】B,C
【知识点】极差、方差与标准差；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；二项分布；概率的应用
【解析】【解答】解：对于A，A类种子5天内发芽的概率是，B类种子5天内发芽的概率是。根据题目的规定，5天内发芽的种子更适合种植。因此，A类种子的5天内发芽率更高，所以选项A是错误的。
对于B，若种下12粒A类种子，由题意可知发芽数X服从二项分布，，
，
则，
且，
可得，
且，
所以，即，即有10粒种子5天内发芽的概率最大，故B正确；
对于C， 从样本A、B两类种子中各随机取一粒，A类种子8天内未发芽的概率为，B类种子8天内未发芽的概率为。因此，两粒种子都未发芽的概率为。所以，至少有一粒种子在8天内发芽的概率为，故C正确；
对于D， 若种下10粒B类种子，5至8天发芽的种子数记为，则服从二项分布（因为B类种子在5天内不发芽但在8天内发芽的概率为）。，故D错误；
故选：BC
【分析】本题主要考查饼状图和条形图，离散型随机变量的方差，A选项通过比较A类和B类种子在5天内的发芽率，得出了B类种子更适合种植的结论，这符合题目中“种子发芽时间越短，越适合种植”的假设。由题意可知发芽数X服从二项分布，，再由，且，可求k的最大值。C选项正确的计算是先求出两粒种子都发芽的概率，然后用1减去这个概率。D选项即利用二项分布的方差公式来计算5至8天发芽的种子数的方差。
12．【答案】4或6
【知识点】组合及组合数公式；组合数公式的推导
【解析】【解答】解：因为，
故分为两种情况进行讨论
解得
解得
综上：或
故填为：或.
【分析】本题主要考查组合数公式的性质，由题意利用组合数的性质，可得结论。
13．【答案】840
【知识点】概率的应用；正态分布定义；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：某产品的质量指标服从正态分布，则，
所以，
，
则，
，
则
则在件该产品中合格产品件数约为.
故答案为：.
【分析】本题主要考查正态分布曲线相关性质，根据正态分布曲线相关性质求解即可。
14．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：由题意可得与之间的关系，
所以求得，
设点B的位置坐标为，则的斜率为，中点，
因为双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，
所以，
整理为，
即，
所以，
所以，
所以，，
所以，
代入得：，
等式两边同时乘4则，
利用完全平方公式得，
解得.
故填为：.
【分析】本题主要考查双曲线离心率求法，熟练掌握双曲线的几何性质，点差法，考查方程思想和运算能力， 由题意可得与之间的关系，进而可设点B的位置坐标，联立方程组，计算可得结论.
15．【答案】（1）解：因为，
所以当时，，解得；
当时，，
由得：，则
，
又因为且，
所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以．
（2）解：由（1）可得：，
则，
，
同理（1）得：
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质；等差数列的实际应用
【解析】解：（1）因为，
所以当时，，解得；
当时，，
由得：，则
，
又因为且，
所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以．
（2）由（1）可得：，
则，
，
同理（1）得：
所以．
【分析】
（1）本题主要考查数列的递推式和错位相减求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，利用递推关系，令，，结合和的关系，即可得出答案，
（2）由（1）可得，，利用错位相减法，即可得出答案。
16．【答案】（1）证明：因为平面，平面，
所以，
所以，
所以平面
即，，为的中点，
所以，
又，
所以平面，
因为，
所以平面⊥平面
（2）解：以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
则，
设平面ABQ的法向量为，
则 ，
取，
则，
设平面BQE的一个法向量为，
则，
取
则，
则
所以二面角的正弦值为，
所以二面角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】解：（1）因为平面，平面，
所以，
所以，
所以平面
即，，为的中点，
所以，
又，
所以平面，
因为，
所以平面⊥平面
（2）以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
则，
设平面ABQ的法向量为，
则 ，
取，
则，
设平面BQE的一个法向量为，
则，
取
则，
则
所以二面角的正弦值为，
所以二面角的正弦值为．
【分析】
（1）本题主要考查了面面垂直的判定以及空间向量的应用，先证明平面，再利用面面垂直的判定即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面ABQ与平面BQE的一个法向量，再利用向量夹角公式求解即可.
17．【答案】（1）由题意得：年份编号的平均数，
销量的平均数，
所以，
又
所以，
于是，
所以关于的经验回归方程为，
又因为年份2024对应的编号为7，‘
所以把代入公式得：
，
即预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台．
（2）（ⅰ）根据男生和女生各60名，补全列联表为：
了解 不了解 合计
男生 35 25 60
女生 20 40 60
合计 55 65 120
（ⅱ）零假设：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据可得：
，
依据的独立性检验，可以推断不成立，即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关.
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用
【解析】解：（1）由题意得：年份编号的平均数，
销量的平均数，
所以，
又
所以，
于是，
所以关于的经验回归方程为，
又因为年份2024对应的编号为7，‘
所以把代入公式得：
，
即预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台．
（2）（ⅰ）根据男生和女生各60名，补全列联表为：
了解 不了解 合计
男生 35 25 60
女生 20 40 60
合计 55 65 120
（ⅱ）零假设：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据可得：
，
依据的独立性检验，可以推断不成立，即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关.
【分析】（1）本题考查独立性检验与线性回归方程的求法，考查运算求解能力，利用已知数据和公式求回归直线方程，由方程进行数据预测；
（2） （ⅰ） 根据男生和女生各60名补全的列联表；
（ⅱ） 计算，与临界值比较下结论。
18．【答案】（1）由题意得：至少有一道工序合格的概率为，
即，
解得，
恰有两道工序合格的概率为：
，
有两道工序合格且杀青合格概率为：
，
所以，
则在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为

（2）特级绿茶概率：，
一级绿茶概率：，
二级绿茶概率：，
不合格绿茶概率：。
因为
所以由题意可知随机变量的所有可能取值为
则的分布列为：
故的数学期望为.
【知识点】复数相等的充要条件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件；条件概率
【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件的概率公式求出，再利用条件概率公式求解即得.
（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.
解：（1）由题意得：至少有一道工序合格的概率为，
即，
解得，
恰有两道工序合格的概率为：
，
有两道工序合格且杀青合格概率为：
，
所以，
则在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为
（2）特级绿茶概率：，
一级绿茶概率：，
二级绿茶概率：，
不合格绿茶概率：。
因为
所以由题意可知随机变量的所有可能取值为
则的分布列为：
故的数学期望为.
【分析】
（1）根据给定条件，利用对立事件的概率公式求出，再利用条件概率公式求解即得.
（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.
19．【答案】（1）当时，代入得：
，
把代入，
则，
又因为，
所以在点处的切线斜率，
故所求切线方程为，
即.
（2）由，
所以，
当时，，
所以函数在上单调递增，
当时，由，则，
若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，函数在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减.
（3）由，
所以，
令，因为，
所以，
得，
则原题等价于与在上的交点个数，
令，则，
令，则，
又因为，得，
所以在上单调递增，
，即，
所以在上递增，
由，
所以在上单调递增，
所以， 即，
当，与在只有一个交点，
此时在上只有一个零点；
当或时，与在无交点，此时在上没有零点；
综上：当时，在上只有一个零点；当或时，在上没有零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】解：（1）当时，代入得：
，
把代入，
则，
又因为，
所以在点处的切线斜率，
故所求切线方程为，
即.
（2）由，
所以，
当时，，
所以函数在上单调递增，
当时，由，则，
若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，函数在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减.
（3）由，
所以，
令，因为，
所以，
得，
则原题等价于与在上的交点个数，
令，则，
令，则，
又因为，得，
所以在上单调递增，
，即，
所以在上递增，
由，
所以在上单调递增，
所以， 即，
当，与在只有一个交点，
此时在上只有一个零点；
当或时，与在无交点，此时在上没有零点；
综上：当时，在上只有一个零点；当或时，在上没有零点.
【分析】
（1）本题主要了利用导数研究函数的单调性与极值及切线方程，转化方法，考查了推理能力与计算能力，当时，，求出，且，利用导数的几何意义可得切线斜率 斜率，利用点斜式即可得出所求切线方程。
（2）由，求出，对a进行分类讨论，即可得到函数的单调性；
（3）由，所以，令，由，所以，可得，原题意等价于与在上的交点个数，令，对a进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出结论。
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