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江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题
1．（2024高二下·宿迁期末）计算（　　）
A．20 B．21 C．35 D．36
【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由组合数计算公式可得.
故选：B
【分析】利用组合数计算公式(从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数)计算可得结果.
2．（2024高二下·宿迁期末）已知样本数据，，…，的平均数为5，则，，…，的平均数为（　　）
A．6 B．7 C．15 D．16
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意可知，样本数据，，…，的平均数为5，
设的平均数为，
则，
解得，
根据平均数的性质可以得出，，…，的平均数为.
故选：B.
【分析】根据平均数的性质即可求出的平均数为，则可得到新的一组数据的平均数.
3．（2024高二下·宿迁期末）下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（　　）
得分 7 8 9 10 11 13 14
频数 4 2 4 6 2 4 2
A．13.5 B．10.5 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】频率分布表
【解析】【解答】解：因为，24个班级的得分按照从小到大排序，
可得80百分位数是第20个数为13.
故选：D
【分析】根据百分位数的定义(如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数)求解即可.
4．（2024高二下·宿迁期末）已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．，，则
D．若，，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A项：若，，则或，则A错；
B项：若，，则或与异面，则B错；
C项：，，由平行的传递性可知，，则C对；
D项：若，，则或相交.，D错，
故选：C.
【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题.
5．（2024高二下·宿迁期末）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数使得，且，
显然A，C不成立；
对于B，由可得，
不合题意，故B错误；
对于D，化简可得，
满足，故D正确；
故选：D
【分析】根据空间向量基本定理(在三维空间中，任意一个向量可以表示为三个不共面向量的线性组合)对选项逐个进行验证即可得出结论.
6．（2024高二下·宿迁期末）已知随机事件，，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，，，
则，
则.
故选：A
【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得，再由条件概率公式（），代入计算，即可得到结果.
7．（2024高二下·宿迁期末）已知，则的值为（　　）
A．255 B．256 C．511 D．512
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：令，得，
令，得，
令，得，
两式相加得，
得，
则.
故答案为：A.
【分析】利用二项式定理得出展开式的通项，令求出的值，分别令、，则两式相加可得，最后减去得出的值.
8．（2024高二下·宿迁期末）某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：记事件A表示甲车间生产的产品，
记事件表示乙车间生产的产品，
记事件表示丙车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则，
，
取到次品的概率为
，
若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：
.
故选：C
【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式()代入计算，即可求解.
9．（2024高二下·宿迁期末）下列选项中叙述正确的有（　　）
A．在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系
B．在公式中，变量与之间不具有相关关系
C．相关系数时变量间的相关程度弱于时变量间的相关程度
D．某小区所有家庭年收入（万元）与年支出（万元）具有相关关系，其线性回归方程为．若，，则．
【答案】A,C,D
【知识点】变量相关关系；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：选项A，在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高，
故两者之间具有正相关关系，故选项A正确.
选项B，变量与之间是函数关系，不是相关关系，故选项B错误.
选项C，因为，
故相关系数时变量间的相关程度弱于时变量间的相关程度，故选项C正确.
选项D，因为回归直线过，故，故，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】根据相关关系的定义和性质可判断AB的正误，根据相关系数的性质可判断C的正误，根据回归方程的性质可判断D的正误.
10．（2024高二下·宿迁期末）已知点，，，平面经过线段的中点，且与直线垂直，下列选项中叙述正确的有（　　）
A．线段的长为36
B．点在平面内
C．线段的中点的坐标为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】B,C,D
【知识点】空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式；空间点、线、面的位置；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，因为点，，
所以，故选项A错误；
对于C，设点的坐标为，因为为线段的中点，
所以，
则的坐标为，故选项C正确；
对于B，因为点，则，又，
则，所以，即，
又平面，垂足为点，即平面，所以平面，故选项B正确；
对于D，由，，得，
设直线与平面所成的角为，
则，故选项D正确.
故选：BCD.
【分析】由空间两点间的距离公式（对应点的横坐标之差、 纵坐标之差和竖坐标之差的平方和的开方）即可得到线段的长，判断A；由平面，垂足为点，，即可判断B；由中点坐标公式可得点的坐标，判断C；设直线与平面所成的角为，，通过坐标运算可得，判断D.
11．（2024高二下·宿迁期末）甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为、，方差为、，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为，
不管如何交换红球个数始终只有5个，易知，
对于A，由期望值性质可得，即，所以A正确；
对于B，易知随机变量的所有可能取值为；
当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得
，
当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得
；
当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得
；
当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得
；
当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得
，
随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
所以期望值，
可得，即，可得B正确；
对于C，D，由方差性质可得，即可得，所以C错误，D正确.
故选：ABD
【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知，利用期望值和方差性质可得A，D正确，C错误；易知随机变量的所有可能取值为，写出对应的概率并得出分布列，可得，，可得B正确.
12．（2024高二下·宿迁期末）已知随机变量服从正态分布，若，则　 　．
【答案】
【知识点】随机数的含义与应用
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，，
所以，
故答案为：
【分析】根据正态分布的对称性（正态分布的对称轴是；正态分布以为对称轴，左右完全对称）结合已知条件求解即可.
13．（2024高二下·宿迁期末）如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有　 　种．
【答案】72
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意按照的顺序分5步进行涂色，
第一步，点的涂色有种，
第二步，点的颜色与不同，其涂色有种，
第三步，点的颜色与都不同，其涂色有种，
第四步，对点涂色，当同色时，点有1种选择；当不同色时，点有1种选择；
第五步，对点涂色，当同色时，点有2种选择；当不同色时，点有1种选择；
根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有种.
故答案为：72
【分析】由图形可知点比较特殊，所以按照分类分步计数原理（指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．那么，每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这件事的方法总数）从点开始涂色计算可得结果.
14．（2024高二下·宿迁期末）如图，已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，，为中点，，则三棱锥的外接球表面积为　 　．
【答案】
【知识点】解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为为等边三角形，为中点，故，
而，，平面，所以平面.
设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为，连接，
设的外接圆的圆心为，连接，，
则平面，
故，故共面，而平面，
故，故四边形为矩形.
又，而，
故外接球半径为，
故外接球的表面积为，
故答案为：
【分析】根据线面垂直的判定定理（如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直）可得平面，设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为，连接，的外接圆的圆心为，连接，，可证四边形为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.
15．（2024高二下·宿迁期末）在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
（1）证明展开式中不存在常数项；
（2）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）证明：由题意可知第2，3，4项的二项式系数依次为，
则，所以，
即，解得或（舍）；
因此二项式为，假设第项为常数项，其中，
即可得为常数项，所以，
解得，不合题意；
即假设不成立，所以展开式中不存在常数项；
（2）解：由（1）可知，二项展开式的通项可得，
其中的有理项需满足，即，且；
当，此时有理项为；
当，此时有理项为；
当，此时有理项为；
当，此时有理项为；
综上所得，展开式中所有的有理项为，，，.
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）由题意和二项式系数的性质可得可求得，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；
（2）由二项展开式的通项令的指数为整数即可解得合适的值，求出所有的有理项.
16．（2024高二下·宿迁期末）某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到，两个班级招募新社员．
（1）求到班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；
（2）设到，两班招募新社员的男生人数分别为，，记，求的分布列和方差．
【答案】（1）解：到班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为.
（2）解：由题意，的可能取值为，则
，，，
所以的分布列为
则，
所以.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由古典概型的概率（事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）求解；
（2）由题意可得的可能取值为，算出随机变量每个取值的概率，，，即可列出的分布列，再求出，进而由公式求出方差．
17．（2024高二下·宿迁期末）如图，正三棱柱中，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）当的值为多少时，平面 请给出证明．
【答案】（1）证明：
连接，交于点，连接，
因为是的中点，为的中点，
所以是的中位线，即，
平面，平面，
所以平面.
（2）证明：时，平面，证明如下：
因为，，，
，
，，即.
因为三棱柱为正三棱柱，为正三角形，且平面，
，，平面，平面，
平面，因为平面，
所以，，平面，
平面.
.
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，能证出，根据线面平行的判定定理（平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行）则能证出平面.
（2）先把平面当做条件，得出，得出的值，过程要正面分析.
18．（2024高二下·宿迁期末）会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：
年龄段 满意度 合计
满意 不满意
不高于40岁 50 20 70
高于40岁 25 5 30
合计 75 25 100
（1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关；
（2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：（其中）．
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：根据列联表中的数据和参考公式可知：
，
所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关.
（2）解：由表格可得，对服务满意的人的概率为，且，
则随机变量的所有取值为，
可得：，，
，，
故的分布列如图：
X 0 1 2 3
P
可得.
【知识点】实际推断原理和假设检验；二项分布
【解析】【分析】（1）首先由列联表中的数据和参考公式计算值，然后对照表格得到结论；
（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为，且，列出所有取值，根据二项分布公式即可求解．
19．（2024高二下·宿迁期末）如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为．
（1）求证：；
（2）若，求三棱台的体积；
（3）若到平面的距离为，求的值．
【答案】（1）证明：取的中点为，连接；如下图所示：
易知平面平面，且平面平面，平面平面；
所以，又因为，
可得四边形为等腰梯形，
且分别为的中点，所以，
因为，所以，
易知，且平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）解：由二面角定义可得，二面角的平面角即为，
当时，即，因此可得平面，
可知即为三棱台的高，由可得；
易知三棱台的上、下底面面积分别为，
因此三棱台的体积为
（3）解：由（1）知，，，二面角的平面角即为；
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
可得，
易知，可得；
则
设平面的一个法向量为，
所以，
令，则，可得；
显然，
由到平面的距离为，可得，
即，可得；
整理得，解得或；
又，可得.
【知识点】直线与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理（如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直）可得平面，可证明结论；
（2）由二面角定义（二面角是由一条直线出发的两个半平面所组成的图形）并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；
（3）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出的值.
1 / 1江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题
1．（2024高二下·宿迁期末）计算（　　）
A．20 B．21 C．35 D．36
2．（2024高二下·宿迁期末）已知样本数据，，…，的平均数为5，则，，…，的平均数为（　　）
A．6 B．7 C．15 D．16
3．（2024高二下·宿迁期末）下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（　　）
得分 7 8 9 10 11 13 14
频数 4 2 4 6 2 4 2
A．13.5 B．10.5 C．12 D．13
4．（2024高二下·宿迁期末）已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．，，则
D．若，，则
5．（2024高二下·宿迁期末）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·宿迁期末）已知随机事件，，，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·宿迁期末）已知，则的值为（　　）
A．255 B．256 C．511 D．512
8．（2024高二下·宿迁期末）某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·宿迁期末）下列选项中叙述正确的有（　　）
A．在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系
B．在公式中，变量与之间不具有相关关系
C．相关系数时变量间的相关程度弱于时变量间的相关程度
D．某小区所有家庭年收入（万元）与年支出（万元）具有相关关系，其线性回归方程为．若，，则．
10．（2024高二下·宿迁期末）已知点，，，平面经过线段的中点，且与直线垂直，下列选项中叙述正确的有（　　）
A．线段的长为36
B．点在平面内
C．线段的中点的坐标为
D．直线与平面所成角的正弦值为
11．（2024高二下·宿迁期末）甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为、，方差为、，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2024高二下·宿迁期末）已知随机变量服从正态分布，若，则　 　．
13．（2024高二下·宿迁期末）如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有　 　种．
14．（2024高二下·宿迁期末）如图，已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，，为中点，，则三棱锥的外接球表面积为　 　．
15．（2024高二下·宿迁期末）在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
（1）证明展开式中不存在常数项；
（2）求展开式中所有的有理项．
16．（2024高二下·宿迁期末）某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到，两个班级招募新社员．
（1）求到班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；
（2）设到，两班招募新社员的男生人数分别为，，记，求的分布列和方差．
17．（2024高二下·宿迁期末）如图，正三棱柱中，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）当的值为多少时，平面 请给出证明．
18．（2024高二下·宿迁期末）会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：
年龄段 满意度 合计
满意 不满意
不高于40岁 50 20 70
高于40岁 25 5 30
合计 75 25 100
（1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关；
（2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：（其中）．
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（2024高二下·宿迁期末）如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为．
（1）求证：；
（2）若，求三棱台的体积；
（3）若到平面的距离为，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由组合数计算公式可得.
故选：B
【分析】利用组合数计算公式(从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数)计算可得结果.
2．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意可知，样本数据，，…，的平均数为5，
设的平均数为，
则，
解得，
根据平均数的性质可以得出，，…，的平均数为.
故选：B.
【分析】根据平均数的性质即可求出的平均数为，则可得到新的一组数据的平均数.
3．【答案】D
【知识点】频率分布表
【解析】【解答】解：因为，24个班级的得分按照从小到大排序，
可得80百分位数是第20个数为13.
故选：D
【分析】根据百分位数的定义(如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数)求解即可.
4．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A项：若，，则或，则A错；
B项：若，，则或与异面，则B错；
C项：，，由平行的传递性可知，，则C对；
D项：若，，则或相交.，D错，
故选：C.
【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题.
5．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数使得，且，
显然A，C不成立；
对于B，由可得，
不合题意，故B错误；
对于D，化简可得，
满足，故D正确；
故选：D
【分析】根据空间向量基本定理(在三维空间中，任意一个向量可以表示为三个不共面向量的线性组合)对选项逐个进行验证即可得出结论.
6．【答案】A
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，，，
则，
则.
故选：A
【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得，再由条件概率公式（），代入计算，即可得到结果.
7．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：令，得，
令，得，
令，得，
两式相加得，
得，
则.
故答案为：A.
【分析】利用二项式定理得出展开式的通项，令求出的值，分别令、，则两式相加可得，最后减去得出的值.
8．【答案】C
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：记事件A表示甲车间生产的产品，
记事件表示乙车间生产的产品，
记事件表示丙车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则，
，
取到次品的概率为
，
若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：
.
故选：C
【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式()代入计算，即可求解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】变量相关关系；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：选项A，在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高，
故两者之间具有正相关关系，故选项A正确.
选项B，变量与之间是函数关系，不是相关关系，故选项B错误.
选项C，因为，
故相关系数时变量间的相关程度弱于时变量间的相关程度，故选项C正确.
选项D，因为回归直线过，故，故，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】根据相关关系的定义和性质可判断AB的正误，根据相关系数的性质可判断C的正误，根据回归方程的性质可判断D的正误.
10．【答案】B,C,D
【知识点】空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式；空间点、线、面的位置；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，因为点，，
所以，故选项A错误；
对于C，设点的坐标为，因为为线段的中点，
所以，
则的坐标为，故选项C正确；
对于B，因为点，则，又，
则，所以，即，
又平面，垂足为点，即平面，所以平面，故选项B正确；
对于D，由，，得，
设直线与平面所成的角为，
则，故选项D正确.
故选：BCD.
【分析】由空间两点间的距离公式（对应点的横坐标之差、 纵坐标之差和竖坐标之差的平方和的开方）即可得到线段的长，判断A；由平面，垂足为点，，即可判断B；由中点坐标公式可得点的坐标，判断C；设直线与平面所成的角为，，通过坐标运算可得，判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为，
不管如何交换红球个数始终只有5个，易知，
对于A，由期望值性质可得，即，所以A正确；
对于B，易知随机变量的所有可能取值为；
当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得
，
当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得
；
当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得
；
当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得
；
当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得
，
随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
所以期望值，
可得，即，可得B正确；
对于C，D，由方差性质可得，即可得，所以C错误，D正确.
故选：ABD
【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知，利用期望值和方差性质可得A，D正确，C错误；易知随机变量的所有可能取值为，写出对应的概率并得出分布列，可得，，可得B正确.
12．【答案】
【知识点】随机数的含义与应用
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，，
所以，
故答案为：
【分析】根据正态分布的对称性（正态分布的对称轴是；正态分布以为对称轴，左右完全对称）结合已知条件求解即可.
13．【答案】72
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意按照的顺序分5步进行涂色，
第一步，点的涂色有种，
第二步，点的颜色与不同，其涂色有种，
第三步，点的颜色与都不同，其涂色有种，
第四步，对点涂色，当同色时，点有1种选择；当不同色时，点有1种选择；
第五步，对点涂色，当同色时，点有2种选择；当不同色时，点有1种选择；
根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有种.
故答案为：72
【分析】由图形可知点比较特殊，所以按照分类分步计数原理（指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．那么，每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这件事的方法总数）从点开始涂色计算可得结果.
14．【答案】
【知识点】解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为为等边三角形，为中点，故，
而，，平面，所以平面.
设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为，连接，
设的外接圆的圆心为，连接，，
则平面，
故，故共面，而平面，
故，故四边形为矩形.
又，而，
故外接球半径为，
故外接球的表面积为，
故答案为：
【分析】根据线面垂直的判定定理（如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直）可得平面，设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为，连接，的外接圆的圆心为，连接，，可证四边形为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.
15．【答案】（1）证明：由题意可知第2，3，4项的二项式系数依次为，
则，所以，
即，解得或（舍）；
因此二项式为，假设第项为常数项，其中，
即可得为常数项，所以，
解得，不合题意；
即假设不成立，所以展开式中不存在常数项；
（2）解：由（1）可知，二项展开式的通项可得，
其中的有理项需满足，即，且；
当，此时有理项为；
当，此时有理项为；
当，此时有理项为；
当，此时有理项为；
综上所得，展开式中所有的有理项为，，，.
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）由题意和二项式系数的性质可得可求得，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；
（2）由二项展开式的通项令的指数为整数即可解得合适的值，求出所有的有理项.
16．【答案】（1）解：到班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为.
（2）解：由题意，的可能取值为，则
，，，
所以的分布列为
则，
所以.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由古典概型的概率（事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）求解；
（2）由题意可得的可能取值为，算出随机变量每个取值的概率，，，即可列出的分布列，再求出，进而由公式求出方差．
17．【答案】（1）证明：
连接，交于点，连接，
因为是的中点，为的中点，
所以是的中位线，即，
平面，平面，
所以平面.
（2）证明：时，平面，证明如下：
因为，，，
，
，，即.
因为三棱柱为正三棱柱，为正三角形，且平面，
，，平面，平面，
平面，因为平面，
所以，，平面，
平面.
.
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，能证出，根据线面平行的判定定理（平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行）则能证出平面.
（2）先把平面当做条件，得出，得出的值，过程要正面分析.
18．【答案】（1）解：根据列联表中的数据和参考公式可知：
，
所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关.
（2）解：由表格可得，对服务满意的人的概率为，且，
则随机变量的所有取值为，
可得：，，
，，
故的分布列如图：
X 0 1 2 3
P
可得.
【知识点】实际推断原理和假设检验；二项分布
【解析】【分析】（1）首先由列联表中的数据和参考公式计算值，然后对照表格得到结论；
（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为，且，列出所有取值，根据二项分布公式即可求解．
19．【答案】（1）证明：取的中点为，连接；如下图所示：
易知平面平面，且平面平面，平面平面；
所以，又因为，
可得四边形为等腰梯形，
且分别为的中点，所以，
因为，所以，
易知，且平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）解：由二面角定义可得，二面角的平面角即为，
当时，即，因此可得平面，
可知即为三棱台的高，由可得；
易知三棱台的上、下底面面积分别为，
因此三棱台的体积为
（3）解：由（1）知，，，二面角的平面角即为；
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
可得，
易知，可得；
则
设平面的一个法向量为，
所以，
令，则，可得；
显然，
由到平面的距离为，可得，
即，可得；
整理得，解得或；
又，可得.
【知识点】直线与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理（如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直）可得平面，可证明结论；
（2）由二面角定义（二面角是由一条直线出发的两个半平面所组成的图形）并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；
（3）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出的值.
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