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2024-2025学年第二学期八年级数学期末模拟试卷（3）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C．x2﹣＝1 D．ax2﹣3x+1＝0
3．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各点中，与点（2，﹣9）在同一反比例函数图象上的是（　　）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣1） C．（4，﹣2） D．（6，﹣3）
5．若x＝2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个解，则a的值为（　　）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
6．设a，b是一元二次方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则a﹣ab+b的值为（　　）
A．1 B．2024 C．2025 D．2026
7．如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误
8．对于命题：如果a＞b＞0，那么a2＞b2，若用反证法证明，则应假设（　　）
A．a2≤b2 B．a2＜b2 C．a＜b＜0 D．a≤b≤0
9．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数y＝（x＜0）和y＝（x＞0）的图象上，则k﹣2的值为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．4
10．如图，△ABC中∠BAC＝60°，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形ACD，M、N分别是BE、CD的中点，连结MN，BD，若要知道MN的值，只需知道下列哪个值（　　）
A．△ABC的面积 B．△ABD的面积 C．线段BC的长 D．线段BD的长
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ．
12．在 ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝　 　 °．
13．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 　 　 ．
14．甲、乙、丙、丁四名短跑运动员进行百米测试，每人5场测试成绩的平均数x（单位：秒）及方差S2（单位：秒2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
x 10 10.1 10 10
S2 2 1.6 2.5 1.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 　 　 ．
15．在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展开；如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；折出内侧矩形的对角线PD，并把PD折到图3中所示的PB处；展平纸片，按照所得的点B折出BC，得到矩形ABCD．若矩形纸片的宽MN＝2cm．则AB的长为　 　 ．
16．小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图”．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，四边形EFGH是矩形，若FA＝FB＝2，则矩形EFGH的面积为 　　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：3x（2x+1）＝4x+2．
18．如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
（1）在图①中画出一个以BC为底边，高为3的平行四边形；
（2）在图②中画出一个以AB为一边的菱形．
19．为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明 缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A．x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100，下面给出了部分信息：
七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99；
八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89．
七、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 85.2 86 b 62.1
八年级 85.2 a 91 85.3
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生共有多少人？
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，请直接写出x的取值范围是多少．
21．如图，在 ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，BE＝DF，连接AC，AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AC平分∠EAF，AE＝10，AC＝16，求四边形AECF的面积．
22．随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多．某校对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧时，室内空气的含药量y（mg/m3）与药物点燃后的时间x（min）成正比例，药物燃尽后，室内空气的含药量y（mg/m3）与x（min）成反比例（如图）．已知药物点燃后10min燃尽，此时室内空气的含药量为8mg/m3．
（1）求出药物燃尽后y与x之间函数的表达式．
（2）从熏药开始经过40min时，求此时室内空气的含药量是多少？
（3）当室内空气的含药量不低于4mg/m3且持续时间不低于12min时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
23．2025年宁波市马拉松于3月23日盛大展开．某服装厂家为本次马拉松赛事生产了一批文化衫．正常情况下，文化衫售价为每件50元时，则每天可售出40件．通过市场调查发现，若每件降价5元，则每天可以多售出10件，综合各项成本考虑，规定每件文化衫售价不低于35元．设售价为x元/件，解决以下问题：
（1）当天文化衫的销售数量为 　 　 件．（用x的代数式表示）．
（2）当文化衫售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？
（3）该服装厂一天所获得的文化衫销售额能否达到2500元？请计算说明．
24．如图①正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE，BE．
（1）求证：DE＝BE；
（2）当AE＝AB时，求∠BED的度数；
（3）如图②，过点E作EF⊥DE交AB于点F，当BE＝BF时，若AB＝．求AF的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解析】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C．x2﹣＝1 D．ax2﹣3x+1＝0
【点拨】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解析】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是分式方程，故此选项不符合题意；
D、若a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据最简二次根式的定义解答即可．
【解析】解：A、＝2，不是最简二次根式；
B、＝，不是最简二次根式；
C、＝，不是最简二次根式；
D、是最简二次根式；
故选：D．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．下列各点中，与点（2，﹣9）在同一反比例函数图象上的是（　　）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣1） C．（4，﹣2） D．（6，﹣3）
【点拨】先根据点（2，﹣9）在反比例函数y＝（k≠0）图象上求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．
【解析】解：∵点（2，﹣9）在反比例函数y＝（k≠0）图象上，
∴k＝2×（﹣9）＝﹣18，
A、∵1×（﹣5）＝﹣5≠﹣18，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
B、∵3×（﹣1）＝﹣3≠﹣18，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
C、∵4×（﹣2）＝﹣8≠﹣18，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
D、∵6×（﹣3）＝﹣18，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上各点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标符合k＝xy，且k为定值．
5．若x＝2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个解，则a的值为（　　）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【点拨】根据题意，把x＝2，代入方程，得到关于a的等式，即可求得结果．
【解析】解：∵x＝2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个解，
∴22+2a﹣a＝0，
∴4+a＝0，
∴a＝﹣4．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
6．设a，b是一元二次方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则a﹣ab+b的值为（　　）
A．1 B．2024 C．2025 D．2026
【点拨】利用一元二次方程根与系数的关系求出a+b与ab的值，代入原式计算即可求出值．
【解析】解：∵一元二次方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根为a，b，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2025，
则原式＝（a+b）﹣ab＝﹣1﹣（﹣2025）＝2024．
故选：B．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
7．如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误
【点拨】根据作图过程可得AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，由l1∥l2，可得∠ADB＝∠CBD，然后可以证明四边形ABCD是菱形，进而可以解决问题．
【解析】解：根据作图过程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
∵l1∥l2，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD对角线互相垂直．
∴①错误，②正确．
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
8．对于命题：如果a＞b＞0，那么a2＞b2，若用反证法证明，则应假设（　　）
A．a2≤b2 B．a2＜b2 C．a＜b＜0 D．a≤b≤0
【点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解析】解：反证法证明命题如果a＞b＞0，那么a2＞b2，应假设a2≤b2，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数y＝（x＜0）和y＝（x＞0）的图象上，则k﹣2的值为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．4
【点拨】连接OA，如图，利用平行四边形的性质得AC垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE和S△OCE，所以S△OAC＝﹣k+1，然后根据平行四边形的面积公式可得到 ABOC的面积＝2S△OAC＝6，即可求出k﹣2的值．
【解析】解：连接OA，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC垂直y轴，
∴S△OAE＝×|k|＝﹣k，S△OCE＝＝1，
∴S△OAC＝﹣k+1，
∵ ABOC的面积＝2S△OAC＝6．
∴﹣k+2＝6，
∵k﹣2＝﹣6，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了平行四边形的性质．
10．如图，△ABC中∠BAC＝60°，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形ACD，M、N分别是BE、CD的中点，连结MN，BD，若要知道MN的值，只需知道下列哪个值（　　）
A．△ABC的面积 B．△ABD的面积 C．线段BC的长 D．线段BD的长
【点拨】连AM，AN，利用等边三角形的性质和勾股定理得出，然后推出∠MAN＝∠BAD，证出△AMN﹣△ABD，进而利用相似三角形的性质即可得解，
【解析】如图，连AM，AN，
∵△ABE和△ACD都为等边三角形，M、N分别是BE，CD的中点，
∴，，AM⊥BE，AN⊥CD，
∴，，
在Rt△ABM和Rt△ACN中，AB2＝BM2+AM2，AC2＝CN2+AN2，
∴，，
∴AM＝，，
∴，
∵∠BAC＝60°，
∴∠MAN＝∠BAM+∠BAC+∠CAN＝30°+60°+30°＝120°，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+60°＝120°，
∴∠MAN＝∠BAD，
∴△AMN﹣△ABD，
∴，
∴MN＝BD，
若要知道MN的值，只需知道线段BD的值就可以了，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥2025　 ．
【点拨】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式x﹣2025≥0，求出x的取值范围即可．
【解析】解：由题可知，
x﹣2025≥0，
解得x≥2025．
故答案为：x≥2025．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键．
12．在 ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝　120　 °．
【点拨】根据平行四边形的对边平行，对角相等，可得AD∥BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，易得∠C＝2∠D，∠C+∠D＝180°，解方程组即可求得．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，
∴∠C＝∠B+∠D＝2∠D，∠C+∠D＝180°，
∴∠A＝∠C＝120°，
故答案为：120．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行；平行四边形的对角相等．解题的关键是数形结合思想的应用．
13．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 　k＞4　 ．
【点拨】由题意得，反比例函数经过一、三象限，则k﹣4＞0，求出k的取值范围即可．
【解析】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴k﹣4＞0，
解得：k＞4．
故答案为：k＞4．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k＞0时，函数图象位于一三象限；k＜0时，函数位于二四象限．
14．甲、乙、丙、丁四名短跑运动员进行百米测试，每人5场测试成绩的平均数x（单位：秒）及方差S2（单位：秒2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
x 10 10.1 10 10
S2 2 1.6 2.5 1.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 　丁　 ．
【点拨】根据平均数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
【解析】解：甲、丙、丁的平均数较小，
∵丁的方差＜甲的方差＜丙的方差，
∴丁比较稳定，
∴成绩较好状态稳定的运动员是丁，
故答案为：丁．
【点睛】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
15．在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展开；如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；折出内侧矩形的对角线PD，并把PD折到图3中所示的PB处；展平纸片，按照所得的点B折出BC，得到矩形ABCD．若矩形纸片的宽MN＝2cm．则AB的长为　（﹣1）cm　 ．
【点拨】由折叠得DA＝MA，DN＝MN＝2cm，∠DNA＝∠MNA＝45°，则∠DAN＝∠DNA＝45°，所以DN＝DA＝2cm，则四边形MADN是正方形，由PQ垂直平分AM，得AP＝MP＝MA＝1cm，∠APQ＝∠PAD＝∠ADQ＝90°，所以四边形APQD是矩形，求得PB＝PD＝＝cm，则AB＝PB﹣AP＝（﹣1）cm，于是得到问题的答案．
【解析】解：如图1，由折叠得DA＝MA，DN＝MN＝2cm，∠ADN＝∠M＝90°，∠DNA＝∠MNA＝∠MND＝45°，
∴∠DAN＝∠DNA＝45°，
∴DN＝DA＝2cm，
∴DA＝MA＝DN＝MN＝2cn，且∠ADN＝90°，
∴四边形MADN是正方形，
如图2，由折叠得点A与点M关于直线PQ对称，
∴PQ垂直平分AM，
∴AP＝MP＝MA＝1cm，∠APQ＝∠PAD＝∠ADQ＝90°，
∴四边形APQD是矩形，
如图3，∵∠PAD＝90°，AP＝1cm，DA＝2cm，
∴PD＝＝＝（cm），
由折叠得PB＝PD＝cm，
∴AB＝PB﹣AP＝（﹣1）cm，
故答案为：（﹣1）cm．
【点睛】此题重点考查翻折变换的性质、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出∠PAD＝90°，AP＝1cm，DA＝2cm是解题的关键．
16．小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图”．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，四边形EFGH是矩形，若FA＝FB＝2，则矩形EFGH的面积为 　　 ．
【点拨】过点A作AM⊥BC于M，过点G作GN⊥BC于N，连接GM，由FA＝FB＝2可得AB＝4，∠ABF＝∠BAF＝45°，根据菱形的性质和矩形的性质可得∠CBG＝15°，∠DAF＝75°，则∠CDH＝∠DCH＝45°，∠ADE＝15°，∠BCG＝75°，可得出△ABF≌△CDH，△BCG≌△DAE，分别求出菱形ABCD，△ABF，△BCG的面积，即可得矩形EFGH的面积．
【解析】解：过点A作AM⊥BC于M，过点G作GN⊥BC于N，连接GM，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠AFB＝∠AED＝∠BGC＝∠CHD＝90°，
∵FA＝FB＝2，
∴AB＝＝4，∠ABF＝∠BAF＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠CBG＝15°，∠DAF＝75°，
∴∠CDH＝∠DCH＝45°，∠ADE＝15°，∠BCG＝75°，
∴∠BAF＝∠DCH＝∠ABF＝∠CDH，∠ADE＝∠CBG，∠DAE＝∠BCG，
在△ABF和△CDH中，
，
∴△ABF≌△CDH（ASA），
同理：△BCG≌△DAE（ASA），
∵AM⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝2，
∴AM＝BM＝2，BC＝2BM，
∵∠BGC＝90°，
∴BM＝CM＝GM＝2，
∴∠CMG＝2∠CBG＝30°，
∵GN⊥BC，
∴GN＝GM＝1，
∴S菱形ABCD＝BC AM＝4×2＝8，
S△ABF＝AF BF＝×2×2＝4，
S△BCG＝BC GN＝×4×1＝2，
∴S矩形EFGH＝S菱形ABCD﹣2S△ABF﹣2S△BCG＝8﹣12．
故答案为：8﹣12．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定定理以及菱形的性质是解答本题的关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：3x（2x+1）＝4x+2．
【点拨】（1）根据平方差公式和算术平方根计算，然后去括号，再算减法即可；
（2）先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程．
【解析】解：（1）
＝5﹣4+（﹣1）
＝5﹣4+﹣1
＝；
（2）3x（2x+1）＝4x+2，
3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，
（2x+1）（3x﹣2）＝0，
∴2x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝0.5，x2＝．
【点睛】本题考查解一元二次方程、二次根式的加减法，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
18．如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
（1）在图①中画出一个以BC为底边，高为3的平行四边形；
（2）在图②中画出一个以AB为一边的菱形．
【点拨】（1）根据平行四边形的定义以及题目要求画出图形即可（答案不唯一）；
（2）作一个边长为5的菱形即可．
【解析】解：（1）如图①中，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）；
（2）如图②中，平行四边形ABCD即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
19．为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明 缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A．x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100，下面给出了部分信息：
七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99；
八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89．
七、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 85.2 86 b 62.1
八年级 85.2 a 91 85.3
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　87.5　 ，b＝　86　 ，m＝　40　 ；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生共有多少人？
【点拨】（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出a、b，用“1”分别减去其它组所占百分比可得m的值；
（2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论；
（3）用总人数乘七、八年级不低于90分人数所占百分比即可．
【解析】解：（1）由题意可知，八年级A组有：20×10%＝2（人），B组有：20×＝3（人），把被抽取八年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88，故中位数a＝＝87.5；
在被抽取的七年级20名学生的数学竞赛成绩中，8（6分）出现的次数最多，故众数b＝86；
m%＝1﹣10%﹣﹣＝40%，故m＝40．
故答案为：87.5，86，40；
（2）八年级成绩较好，理由：因为八年级学生成绩的中位数比七年级的高，所以八年级成绩较好；
（3）840×＝294（人），
答：估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生大约共有294人．
【点睛】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，请直接写出x的取值范围是多少．
【点拨】（1）根据点AB的坐标求出直线AB解析式，代入点C的横坐标求出a值即可得到k值；
（2）联立方程组得到两个交点的横坐标，根据两个函数图象和性质直接写出不等式的解集即可．
【解析】解：（1）∵点A（4，0）点B（0，2），
∴直线AB解析式为y＝﹣x+2，
∵点C（6，a）在直线AB上，
∴a＝﹣×6+2＝﹣1，
∴C（6，﹣1），
∵点C（6，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴m＝﹣6，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣；
（2）联立方程组，
解得x1＝6，x2＝﹣2，
当时，自变量x的取值范围为：0＜x＜6或x＜﹣2．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，两个函数的交点满足两个函数解析式．
21．如图，在 ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，BE＝DF，连接AC，AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AC平分∠EAF，AE＝10，AC＝16，求四边形AECF的面积．
【点拨】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，再证明AE＝CF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）连接EF交AC于点O，由平行四边形的性质得AF∥CE，进而证明∠EAC＝∠ECA，则CE＝AE＝10，再证明平行四边形AECF是菱形，得OA＝OC＝8，OE＝OF，AC⊥EF，然后由勾股定理求出OE＝6，则EF＝2OE＝12，即可解决问题．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AB﹣BE＝CD﹣DF，
即AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：如图，连接EF交AC于点O，
由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴∠FAC＝∠ECA，
∵AC平分∠EAF，
∴∠FAC＝∠EAC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴CE＝AE＝10，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝8，OE＝OF，AC⊥EF，
∴∠AOE＝90°，
∴OE＝＝＝6，
∴EF＝2OE＝12，
∴S菱形AECF＝AC EF＝×16×12＝96，
即四边形AECF的面积为96．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、角平分线的定义以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
22．随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多．某校对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧时，室内空气的含药量y（mg/m3）与药物点燃后的时间x（min）成正比例，药物燃尽后，室内空气的含药量y（mg/m3）与x（min）成反比例（如图）．已知药物点燃后10min燃尽，此时室内空气的含药量为8mg/m3．
（1）求出药物燃尽后y与x之间函数的表达式．
（2）从熏药开始经过40min时，求此时室内空气的含药量是多少？
（3）当室内空气的含药量不低于4mg/m3且持续时间不低于12min时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
【点拨】（1）设药物燃尽后的函数表达式为，利用待定系数法求解即可；
（2）将x＝40代入求解即可；
（3）将y＝4代入得到x＝20，然后 由图可得，x＝5时，y＝4，进而求解即可．
【解析】解：（1）设药物燃尽后的函数表达式为，将（10，8）代入得：
8＝，
解得：k＝80，
∴函数表达式为；
（2）当x＝40时，得：，
答：此时空气中的含药量是2mg/m3；
（3）此次灭蚊是有效；理由如下：
当y＝4时，得：，
解得：x＝20，
由图可得：x＝5时，y＝4，
∴20﹣5＝15＞12，
∴本次灭蚊有效．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是正确分析图象．
23．2025年宁波市马拉松于3月23日盛大展开．某服装厂家为本次马拉松赛事生产了一批文化衫．正常情况下，文化衫售价为每件50元时，则每天可售出40件．通过市场调查发现，若每件降价5元，则每天可以多售出10件，综合各项成本考虑，规定每件文化衫售价不低于35元．设售价为x元/件，解决以下问题：
（1）当天文化衫的销售数量为 　（140﹣2x）　 件．（用x的代数式表示）．
（2）当文化衫售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？
（3）该服装厂一天所获得的文化衫销售额能否达到2500元？请计算说明．
【点拨】（1）利用当天文化衫的销售数量＝40+×10，可用含x的代数式表示出当天文化衫的销售数量；
（2）利用销售总额＝销售单价×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（3）假设该服装厂一天所获得的文化衫销售额能达到2500元，利用销售总额＝销售单价×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该服装厂一天所获得的文化衫销售额不能达到2500元．
【解析】解：（1）根据题意得：当天文化衫的销售数量为40+×10＝（140﹣2x）件．
故答案为：（140﹣2x）；
（2）根据题意得：x（140﹣2x）＝2400，
整理得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40．
答：当文化衫售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额；
（3）该服装厂一天所获得的文化衫销售额不能达到2500元，理由如下：
假设该服装厂一天所获得的文化衫销售额能达到2500元，
根据题意得：x（140﹣2x）＝2500，
整理得：x2﹣70x+1250＝0，
∵Δ＝（﹣70）2﹣4×1×1250＝﹣100＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即该服装厂一天所获得的文化衫销售额不能达到2500元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出当天文化衫的销售数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，原方程没有实数根”．
24．如图①正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE，BE．
（1）求证：DE＝BE；
（2）当AE＝AB时，求∠BED的度数；
（3）如图②，过点E作EF⊥DE交AB于点F，当BE＝BF时，若AB＝．求AF的长．
【点拨】（1）由正方形的性质得AD＝AB，∠DAE＝∠BAE，再证明△DAE≌△BAE便可得DE＝BE；
（2）由（1）得△DAE≌△BAE，可得∠AED＝∠AEB，进而可以解决问题；
（3）过E作EM⊥BF，证明△BEF是等边三角形，设BM＝x，则MF＝BM＝x，EM＝x，得AM＝EM＝x，由AB＝．列出x的方程进行解答便可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE，
∵AE＝AE，
∴△DAE≌△BAE（SAS），
∴DE＝BE；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
由（1）知：△DAE≌△BAE，
∴∠AED＝∠AEB＝（180°﹣45°）＝135°，
∴∠BED＝2∠AEB＝135°；
（3）如图②，过E作EM⊥BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，
∵CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠CDE＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE＝∠ABE，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
在四边形ADEF中，∠DAF＝90°，
∴∠ADE+∠AFE＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠BFE＝∠EBF，
∴BE＝EF，
∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝60°，
设BM＝x，则MF＝BM＝x，EM＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠BAD＝45°，
∴AM＝EM＝x，
∵AM+BM＝AB＝，
∴x+x＝，
解得，x＝，
∴BF＝2x＝2，
∴AF＝AB﹣BF＝﹣2＝﹣．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，第（3）题难度大，关键是构造直角三角形和证明等边三角形．
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