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武昌区2025届高三年级5月质量检测
数学
本试题卷共4页，共19题.满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
4. 如图，某社区为墙面、、、四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有（ ）
A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 144种
5. 已知等比数列为递增数列，若，，则（ ）
A B. C. 4 D. 8
6. 已知函数，直线是曲线切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（ ）
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
7. 在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知服从二项分布的似然函数为（其中表示成功的概率，为样本总数，为成功次数）．现有一个研究团队研究发现概率与参数的取值有关，该团队提出函数模型为．在统计学中，若参数时使得概率最大，则称是的最大似然估计．若，，根据这一原理和该团队提出的函数模型可以求出的最大似然估计，其最大似然估计为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在区间上单调递增
C. 的一个对称中心为
D. 图象上所有的点向左平移个单位长度后关于轴对称
10. 已知圆，直线与圆交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，若，，则（ ）
A.
B. 面积的最大值为
C. 直线的方程为
D. 满足到直线的距离为的点有且仅有3个
11. 某乒乓球比赛采用单淘汰制，即参赛选手按照随机组合方式逐轮进行比赛，每场比赛负方淘汰，胜方晋级到下一轮，直到最终决出冠亚军．现有运动员（且）名，随机编号到对阵位置，且所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为．若甲、乙是其中的两名运动员，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若，则甲、乙在第1轮比赛中相遇的概率为
B. 若，则甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率为
C. 若（且），则甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为
D. 若，则甲、乙两人在比赛中相遇的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的下四分位数为________．
13. 已知，且，则________．
14. 在几何中，单叶双曲面是一种典型的直纹面如图1所示，因其具有优良的稳定性和美观性，常被应用于大型建筑结构（如广州电视塔）．单叶双曲面的形成过程可通过“双曲狭缝”演示：如图2，直杆与固定轴成一定夹角，且均和连杆垂直．当直杆绕固定轴旋转时，其轨迹形成单叶双曲面．若用过单叶双曲面固定轴的平面截取该曲面，所得交线为双曲线的一部分．在某科技馆的演示中，立板上的双曲狭缝即为直杆运动轨迹（双曲面）被立板面截取的双曲线的一部分，因此直杆旋转时可始终穿过两条弯曲的狭缝．若直杆与固定轴所成角的大小为，则该双曲线的离心率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，
（1）若，求函数的单调区间；
（2）当时，，求实数取值范围．
16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，角的角平分线交于点，且．
（1）求的长；
（2）求的面积．
17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，
（1）证明：平面；
（2）求的长；
（3）求平面与平面夹角余弦值．
18. 图1是一种可以作出椭圆的工具．是滑槽（足够长）的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，．当栓子在滑槽内做往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线为椭圆．当时，记画出的曲线为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求曲线的方程；
（2）过坐标原点的任一直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，过点的任一直线与交于，两点．
（i）求证：；
（ii）求四边形面积的取值范围．
19. 用符号表示集合中元素的个数．对于实数集合和，且，，定义两个集合：①和集；
②邻差集，其中为集合中元素按照从小到大排列．
（1）已知集合，，求，的值；
（2）已知集合，，求的值；
（3）若与都是由个实数构成集合，证明：的充要条件是．
武昌区2025届高三年级5月质量检测
数学
本试题卷共4页，共19题.满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
【9题答案】
【答案】ABC
【10题答案】
【答案】BD
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】88
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】2
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【19题答案】
【答案】（1），
（2）
（3）证明见解析

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