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2025届云南民族中学等学校高三5月大联考数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，均为非空集合，且满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则“存在，使得”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设复数满足为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
4.已知一个等比数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则下列等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
5.为提升学生的数学素养，某中学特开设了“数学史”“数学建模”“古今数学思想”“数学探究”“中国大学先修课程微积分学习指导”五门选修课程，要求每位同学每学年至多选四门，高一到高二两学年必须将五门选修课程选完，则每位同学不同的选修方式为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知为圆锥的底面直径，为底面圆心，正三角形内接于，若，圆锥的侧面积为，则与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.若对任意的 ，恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则( )
A.
B.
C.
D. 若，则与互斥
10.已知椭圆的左、右顶点分别为，，左焦点为，为上异于，的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则( )
A. 存在点，使 B.
C. 的最小值为 D. 周长的最大值为
11.若数列满足为常数，则称数列为“调和数列”已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，且，，则
C. 若，中各项均为正数，则
D. 若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且满足，，则 ．
13.平面向量， 满足，，则，的最小值为 ．
14.已知函数满足，且则方程的实数解的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中，．
求；
若，求周长的最大值．
16.本小题分
甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分，关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束．若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响．
已知甲先上场，，，，
求挑战没有一关成功的概率；
设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求；
如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由．
17.本小题分
如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面．
证明：
若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为点在的渐近线上，过的直线与交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．
求的方程
若的面积为，求的方程
证明：线段的中点为定点．
19.本小题分
设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．
判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
，；
已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
设，设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为若，且，求的最小值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在中，设内角，，的对边分别为，，，
因为，
由正弦定理得，，即，
由余弦定理得，，
因为，所以．
由知，，因为，即，
由余弦定理得，，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时取得等号，
所以
所以当且仅当时取得等号，
所以周长的最大值为．
16.解：记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为，
则，
依题可知，的可能取值为，，，
则
，
，
所以；
设甲先出场比赛挑战成功的概率为，乙先出场比赛挑战成功的概率为，
则
；
；
由
，
得，
则甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同．
17.证明：过点作于，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，故BH，
又为直径，，
又，，平面，平面，
平面，
，且，、平面，，
平面，
平面，
；
解：据知，平面，
，
当且仅当时，达到最大；
过点作于，
以为坐标原点，，所在直线为，轴，过点垂直于平面的方向为轴，建立空间直角坐标系，
设平面的法向量为，
则点，，，，，
，，
则
令，可得，，
故平面的一个法向量为，
因为平面的一个法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值为
．
18.解：由题意，其渐近线方程为，即，
到渐近线的距离其中，
所以，
因为点在的渐近线上，所以，即，
又，将代入得，即，
把，代入，有，
即，解得，那么，
所以双曲线的方程为
解：由已知的斜率存在，且，设直线的方程为，即，
设，，
联立，则，
化简得，
由韦达定理，，
点到直线的距离，
，
因为，
所以，
即，
则，
得，解得，所以直线方程为，经检验方程的，符合题意，
所以直线方程为
证明：直线的方程为，令，得，
直线的方程为，令，得，
设线段的中点为，则，
因为，在双曲线上，且，，
，
将，代入上式得，
所以线段的中点为定点．
19.解：函数
当时，函数严格减；
当时，函数严格增，
所以是含谷函数，谷点；
函数，恒成立，函数在上严格增，所以不是含谷函数；
由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，
所以，由可知恒成立，
所以在区间上严格增，
若满足谷点，则有，解得，
故的取值范围是；
因为，
所以，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是含谷函数，不满足题意；
因此关于的方程有两个相异实根，即，
设两根为，且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个谷点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，
，
由得，所以，
由得，所以，
所以
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当时成立．

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