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2025年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷
全国二卷
注意事项:
1. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动,请用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。作答非选择题, 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
4.考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分. 每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.2，8，14，16，20平均数为( )
A.8 B.9 C.12 D.18
2.，( )
A. B.i C. D.1
3.，，( )
A. B. C. D.
4.的解集是( )
A. B. C. D.
5.，，，，( )
A. B. C. D.
6.抛物线焦点F，，过A作C准线的垂线，垂足为B.若，则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.为等差前n项和，，，( )
A. B. C. D.
8.，，( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。
9.为等比数列的前n项和，q为的公比，，，，则( )
A. B. C. D.
10.是定义在R上的奇函数，时，，则( )
A. B.当时，
C.当且仅当 D.是的极大值点
11.双曲线（，），左右焦点为，.左右顶点为，.以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N，且，则( )
A.
B.
C.C离心率为
D.当时，四边形的面积为
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.
12.，，，则__________.
13.是的极值点，则__________.
14.一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为__________.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.，.
（1）求；
（2），求值域和单调区间.
16.椭圆的离心率为，长轴长为4.
（1）求椭圆C的方程
（2）过点的直线l与C交于A，B，O为坐标原点，若，求.
17.如图，四边形中，，，F为中点，E在上，，，.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为.
（1）证明：平面.
（2）求面与面所成二面角的正弦值.
18.，.
（1）证明：在存在唯一极值点和唯一零点；
（2）设，为在的极值点和零点，
（i），证明：在单调递减；
（ii）比较与的大小，并证明.
19.甲、乙乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分，设每个球甲胜概率为，乙胜概率为q，，且各球胜负独立，对正整数，记为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率.
（1）求，（用p表示）；
（2）若，求p.
（3）证明：对任意正整数m，.
参考答案
1.C
解析：.
2.A
解析：.
3.D
解析：，.
4.C
解析：且.
5.A
解析：由余弦定理，，故.
6.C
解析：与x轴交于F点，则，故；
设与y轴交于N点，则；
准线与x轴交于M点，由，，故，代入得，，.
7.B
解析：为等差数列的前n项和，故为等差数列，该等差数列的公差为.
8.D
解析：，，又，，则.
9.AD
解析：由已知条件，又，则，故，，，，，，
综上，AD正确.
10.ABD
解析：为R上的奇函数，故，A正确；
时，，故，，B正确；
时，，；
时，单调递减，时，单调递增，故为极小值点，由为R上的奇函数，故为极大值点，D正确；，C错.
11.ACD
解析：由对称性不妨取斜率为正的渐近线，又，则易知，又，，
则，如图，
，A选项正确；
则在中，，B选项错误，
，
则，C选项正确；
当时，，D选项正确.
12.
解析：，所以.
13.
解析：，若为的极值点，则，.
14.
解析：设铁球半径为r，两铁球位置如图所示，
竖直方向有，，
即，
水平方向有，，
即，
则
化简得：
，
解得：，（舍）
故答案为：.
15.（1）
（2）的值域为；单调递减区间为，，单调递增区间为，
解析：（1），由，故；
（2），，
，
故的值域为，
令，解得，
即的单调递减区间为，，
同理可得的单调递增区间为，.
16.（1）
（2）
解析：（1），，，椭圆方程为：；
（2）设，点，点，，
联立可得：，其判别式为，
，（两根同号），
由，可得或，
，
解得，
.
17.（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由，，可得平面平面，
又由平面，故平面；
（2）由且，可知即为二面角的平面角，为
不妨设，在平面内，由点作EB垂线，垂足为O，
可证底面，，
如图建系，
，，设平面的法向量为
则有，取，；
，，
设平面的法向量为，
则有，取，则，
即平面与平面成角，
则有，故.
18.（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析
（ii），证明见解析
解析：（1）证明：因为，，
所以
，
当时，令，解得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以是在上唯一的极值点，是极大值点.
又因为，，
所以，，
即是在上唯一的零点；
（2）（i）因为，
所以
，
因为，所以，，
所以，
即在上单调递减；
（ii）由（i）得，在上单调递减，
所以，
即，，
因为是的零点，所以，
所以，
又因为，，且在上单调递减，
所以.
19.（1），
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）3球后甲比乙至少多两分，只能是甲3分乙0分，
因此；
4球后甲比乙至少多两分，可能是甲4分乙0分，或者甲3分乙1分，
因此.
（2）根据对称性，以及（1）的结果，可得，.
因此，
因此，又，故，.
答案为
（3）记表示m球甲得x分的概率
，
故，
故要证：
只需证：
即只需证：
即只需证：
即.由条件，故结论成立.
由
现在考虑右边的不等式
只需证：
只需证：
只需证：
只需证：
只需证：
因为，且，故上面不等式成立.证毕.

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