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重庆市两江新区2023-2024学年七年级下学期数学期末试题
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分、共40分）在每个小题下面，都给出了代号A、B、C、D四个答案．其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应方框涂黑．
1．（2024七下·重庆市期末） 的倒数是（　　）
A．5 B． C． D．
2．（2024七下·重庆市期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·重庆市期末）如果，那么下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·重庆市期末）估计的值在（　　）
A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间
5．（2024七下·重庆市期末）如图，以下说法错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（2024七下·重庆市期末）某公承担了制作1000个两江新区道路交通指引标志的任务，原计划每天制作x个，实际平均每天比原计划多制作了5个，提前10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·重庆市期末）下列计算错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2024七下·重庆市期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（　　）
A．180° B．270° C．360° D．720°
9．（2024七下·重庆市期末）如图，点D为内一点，满足，，过点B，点C分别作的垂线相交于点E．设，，则与之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·重庆市期末）如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（　　）
A．或 B．或
C．或或 D．或或或
二、填空题：（本题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（2024七下·重庆市期末）要使分式有意义，x的取值应满足　 　．
12．（2024七下·重庆市期末）已知等腰三角形的一边长等于6，一边长等于12，则它的周长等于　 　．
13．（2024七下·重庆市期末）已知是二元一次方程的一组解，则　 　．
14．（2024七下·重庆市期末）如图，直线相交于点O，已知，把分成两部分，且，则　 　．
15．（2024七下·重庆市期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为　 　．
16．（2024七下·重庆市期末）一个正多边形它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形是　 　边形．
17．（2024七下·重庆市期末）若关于x的分式方程解为整数，且关于y的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为　 　．
18．（2024七下·重庆市期末）已知3个多项式分别为：，，．
①若，则或8；
②若的结果为单项式，则；
③若关于x的式子的结果恒为常数，则；
④代数式化简后共有3种不同表达式．
其中正确的是　 　．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（2024七下·重庆市期末）计算：
（1）；
（2）．
20．（2024七下·重庆市期末）化简求值：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，，求的值．
21．（2024七下·重庆市期末）如图，点C在线段上，，，．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证．请完成下面的证明过程：
证明：
①
在和中，
②
平分
③
在和中，
．
22．（2024七下·重庆市期末）光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如自行车尾部的反光镜、光纤、魔术中的隐身术等就是应用了光的反射原理．射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
（1）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图），表示入射光线，表示反射光线，，平面镜与的夹角，求．
（2）如图，物理课上有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，则为多少度？
23．（2024七下·重庆市期末）为了支持一次大型活动，某物流公司需要运输一批展览材料．根据调查得知，辆重型卡车与辆轻型卡车可以一次共同运输箱：辆重型卡车与辆轻型卡车可以一次共同运输箱．
（1）求辆重型卡车和辆轻型卡车分别能够单独运输多少箱展览材料？
（2）计划用两种类型的货车总共辆来完成这批物资的运输任务，每趟每辆重型货车的费用为元，每趟每辆轻型货车的费用为元．如果要求至少使用台重型货车，并且总费用不超过元，请列出所有可能的配送方案，并指出哪种方案最经济实惠以及所需最低费用是多少？
24．（2024七下·重庆市期末）在中，和的角平分线相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：．
25．（2024七下·重庆市期末）定义：对于一组关于x的多项式，，，（a．b，c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，，，，因为，所以多项式，，，是一组黄金多项式，其黄金因子为．
（1）小贤发现多项式，，，是一组黄金多项式，其列式为
请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子．
（2）若多项式，，，（n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值．
（3）若多项式（m为有理数），，是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直接写出m的值．
26．（2024七下·重庆市期末）已知：，A、B是上的点，C、D是上的点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过D点作交的延长线于点M，作的角平分线交于点N，交于点O，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点P，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 的倒数是5．
故答案为：A．
【分析】乘积是1的两个数是互为倒数，据此解答即可.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A.，其右边不是几个整式的积的形式，A不符合题意；
B. 这个叫平方差公式，而才是因式分解，B不符合题意；
C.是因式分解，C符合题意；
D.，D选项分解不完全，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，根据因式分解的定义即可判断并选出正确答案.
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．如果，那么，故选项正确，不符合题意；
B．如果，那么，故选项正确，不符合题意；
C．如果，那么，故选项正确，不符合题意；
D．如果，那么，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：由根号的这种单调性有，
，
的值在3和4之间，
故答案为：C．
【分析】本题考查了无理数的估算，根据根号的这种单调性有，化简得，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：若，则，
故A说法正确，不符合题意；
若，不能判定，
故B说法错误，符合题意；
若，则，
故C说法错误，符合题意；
若，则，
故D说法正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划天完成，
∵原计划每天制作x个，实际平均每天比原计划多制作了5个，
∴实际平均每天制作个，
根据题意得：
．
故答案为：B．
【分析】本题的关键在于根据“提前10天完成任务”列方程。即按原计划每天制作x个，需要天； 实际平均每天比原计划多制作了5个 ，需要天，即.
7．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，计算正确，故不符合题意；
B、，计算正确，故B不符合题意；
C、，计算正确，故C不符合题意；
D、，计算错误，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】注意本题是选非题。依次根据积的乘方的法则，整式的除法的法则，单项式乘多项式的法则，平方差公式对各项进行运算即可．本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，连接AB，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠D+∠E+∠4=180°，且∠3=∠4
∴∠D+∠E=∠1+∠2
在四边形ABCF中，∠FAB+∠ABC+∠C+∠F=360°，
即∠FAD+∠1+∠2+∠CBE+∠C+∠F=360°，
∴∠FAD+∠D+∠E+∠CBE+∠C+∠F=360°，
故答案为：C.
【分析】连接AB，根据三角形内角和与对顶角相等，可得出∠D+∠E=∠1+∠2，再由四边形ABCF内角和为360°，即可得出答案.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：
，
，，
，
，
，
即
，
，
即，
解得，
故答案为：A．
【分析】本题的解题思路主要在于理解角与角之间的联系，通过转化使原本两个不相关的角之间产生联系。由三角形的内角及，，有①；再由四边形的内角和及有，②，而其中涉及的角都在三角形BDC中，且③，由②③可得，结合①可得，即.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】假设运动的时间为，
①当时，即点在上，如图，
若，
则，，
∴，
∴；
若，
则，，
∴，
∴，
②当时，即点在上，
若，
则，，
∴
∴，
若，
则，，
∴，
所以，
当时，即点在上，
此时，
∴所以不存在和全等，
综上所述， 点的运动速度为：或或，
故答案为：．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论，即当点P分别在BC，AB上时，根据，可分别求出三边的长，可确定点P的运动时间，即可计算点Q运动速度v.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义
即
故答案为：
【分析】本题考查了分式有意义，要使分式有意义，即分母不为0。要使分式有意义，即即可．
12．【答案】30
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一边长等于6，一边长等于12
∴当腰长为6，底边为12时，则，不符合三角形三边的关系，故舍去；
∴当腰长为12，底边为6时，则符合三角形三边的关系，
故此时三角形的周长为
故答案为：.
【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边的关系，需要分类讨论，即当腰长为6，底边为12或者当腰长为12，底边为6时，再结合三角形三边的关系确定三角形的边长分别是多少，最后得出周长即可．
13．【答案】2
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由题可知，是二元一次方程的一组解 ，故把代入二元一次方程有，
，解得：，
故答案为：．
【分析】此题考查了二元一次方程的解。因为是方程的一组解，故是满足方程 ，故将代入二元一次方程，再解方程即可.
14．【答案】
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】 已知 ，根据对顶角相等可知，再由即，求出的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于即可求出的度数．本题考查了角的概念、对顶角、邻补角，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于求解是解题的关键．
15．【答案】48
【知识点】三角形全等及其性质；平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质知，，，
，
，
，
，
故答案为：48.
【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，根据平移的性质，求出、，得到，得到，得到，结合梯形的面积公式，即可求解.
16．【答案】十
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】设正多边形的每个外角的度数为，则内角为，
，
解得，
即这个正多边形的边数是：．
故答案为：十．
【分析】根据正多边形的一个内角与相邻外角的互补，列方程求解正多边形的外角，再由多边形的外角和等于，即可求出正多边形的边数.、
17．【答案】10
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
，
∵关于x的分式方程解为整数
∴是整数且，
∴是2的倍数，且，即
，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵关于y的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，
∴
∴，
解得
∴，
∴符合条件的所有整数a的值为：0，4，6
∴符合条件的所有整数a的和为：
故答案为：10．
【分析】根据题意，先解分式方程，根据分式方程的解是整数，确定a值需要满足的条件，再解一元一次不等式组，然后根据不等式组有且仅有4个整数解，可列出关于a的不等式，求解出a的取值范围，求出符合条件的整数a的值，并求出所有符合条件的整数a的和即可．
18．【答案】①③④
【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：①，
，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，故①正确；
②
，
若为单项式，则或，
解得：或，故②错误；
③
，
若为常数项，则，
解得，故③正确；
④
，
当时，
原式；
当时，
原式；
当时，
原式．
代数式化简后共有3种不同表达式，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】①直接C=士3代入C的代数式求解即可；
②先将A、B、C的代数式代入mA+B+C化简，再根据结果为单项式求解m的值即可；
③先将A、B、C的代数式代入A-nB-2C化简，再根据结果为常数求解n的值即可；
④先将A、B、C的代数式代入|3A+B|+|-3A-B+C|化简，再去绝对值即可.
19．【答案】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；分式的加减法
【解析】【分析】（）直接利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可；
（）按照运算法则先计算括号内的，再计算除法即可求解；
20．【答案】（1）解：原式
，
当，时，原式；
（2）解：原式
，
当，时，原式．
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式化简，再把、的值代入计算得到答案；
（2）根据完全平方公式、合并同类项把原式化简，最好整体代入计算即可．
21．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2），，，．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（2）证明：，
①，
在和中，
②，
平分，
③，
在和中，，
．
故答案为：，，，．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2） 由于AB= DE，可以得出相应的内错角相等，进一步可证明，再由全等三角形的对应边相等，可得AF=EF.
22．【答案】（1）解：如图，过点作，，相交于点，
∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即；
（2）解：过点作，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据平面镜成像原理，结合题意可知（）过点作，，相交于点，由平面镜成像原理：入射角等于反射角，即光线，可知同内角互补，进一步可知两法线垂直，从而求得的度数；
（）过点作，则，由平行线的性质及三角形内角和等于可知，，，，，最后在中求解即可.
23．【答案】（1）解：
设辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料，
根据题意得：，
解得：，
答：辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料；
（2）解：设使用台重型货车，则使用台轻型货车，根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴可以为，，，
∴共有种配送方案，
方案：使用辆重型货车，台轻型货车；
方案：使用辆重型货车，台轻型货车；
方案：使用辆重型货车，台轻型货车；
选择方案所需费用为（元）；
选择方案所需费用为（元）；
选择方案所需费用为（元）；
∵，
∴使用辆重型货车，台轻型货车最经济实惠，所需最低费用是元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（）根据题意设辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料，根据不同数量车辆的组合可运输不同数量的材料列出关于，的二元一次方程组，解之即可；
（）设使用台重型货车，则使用台轻型货车，由题意可得，再根据m为正整数求解即可.
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵和的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（）由题可知，先由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理，即可求解；
（）在上截取，连接，先由角平分线的性质可证，再结合题意证，即可求证.
25．【答案】（1）解：
，
这组黄金多项式的黄金因子是；
（2）解：若多项式，，，是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①
．
这是一组黄金多项式，
，
；
②
．
这是一组黄金多项式，
，
；
③
．
这是一组黄金多项式，
，
，
综上所述，的值为或8或2；
（3）解：①
，
这是一组黄金多项式，
，
，
黄金因子为，不合题意，舍去；
②
，
这是一组黄金多项式，
，
，
黄金因子为，不合题意，舍去；
③
，
这是一组黄金多项式，
，
，
黄金因子为，符合题意，
综上所述 ，的值为.
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据黄金多项式的定义，先利用整式的四则混合运算法则计算的值，再根据“黄金因子”的定义求出黄金因子即可；
（2） 根据黄金多项式的定义，需分情况进行讨论，分别计算①②；③，根据“黄金多项式”的定义即可求解n的值；
（3）方法同（2）分别计算①，②，③，根据黄金多项式的定义，且黄金因子为4，进行判断计算即可．

26．【答案】（1）证明：如图所示： ∵
∴
∵
∴
∴；
（2）解：如图所示：过点N作
∵，
∴
∴
∴
∵作的角平分线交于点N，交于点O
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
则
故
（3）解：如图所示：设
由（2）得出
∴
即
∴，
则
∵，
∴
∵作的角平分线交于点P
∴
∵
∴
∴
则
∴
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由题可知，可得，再结合，可得；
（2）过点N作，即，则，再结合角平分线的定义有，又因为，所以；
（3）在（2）得出， 设 可知，解得，又作的角平分线交于点P，有，可分别计算，则，即 ．
1 / 1重庆市两江新区2023-2024学年七年级下学期数学期末试题
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分、共40分）在每个小题下面，都给出了代号A、B、C、D四个答案．其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应方框涂黑．
1．（2024七下·重庆市期末） 的倒数是（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 的倒数是5．
故答案为：A．
【分析】乘积是1的两个数是互为倒数，据此解答即可.
2．（2024七下·重庆市期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A.，其右边不是几个整式的积的形式，A不符合题意；
B. 这个叫平方差公式，而才是因式分解，B不符合题意；
C.是因式分解，C符合题意；
D.，D选项分解不完全，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，根据因式分解的定义即可判断并选出正确答案.
3．（2024七下·重庆市期末）如果，那么下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．如果，那么，故选项正确，不符合题意；
B．如果，那么，故选项正确，不符合题意；
C．如果，那么，故选项正确，不符合题意；
D．如果，那么，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
4．（2024七下·重庆市期末）估计的值在（　　）
A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：由根号的这种单调性有，
，
的值在3和4之间，
故答案为：C．
【分析】本题考查了无理数的估算，根据根号的这种单调性有，化简得，即可得出答案.
5．（2024七下·重庆市期末）如图，以下说法错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：若，则，
故A说法正确，不符合题意；
若，不能判定，
故B说法错误，符合题意；
若，则，
故C说法错误，符合题意；
若，则，
故D说法正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．（2024七下·重庆市期末）某公承担了制作1000个两江新区道路交通指引标志的任务，原计划每天制作x个，实际平均每天比原计划多制作了5个，提前10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划天完成，
∵原计划每天制作x个，实际平均每天比原计划多制作了5个，
∴实际平均每天制作个，
根据题意得：
．
故答案为：B．
【分析】本题的关键在于根据“提前10天完成任务”列方程。即按原计划每天制作x个，需要天； 实际平均每天比原计划多制作了5个 ，需要天，即.
7．（2024七下·重庆市期末）下列计算错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，计算正确，故不符合题意；
B、，计算正确，故B不符合题意；
C、，计算正确，故C不符合题意；
D、，计算错误，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】注意本题是选非题。依次根据积的乘方的法则，整式的除法的法则，单项式乘多项式的法则，平方差公式对各项进行运算即可．本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．（2024七下·重庆市期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（　　）
A．180° B．270° C．360° D．720°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，连接AB，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠D+∠E+∠4=180°，且∠3=∠4
∴∠D+∠E=∠1+∠2
在四边形ABCF中，∠FAB+∠ABC+∠C+∠F=360°，
即∠FAD+∠1+∠2+∠CBE+∠C+∠F=360°，
∴∠FAD+∠D+∠E+∠CBE+∠C+∠F=360°，
故答案为：C.
【分析】连接AB，根据三角形内角和与对顶角相等，可得出∠D+∠E=∠1+∠2，再由四边形ABCF内角和为360°，即可得出答案.
9．（2024七下·重庆市期末）如图，点D为内一点，满足，，过点B，点C分别作的垂线相交于点E．设，，则与之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：
，
，，
，
，
，
即
，
，
即，
解得，
故答案为：A．
【分析】本题的解题思路主要在于理解角与角之间的联系，通过转化使原本两个不相关的角之间产生联系。由三角形的内角及，，有①；再由四边形的内角和及有，②，而其中涉及的角都在三角形BDC中，且③，由②③可得，结合①可得，即.
10．（2024七下·重庆市期末）如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（　　）
A．或 B．或
C．或或 D．或或或
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】假设运动的时间为，
①当时，即点在上，如图，
若，
则，，
∴，
∴；
若，
则，，
∴，
∴，
②当时，即点在上，
若，
则，，
∴
∴，
若，
则，，
∴，
所以，
当时，即点在上，
此时，
∴所以不存在和全等，
综上所述， 点的运动速度为：或或，
故答案为：．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论，即当点P分别在BC，AB上时，根据，可分别求出三边的长，可确定点P的运动时间，即可计算点Q运动速度v.
二、填空题：（本题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（2024七下·重庆市期末）要使分式有意义，x的取值应满足　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义
即
故答案为：
【分析】本题考查了分式有意义，要使分式有意义，即分母不为0。要使分式有意义，即即可．
12．（2024七下·重庆市期末）已知等腰三角形的一边长等于6，一边长等于12，则它的周长等于　 　．
【答案】30
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一边长等于6，一边长等于12
∴当腰长为6，底边为12时，则，不符合三角形三边的关系，故舍去；
∴当腰长为12，底边为6时，则符合三角形三边的关系，
故此时三角形的周长为
故答案为：.
【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边的关系，需要分类讨论，即当腰长为6，底边为12或者当腰长为12，底边为6时，再结合三角形三边的关系确定三角形的边长分别是多少，最后得出周长即可．
13．（2024七下·重庆市期末）已知是二元一次方程的一组解，则　 　．
【答案】2
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由题可知，是二元一次方程的一组解 ，故把代入二元一次方程有，
，解得：，
故答案为：．
【分析】此题考查了二元一次方程的解。因为是方程的一组解，故是满足方程 ，故将代入二元一次方程，再解方程即可.
14．（2024七下·重庆市期末）如图，直线相交于点O，已知，把分成两部分，且，则　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】 已知 ，根据对顶角相等可知，再由即，求出的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于即可求出的度数．本题考查了角的概念、对顶角、邻补角，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于求解是解题的关键．
15．（2024七下·重庆市期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为　 　．
【答案】48
【知识点】三角形全等及其性质；平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质知，，，
，
，
，
，
故答案为：48.
【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，根据平移的性质，求出、，得到，得到，得到，结合梯形的面积公式，即可求解.
16．（2024七下·重庆市期末）一个正多边形它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形是　 　边形．
【答案】十
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】设正多边形的每个外角的度数为，则内角为，
，
解得，
即这个正多边形的边数是：．
故答案为：十．
【分析】根据正多边形的一个内角与相邻外角的互补，列方程求解正多边形的外角，再由多边形的外角和等于，即可求出正多边形的边数.、
17．（2024七下·重庆市期末）若关于x的分式方程解为整数，且关于y的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为　 　．
【答案】10
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
，
∵关于x的分式方程解为整数
∴是整数且，
∴是2的倍数，且，即
，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵关于y的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，
∴
∴，
解得
∴，
∴符合条件的所有整数a的值为：0，4，6
∴符合条件的所有整数a的和为：
故答案为：10．
【分析】根据题意，先解分式方程，根据分式方程的解是整数，确定a值需要满足的条件，再解一元一次不等式组，然后根据不等式组有且仅有4个整数解，可列出关于a的不等式，求解出a的取值范围，求出符合条件的整数a的值，并求出所有符合条件的整数a的和即可．
18．（2024七下·重庆市期末）已知3个多项式分别为：，，．
①若，则或8；
②若的结果为单项式，则；
③若关于x的式子的结果恒为常数，则；
④代数式化简后共有3种不同表达式．
其中正确的是　 　．
【答案】①③④
【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：①，
，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，故①正确；
②
，
若为单项式，则或，
解得：或，故②错误；
③
，
若为常数项，则，
解得，故③正确；
④
，
当时，
原式；
当时，
原式；
当时，
原式．
代数式化简后共有3种不同表达式，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】①直接C=士3代入C的代数式求解即可；
②先将A、B、C的代数式代入mA+B+C化简，再根据结果为单项式求解m的值即可；
③先将A、B、C的代数式代入A-nB-2C化简，再根据结果为常数求解n的值即可；
④先将A、B、C的代数式代入|3A+B|+|-3A-B+C|化简，再去绝对值即可.
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（2024七下·重庆市期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；分式的加减法
【解析】【分析】（）直接利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可；
（）按照运算法则先计算括号内的，再计算除法即可求解；
20．（2024七下·重庆市期末）化简求值：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）解：原式
，
当，时，原式；
（2）解：原式
，
当，时，原式．
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式化简，再把、的值代入计算得到答案；
（2）根据完全平方公式、合并同类项把原式化简，最好整体代入计算即可．
21．（2024七下·重庆市期末）如图，点C在线段上，，，．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证．请完成下面的证明过程：
证明：
①
在和中，
②
平分
③
在和中，
．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2），，，．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（2）证明：，
①，
在和中，
②，
平分，
③，
在和中，，
．
故答案为：，，，．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2） 由于AB= DE，可以得出相应的内错角相等，进一步可证明，再由全等三角形的对应边相等，可得AF=EF.
22．（2024七下·重庆市期末）光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如自行车尾部的反光镜、光纤、魔术中的隐身术等就是应用了光的反射原理．射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
（1）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图），表示入射光线，表示反射光线，，平面镜与的夹角，求．
（2）如图，物理课上有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，则为多少度？
【答案】（1）解：如图，过点作，，相交于点，
∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即；
（2）解：过点作，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据平面镜成像原理，结合题意可知（）过点作，，相交于点，由平面镜成像原理：入射角等于反射角，即光线，可知同内角互补，进一步可知两法线垂直，从而求得的度数；
（）过点作，则，由平行线的性质及三角形内角和等于可知，，，，，最后在中求解即可.
23．（2024七下·重庆市期末）为了支持一次大型活动，某物流公司需要运输一批展览材料．根据调查得知，辆重型卡车与辆轻型卡车可以一次共同运输箱：辆重型卡车与辆轻型卡车可以一次共同运输箱．
（1）求辆重型卡车和辆轻型卡车分别能够单独运输多少箱展览材料？
（2）计划用两种类型的货车总共辆来完成这批物资的运输任务，每趟每辆重型货车的费用为元，每趟每辆轻型货车的费用为元．如果要求至少使用台重型货车，并且总费用不超过元，请列出所有可能的配送方案，并指出哪种方案最经济实惠以及所需最低费用是多少？
【答案】（1）解：
设辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料，
根据题意得：，
解得：，
答：辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料；
（2）解：设使用台重型货车，则使用台轻型货车，根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴可以为，，，
∴共有种配送方案，
方案：使用辆重型货车，台轻型货车；
方案：使用辆重型货车，台轻型货车；
方案：使用辆重型货车，台轻型货车；
选择方案所需费用为（元）；
选择方案所需费用为（元）；
选择方案所需费用为（元）；
∵，
∴使用辆重型货车，台轻型货车最经济实惠，所需最低费用是元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（）根据题意设辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料，根据不同数量车辆的组合可运输不同数量的材料列出关于，的二元一次方程组，解之即可；
（）设使用台重型货车，则使用台轻型货车，由题意可得，再根据m为正整数求解即可.
24．（2024七下·重庆市期末）在中，和的角平分线相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵和的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（）由题可知，先由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理，即可求解；
（）在上截取，连接，先由角平分线的性质可证，再结合题意证，即可求证.
25．（2024七下·重庆市期末）定义：对于一组关于x的多项式，，，（a．b，c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，，，，因为，所以多项式，，，是一组黄金多项式，其黄金因子为．
（1）小贤发现多项式，，，是一组黄金多项式，其列式为
请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子．
（2）若多项式，，，（n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值．
（3）若多项式（m为有理数），，是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直接写出m的值．
【答案】（1）解：
，
这组黄金多项式的黄金因子是；
（2）解：若多项式，，，是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①
．
这是一组黄金多项式，
，
；
②
．
这是一组黄金多项式，
，
；
③
．
这是一组黄金多项式，
，
，
综上所述，的值为或8或2；
（3）解：①
，
这是一组黄金多项式，
，
，
黄金因子为，不合题意，舍去；
②
，
这是一组黄金多项式，
，
，
黄金因子为，不合题意，舍去；
③
，
这是一组黄金多项式，
，
，
黄金因子为，符合题意，
综上所述 ，的值为.
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据黄金多项式的定义，先利用整式的四则混合运算法则计算的值，再根据“黄金因子”的定义求出黄金因子即可；
（2） 根据黄金多项式的定义，需分情况进行讨论，分别计算①②；③，根据“黄金多项式”的定义即可求解n的值；
（3）方法同（2）分别计算①，②，③，根据黄金多项式的定义，且黄金因子为4，进行判断计算即可．

26．（2024七下·重庆市期末）已知：，A、B是上的点，C、D是上的点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过D点作交的延长线于点M，作的角平分线交于点N，交于点O，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点P，若，求的值．
【答案】（1）证明：如图所示： ∵
∴
∵
∴
∴；
（2）解：如图所示：过点N作
∵，
∴
∴
∴
∵作的角平分线交于点N，交于点O
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
则
故
（3）解：如图所示：设
由（2）得出
∴
即
∴，
则
∵，
∴
∵作的角平分线交于点P
∴
∵
∴
∴
则
∴
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由题可知，可得，再结合，可得；
（2）过点N作，即，则，再结合角平分线的定义有，又因为，所以；
（3）在（2）得出， 设 可知，解得，又作的角平分线交于点P，有，可分别计算，则，即 ．
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