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广东省深圳市深中集团联考2025九年级中考第一次模拟考数学试卷
1．（2025·深圳模拟）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果，下列是与中国航天事业相关的图标、其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 ∵该图是轴对称图形，不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图不是轴对称图形，是中心对称图形，∴B符合题意；
C、∵该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、∵该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．（2025·深圳模拟）实数α、b，c在数轴上对应点的位置如下图所示，这三个实数中绝对值最小的是
（　　）
A．a B．b C．c D．无法确定
【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：根据数轴可得：∵-4∴3<|c|<4，1<|b|<2，0<|a|<1，
∴|a|<|b|<|c|，
∴绝对值最小的是a，
故答案为：A.
【分析】利用绝对值的性质（离远点越远的数绝对值越大）分析求解即可.
3．（2025·深圳模拟） 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的除法、合并同类项、单项式乘单项式及幂的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
4．（2025·深圳模拟） 深度求索（Deep Seek）是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术，挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，Deep Seek 的 H800 芯片在每秒可以处理 3000GB数据的同时，执行 580万亿次浮点运算，数据 580万亿可用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：580万亿=580000000000000=5.8×1014，
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
5．（2025·深圳模拟） 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则. 如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行. 若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵∠NCD＝58°，
∴∠OCB＝58°，
∴∠BCD＝180° ∠NCD ∠OCB＝180° 58° 58°＝64°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＋∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180° 64°＝116°，
∴∠MBA＝＝32°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠BCD＝180° ∠NCD ∠OCB＝180° 58° 58°＝64°，再利用平行线的性质及角的运算求出∠ABC＝180° 64°＝116°，最后求出∠MBA＝＝32°即可.
6．（2025·深圳模拟）下列说法正确的是（　　）
A．三角形的高、中线、角平分线都在三角形的内部
B．所有的等边三角形都是全等三角形
C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
【答案】D
【知识点】轴对称图形；全等三角形的概念；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：A、∵三角形的三条高不一定都在三角形内，∴A错误；
B、∵所有的等边三角形不都是全等三角形，∴B错误．
C、∵等腰三角形是关于底边上的中线呈轴对称的图形，∴C错误；
D、∵如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，∴D正确；
故答案为：D．
【分析】利用三角形高线、中线、角平分线的定义；全等三角形的判定方法；轴对称图形的性质逐项分析判断即可.
7．（2025·深圳模拟）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则×与y的和为（　　）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
【答案】A
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：如图：
由图可知：x＋（ 1）＋6＝7＋a＋y＝x＋a＋b＝6＋y＋b，
∴a＝2，b＝3，
如图：
由图可知：x＋7＋c＝ 1＋2＋d＝6＋y＋3＝c＋d＋3＝c＋2＋6，
∴c＝ 2，
∴和为6，
如图：
∴x＋y＝1＋（ 3）＝ 2，
故答案为：A．
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出算式求出x＋y＝1＋（ 3）＝ 2即可.
8．（2025·深圳模拟）某仓储中心有一个斜坡AB，∠B=18°，B、C在同一水平地面上，其横截面如图，现有一个侧面图为正方形DEFG的正方体货柜，其中DE=1.6米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离BC所在水平面的高度DH的最大值）为6.2米，则BG的长度应不超过（　　）米（参考数据：sin18≈0.31，cos18°≈0.95，tan18≈0.32）
A．13.4 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵正方形DEFG，
∴DG＝DE＝1.6米，∠DGM＝90°，
∴∠DGM＝∠DHB＝90°，
∵∠DMG＝∠BMH，
∴∠GDM＝∠B＝18°，
∴DM＝==≈1.68，MG＝DG tan∠GDM＝tan18°×1.6＝0.32×1.6≈0.51，
∵DH＝6.2米，
∴HM＝DH DM＝6.2 1.68＝4.52（米），
∵sin∠B＝，
∴MB＝＝=≈14.58（米），
∴BG＝MG＋MB＝0.51＋14.58≈15（米）．
故答案为：B．
【分析】先利用解直角三角形的方法求出DM和MG的长，再利用线段的和差求出HM的长，再求出MB的长，最后求出BG的长即可.
9．（2025·深圳模拟）电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9，4.8，6.2，7.3，8.1，8.4，8.6（亿元），那么这组数据的中位数是　 　亿元.
【答案】7.3
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据排序后，中间一个数据为7.3，
∴中位数为7.3；
故答案为：7.3．
【分析】利用中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）分析求解即可.
10．（2025·深圳模拟） 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF//AB交BC于点F.若AB =8，则 EF 的长为　 　.
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，
∵点E为OC的中点，
∴CE＝OC＝AC，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠CAB，∠CFE＝∠CBA，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴EF＝AB＝×8＝2，即EF的长为2．
故答案为：2．
【分析】先证出△CEF∽△CAB，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出EF的长即可.
11．（2025·深圳模拟）如图，将半径为1的圆形纸片，按如下方式折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是　 　.
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作OD⊥AB于点D，延长线交⊙O于点E，连接AO，BO，CO，如图所示：
∵弓形AEB折叠后为弓形AOB过圆心，
∴OD＝EO＝OA＝，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
同理∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝120°，
∵OA＝OB＝OC＝1，
∴，
将弓形OmB绕着点O顺时针旋转120°得弓形OA，弓形OmB绕着点O逆时针旋转120°得弓形OC，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOC＝=，
故答案为：．
【分析】作OD⊥AB于点D，延长线交⊙O于点E，连接AO，BO，CO，先求出∠BOC＝120°，∠AOC＝120°，再求出阴影部分的面积＝S扇形AOC，最后利用扇形面积公式列出算式求解即可.
12．（2025·深圳模拟） 如图，把一块含 角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点 O 重合，点 B 在 x 轴上，点 A 在函数 的图象上. 把三角板绕点 O 逆时针旋转到 的位置，使得点 B' 恰好也在函数 的图象上，此时点 A' 落在函数 的图象上，则 k 的值为　 　.
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作AC⊥OB于点C，如图所示：
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AC＝OB＝OC＝BC，
设AC＝m，则OC＝m，
∴A（m，m），
∵点A在y＝上，
∴m2＝4，
∴m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴OC＝AC＝2，
∴OA＝=，OB＝2OC＝4，
过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，
∵OA'＝A'B'，∠OA'B'＝90°，
∴∠OA'E＋∠DA'B'＝90°，∠OA'E＋∠A'OE＝90°，
∴∠DA'B'＝∠A'OE，
又∠B'DA'＝∠A'EO＝90°，
∴△B'DA'≌△A'EO（AAS），
∴A'E＝B'D，A'D＝OE，
作B'G⊥x轴于点G，
∵B'点在y＝上，
∴xB'yB'＝4，
设B'（a，b），
∴ab＝4，
∵OB'＝OB＝4，OG2＋B'G2＝OB'2，
∴a2＋b2＝42＝16，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝16＋2×4＝24，（a b）2＝a2＋b2 2ab＝16 2×4＝16 8＝8，
∵a＞0，b＞0，且b＞a，
∴，
解得：，
设A'（p，q），
∴A'E＝q，B'D＝xB' xA'＝
∴①，
∴p＋q＝，
同理可得q p＝②，
由①②得，
∴A'(，)，
∴k＝×=，
故答案为：．
【分析】作AC⊥OB于点C，过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，设B'（a，b），先求出，再设A'（p，q），求出，可得A'(，)，最后求出k＝×=即可.
13．（2025·深圳模拟） 如图，在中，，，点D、E分别在边BC和边AB的延长线上，连接DE，且，，延长ED交AC于点F，如果点F恰好是AC的中点，那么AB=　 　.
【答案】＋1
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵BC＝6，CD＝4，
∴BD＝BC CD＝6 4＝2，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝180°＋∠ABC＝180° 120°＝60°，
如图，过点D作DM⊥BE于M，
∴∠BMD＝90°，
∴∠BDM＝90° ∠CBE＝30°，
∴BM＝BD＝×2＝1，
∴DM＝==，
∵DE＝3，
∴在Rt△DME中，ME＝==，
∴BE＝BM＋ME＝1＋，
取BC的中点N，连接FN，
∴CN＝BN＝BC＝×6＝3，
∵点F是AC的中点，
∴FN是△ABC的中位线，
∴FN∥AB，FN＝AB，
∴DN＝CD CN＝4 3＝1，
由FN∥AB可知，FN∥BE，
∴△FND∽△EBD，
∴，
∴FN＝EB＝，
∴AB＝2FN＝＋1，
故答案为：＋1．
【分析】过点D作DM⊥BE于M，取BC的中点N，连接FN，先证出FN是△ABC的中位线，再利用中位线的性质可得FN∥AB，FN＝AB，利用线段的和差求出DN的长，再证出△FND∽△EBD，利用相似三角形的性质可得，求出FN的长，最后求出AB＝2FN＝＋1即可.
14．（2025·深圳模拟）计算：.
【答案】解：原式=
=
=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用负整数指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和二次根式的性质化简，再计算即可.
15．（2025·深圳模拟）先化简 ，然后从 范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代入求值.
【答案】解：
=
=
=
=-x2+1，
当x=0时，-x2+1=1.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x=0代入计算即可.
16．（2025·深圳模拟）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A.高锰酸钾制取氧气；B.电解水；C.木炭还原氧化铜；D.一氧化碳还原氧化铜；E、铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权），
请结合统计图，回答下列问题：
（1）a=　 　，E所对应的扇形圆心角是　 　°
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有　 　人最喜欢的实验是“D.一氧化碳还原氧化铜”；
（3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通人澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊.已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率.
【答案】（1）50；72
（2）120
（3）解：列表如下：
A B C D E
A （A，B） （A，C） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） （E，E）
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）＝=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：总人数为60÷30%＝200（人），
∴a＝200 20 60 30 40＝50（人），
∴E所对应的扇形圆心角=×360°＝72°，
故答案为：50；72；
（2）根据题意可得：800×＝120（人），
故答案为：120.
【分析】（1）先利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出a的值并求出E所对的扇形圆心角即可；
（2）先求出“D”的百分比，再乘以800可得答案；
（3）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
17．（2025·深圳模拟）落实《健康中国行动（2019-2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案？
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等.
素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠
问题解决
任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格。
任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少
【答案】解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是（x＋20）元，
根据题意，得，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的根，
故x＋20＝100，
答：每个排球80元，每个足球100元；
任务2：设排球购买m个，则足球购买了（60 m）个，
根据题意，得60 m≥m，
解得：0≤m≤40，
设总费用为w元，根据题意w＝0.75×80×m＋100×0.8（60 m）＝ 20m＋4800，
故y随x的增大而减小，
∴m＝40时，w最小，最小为4000元，
答：方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设排球的单价为x元，则足球的单价是（x＋20）元，根据“ 用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等 ”列出方程，再求解即可；
任务二：设排球购买m个，则足球购买了（60 m）个，根据“ 购买足球的数量不少于排球的数量的”列出不等式60 m≥m，求出m的取值范围，再利用“总费用=单价×数量”列出函数解析式，再求解即可.
18．（2025·深圳模拟）如果三个数a、b、c满足，即，那么称b是a和c的比例中项. 比例中项在数学、物理和工程学等领域都有着广泛的应用，数形结合是解决数学问题的重要思想方法。我们知道任何实数都可以用数轴上的点来表示，如图，点A、C在数轴上分别表示实数a、c，现尝试用尺规作图的方法，在正半轴上画出点B、使得点B表示的正数，恰好是数a和c的一个比例中项。方法如下：
第1步：作以AC为直径的圆M；
第2步：____的其中一点记为点N；
A.以A为圆心，AM为半径画圆，交圆M
B.以原点0为圆心，OM为半径画圆，交圆M
C.以OM为直径作圆P，交圆M
D.作AM的垂直平分线，交圆M
E.以OC为直径作圆P，再过点A作AC的垂线l交圆P
第3步：以原点O为圆心，ON长为半径画弧交数轴正半轴于点B，则点B即为所求
（1）请选出你认为第2步中正确作法对应的字母：　 　（只填一个选项即可），并说明理由，用尺规按照所选的作法在图中作出点B，要求保留作图痕迹，不需要写出作法。
（2）若BC =a =2，写出此时圆M的直径AC =　 　.
【答案】（1）C或E；
（2）＋1
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）第2步中正确作法对应的字母：C或E，理由如下：
选C：
证明：如图，连接ON、MN、AN、NC，
∵OM是圆P的直径，
∴∠MNO＝90°，
∴∠MNA＋∠ONA＝90°，
∵AC是圆O的直径，
∴∠ANC＝90°，
∴∠NAC＋∠NCA＝90°，
∵MA＝MN，
∴∠NAC＝∠MNA，
∴∠ONA＝∠NCA，
即∠ONA＝∠OCN，
又∵∠NOA＝∠CON，
∴△OAN∽△ONC，
∴，
∴OA OC＝ON2＝OB2，
即ac＝OB2，故点B即为所求；
选E：
证明：如图，连接ON、NC，
∵OC是圆P的直径，
∴∠ONC＝90°，
∵l⊥AC，
∴∠OAN＝90°，
∴∠OAN＝∠ONC，
又∵∠NOA＝∠CON，
∴△OAN∽△ONC，
∴，
∴OA OC＝ON2＝OB2，
即ac＝OB2，故点B即为所求；
故答案为：C或E；
（2）∵BC＝a＝2，
∴OB＝OC BC＝c 2，
∵ac＝OB2，
∴2c＝（c 2）2，
整理得，c2 6c＋4＝0，
解得：c＝3＋或c＝3 （不符合，舍去），
∴OC＝3＋，
∴AC＝OC OA＝3＋ 2＝＋1，
故答案为：＋1．
【分析】（1）根据题干中的定义及作图方法和步骤作出图形即可；
（2）利用比例线段的性质可得2c＝（c 2）2，再求出c的值，再求出OC的长，最后求出AC的长即可.
19．（2025·深圳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点（-1，3），且与一次函数y=×的图象交于点A和点 B（3，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形AMNK的边MN与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C　 　（填坐标），边NK与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线y=x对称；请你帮小聪计算出矩形AMNK的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形EFGH的边EH过点A，边EF与心形图的左边缘相切，边GH与心形图的右边缘相切，边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH的面积为　 　；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小
【答案】（1）解：将点（ 1，3）和B（3，3）代入抛物线y＝ax2＋bx＋6，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝ x2＋2x＋6；
（2）（1，7）；
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）①∵y＝ x2＋2x＋6＝ （x 1）2＋7，
∴顶点C的坐标为（1，7），
∵抛物线y＝ x2＋2x＋6经过点（ 1，3），且与一次函数y＝x的图象交于点A和点B（3，3），
联立，
解得：x＝ 2或x＝3（舍），
∴A（ 2， 2），
分别过点C、D作y轴、x轴的平行线相交于点E，
当x＝1时，y＝x＝1，则E（1，1），
∵C（1，7），
∴CE＝6，
∵点D与点C关于直线y＝x对称，
∴CE＝DE＝6，
∴D（7，1），
∴AK＝9，AM＝9，
∴矩形AMNK的面积＝AM AK＝81，
故答案为：（1，7）；
②如图，作直线y＝ x分别交EF、HG于点M、N，令直线AB与FG的交点为K，则MN⊥AK，
由①可知，A（ 2， 2），
∴OA＝=，
由题意可知，FG⊥AK，则MN∥FG，
∵直线MN的解析式为y＝ x，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋n，
∵边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，即直线FG与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 3x＋n 6＝0，
∴（ 3）2 4（n 6）＝0，
解得：n＝，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋，
联立，
解得：，
∴K（，），
∴OK＝，
∴AK＝OA＋OK＝，
∵EF⊥FG，AK⊥FG，
∴EF∥AK，
∴设直线EF的解析式为y＝x＋m，
∴边EF与心形图的左边缘相切，即直线EF与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 x＋m 6＝0，
∴（ 1）2 4（m 6）＝0，
解得：m＝，
∴直线EF的解析式为y＝x＋，
同理可求OM＝，
∴MN＝，
∴矩形EFGH的面积为AK MN＝×=，
∵＜81，
∴方案二的矩形面积更小，
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①先将抛物线的解析式化为顶点式，再求出点D的坐标，最后利用矩形的面积公式列出算式求解即可；
②先利用函数解析式联立方程组求出AK和MN的长，再利用矩形的面积公式列出算式求出矩形的面积，再比较大小即可.
20．（2025·深圳模拟）如图
（1）【定义】如果平行四边形的一边虫点和对边两端点连线的夹角恰好等于该平行四边形的一个内角，那么这个平行四边形叫做“虫等平行四边形”。边长为2的正方形　 　“中等平行四边形”（选“是”或“不是”）；如图1，在矩形ABCD中、E为边CD中点，∠AEB=∠C=90°，则矩形ABCD是中等平行四边形，若AB=2，则AD=　 　；AB=　 　.
（2）【应用】
①在中等平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=2，求AD的长.
②如图2，若菱形ABCD是中等平行四边形，锐角α是它的一个内角，则cosα= .
（参考公式：，）
【答案】（1）不是；1；1
（2）①当E为CD的中点，∠DAN=45°=∠AEB
∵平行四边形ABCD
∴AB∥CD，∠DAB=∠C=45°，AB=CD=2，AD=BC
∴∠CEB=∠ABE
∴△CEB∽△EBA
∴
∵E是CD的中点
∴CE=DE=1
∴BE2=2，即
过点E作EH⊥BC于点H
∴△EHC为等腰直角三角形，
∴
∴
如图，当E为CD的中点，∠AEB=∠D=180°-∠DAB=135°时
作EH⊥AB于点H，取AB的中点M，连接EM
∴AM=BM=1
∵AB∥CD
∴∠DEA=∠EAB
∴△ADE∽△BEA
∴
同理可得，
∵E为CD的中点
∴AM∥DE，AD=EM
∴∠EMB=∠DAB=45°
设EH=x，则MH=x
∴
解得：或(舍去)
∴
当E为BC中点，∠AED=∠DAB=45°，过点E作EH⊥CD
同理可得，
设HE=x，同理可得
∴
∵DC=AB=2
∴，解得：
∴
当E为BC的中点，∠AED=∠ABC=135°时，过点A作AH⊥CB于点H
同理可得，
设BE=x，则
同理可得，
∴
解得：或(舍去)
∴
综上所述，AD的长为或
②
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图，正方形ABCD
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠D=90°，∠ACB=45°
∵E为AD的中点
∴AE=DE
∴△BAE≌△△CDE
∴BE=CE
∴∠ECB=∠EBC>45°
∴∠BEC<90°
∴边长为2的正方形不是中等平行四边形
∵矩形ABCD中，E为边CD中点
∴AD=BC，∠D=∠C=90°=∠DAB=∠ABC，DE=CE
∴△DAE≌△CBE
∴AE=BE
∵∠AEB=∠C=90°，AB=2
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∴∠DAE=45°=∠CBE
∴AD=DE=1=BC=CE
故答案为：不是；1；1
（2）②过点E作EH⊥CD于点H
∵菱形ABCD，AE=DE，∠BEC=∠D=α
∴设BC=AD=CD=2m，AE=DE=m
同理可得，
∴
设DH=x
∴
解得：
∴
故答案为：
【分析】（1）根据正方形性质可得AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠D=90°，∠ACB=45°，再根据线段中点可得AE=DE，再根据全等三角形判定定理可得△BAE≌△△CDE，根据等边对等角可得∠ECB=∠EBC>45°，则∠BEC<90°，再根据中等平行四边形定义可得边长为2的正方形不是中等平行四边形，根据矩形性质可得AD=BC，∠D=∠C=90°=∠DAB=∠ABC，DE=CE，再根据全等三角形判定定理可得△DAE≌△CBE，则AE=BE，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
（2）①分情况讨论：当E为CD的中点，∠DAN=45°=∠AEB，根据平行四边形性质可得AB∥CD，∠DAB=∠C=45°，AB=CD=2，则AD=BC，再根据等边对等角可得∠CEB=∠ABE，根据相似三角形判定定理可得△CEB∽△EBA，则，再根据线段中点可得
CE=DE=1，则BE2=2，即，过点E作EH⊥BC于点H，根据等腰直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得BH，再根据边之间的关系即可求出答案；当E为CD的中点，∠AEB=∠D=180°-∠DAB=135°时作EH⊥AB于点H，取AB的中点M，连接EM，则AM=BM=1，根据直线平行性质可得∠DEA=∠EAB，再根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△BEA，则，同理可得，根据直线平行判定定理可得AM∥DE，AD=EM，则∠EMB=∠DAB=45°，设EH=x，则MH=x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当E为BC中点，∠AED=∠DAB=45°，过点E作EH⊥CD，同理可得，，设HE=x，同理可得，根据勾股定理可得DE，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；当E为BC的中点，∠AED=∠ABC=135°时，过点A作AH⊥CB于点H，同理可得，设BE=x，则，同理可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；
②过点E作EH⊥CD于点H，根据菱形性质可得AE=DE，∠BEC=∠D=α，设BC=AD=CD=2m，AE=DE=m，同理可得，，则，设DH=x，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据余弦定义即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市深中集团联考2025九年级中考第一次模拟考数学试卷
1．（2025·深圳模拟）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果，下列是与中国航天事业相关的图标、其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·深圳模拟）实数α、b，c在数轴上对应点的位置如下图所示，这三个实数中绝对值最小的是
（　　）
A．a B．b C．c D．无法确定
3．（2025·深圳模拟） 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳模拟） 深度求索（Deep Seek）是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术，挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，Deep Seek 的 H800 芯片在每秒可以处理 3000GB数据的同时，执行 580万亿次浮点运算，数据 580万亿可用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·深圳模拟） 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则. 如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行. 若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·深圳模拟）下列说法正确的是（　　）
A．三角形的高、中线、角平分线都在三角形的内部
B．所有的等边三角形都是全等三角形
C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
7．（2025·深圳模拟）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则×与y的和为（　　）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
8．（2025·深圳模拟）某仓储中心有一个斜坡AB，∠B=18°，B、C在同一水平地面上，其横截面如图，现有一个侧面图为正方形DEFG的正方体货柜，其中DE=1.6米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离BC所在水平面的高度DH的最大值）为6.2米，则BG的长度应不超过（　　）米（参考数据：sin18≈0.31，cos18°≈0.95，tan18≈0.32）
A．13.4 B．15 C．20 D．25
9．（2025·深圳模拟）电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9，4.8，6.2，7.3，8.1，8.4，8.6（亿元），那么这组数据的中位数是　 　亿元.
10．（2025·深圳模拟） 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF//AB交BC于点F.若AB =8，则 EF 的长为　 　.
11．（2025·深圳模拟）如图，将半径为1的圆形纸片，按如下方式折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是　 　.
12．（2025·深圳模拟） 如图，把一块含 角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点 O 重合，点 B 在 x 轴上，点 A 在函数 的图象上. 把三角板绕点 O 逆时针旋转到 的位置，使得点 B' 恰好也在函数 的图象上，此时点 A' 落在函数 的图象上，则 k 的值为　 　.
13．（2025·深圳模拟） 如图，在中，，，点D、E分别在边BC和边AB的延长线上，连接DE，且，，延长ED交AC于点F，如果点F恰好是AC的中点，那么AB=　 　.
14．（2025·深圳模拟）计算：.
15．（2025·深圳模拟）先化简 ，然后从 范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代入求值.
16．（2025·深圳模拟）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A.高锰酸钾制取氧气；B.电解水；C.木炭还原氧化铜；D.一氧化碳还原氧化铜；E、铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权），
请结合统计图，回答下列问题：
（1）a=　 　，E所对应的扇形圆心角是　 　°
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有　 　人最喜欢的实验是“D.一氧化碳还原氧化铜”；
（3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通人澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊.已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率.
17．（2025·深圳模拟）落实《健康中国行动（2019-2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案？
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等.
素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠
问题解决
任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格。
任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少
18．（2025·深圳模拟）如果三个数a、b、c满足，即，那么称b是a和c的比例中项. 比例中项在数学、物理和工程学等领域都有着广泛的应用，数形结合是解决数学问题的重要思想方法。我们知道任何实数都可以用数轴上的点来表示，如图，点A、C在数轴上分别表示实数a、c，现尝试用尺规作图的方法，在正半轴上画出点B、使得点B表示的正数，恰好是数a和c的一个比例中项。方法如下：
第1步：作以AC为直径的圆M；
第2步：____的其中一点记为点N；
A.以A为圆心，AM为半径画圆，交圆M
B.以原点0为圆心，OM为半径画圆，交圆M
C.以OM为直径作圆P，交圆M
D.作AM的垂直平分线，交圆M
E.以OC为直径作圆P，再过点A作AC的垂线l交圆P
第3步：以原点O为圆心，ON长为半径画弧交数轴正半轴于点B，则点B即为所求
（1）请选出你认为第2步中正确作法对应的字母：　 　（只填一个选项即可），并说明理由，用尺规按照所选的作法在图中作出点B，要求保留作图痕迹，不需要写出作法。
（2）若BC =a =2，写出此时圆M的直径AC =　 　.
19．（2025·深圳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点（-1，3），且与一次函数y=×的图象交于点A和点 B（3，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形AMNK的边MN与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C　 　（填坐标），边NK与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线y=x对称；请你帮小聪计算出矩形AMNK的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形EFGH的边EH过点A，边EF与心形图的左边缘相切，边GH与心形图的右边缘相切，边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH的面积为　 　；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小
20．（2025·深圳模拟）如图
（1）【定义】如果平行四边形的一边虫点和对边两端点连线的夹角恰好等于该平行四边形的一个内角，那么这个平行四边形叫做“虫等平行四边形”。边长为2的正方形　 　“中等平行四边形”（选“是”或“不是”）；如图1，在矩形ABCD中、E为边CD中点，∠AEB=∠C=90°，则矩形ABCD是中等平行四边形，若AB=2，则AD=　 　；AB=　 　.
（2）【应用】
①在中等平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=2，求AD的长.
②如图2，若菱形ABCD是中等平行四边形，锐角α是它的一个内角，则cosα= .
（参考公式：，）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 ∵该图是轴对称图形，不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图不是轴对称图形，是中心对称图形，∴B符合题意；
C、∵该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、∵该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：根据数轴可得：∵-4∴3<|c|<4，1<|b|<2，0<|a|<1，
∴|a|<|b|<|c|，
∴绝对值最小的是a，
故答案为：A.
【分析】利用绝对值的性质（离远点越远的数绝对值越大）分析求解即可.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的除法、合并同类项、单项式乘单项式及幂的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：580万亿=580000000000000=5.8×1014，
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵∠NCD＝58°，
∴∠OCB＝58°，
∴∠BCD＝180° ∠NCD ∠OCB＝180° 58° 58°＝64°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＋∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180° 64°＝116°，
∴∠MBA＝＝32°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠BCD＝180° ∠NCD ∠OCB＝180° 58° 58°＝64°，再利用平行线的性质及角的运算求出∠ABC＝180° 64°＝116°，最后求出∠MBA＝＝32°即可.
6．【答案】D
【知识点】轴对称图形；全等三角形的概念；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：A、∵三角形的三条高不一定都在三角形内，∴A错误；
B、∵所有的等边三角形不都是全等三角形，∴B错误．
C、∵等腰三角形是关于底边上的中线呈轴对称的图形，∴C错误；
D、∵如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，∴D正确；
故答案为：D．
【分析】利用三角形高线、中线、角平分线的定义；全等三角形的判定方法；轴对称图形的性质逐项分析判断即可.
7．【答案】A
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：如图：
由图可知：x＋（ 1）＋6＝7＋a＋y＝x＋a＋b＝6＋y＋b，
∴a＝2，b＝3，
如图：
由图可知：x＋7＋c＝ 1＋2＋d＝6＋y＋3＝c＋d＋3＝c＋2＋6，
∴c＝ 2，
∴和为6，
如图：
∴x＋y＝1＋（ 3）＝ 2，
故答案为：A．
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出算式求出x＋y＝1＋（ 3）＝ 2即可.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵正方形DEFG，
∴DG＝DE＝1.6米，∠DGM＝90°，
∴∠DGM＝∠DHB＝90°，
∵∠DMG＝∠BMH，
∴∠GDM＝∠B＝18°，
∴DM＝==≈1.68，MG＝DG tan∠GDM＝tan18°×1.6＝0.32×1.6≈0.51，
∵DH＝6.2米，
∴HM＝DH DM＝6.2 1.68＝4.52（米），
∵sin∠B＝，
∴MB＝＝=≈14.58（米），
∴BG＝MG＋MB＝0.51＋14.58≈15（米）．
故答案为：B．
【分析】先利用解直角三角形的方法求出DM和MG的长，再利用线段的和差求出HM的长，再求出MB的长，最后求出BG的长即可.
9．【答案】7.3
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据排序后，中间一个数据为7.3，
∴中位数为7.3；
故答案为：7.3．
【分析】利用中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）分析求解即可.
10．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，
∵点E为OC的中点，
∴CE＝OC＝AC，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠CAB，∠CFE＝∠CBA，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴EF＝AB＝×8＝2，即EF的长为2．
故答案为：2．
【分析】先证出△CEF∽△CAB，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出EF的长即可.
11．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作OD⊥AB于点D，延长线交⊙O于点E，连接AO，BO，CO，如图所示：
∵弓形AEB折叠后为弓形AOB过圆心，
∴OD＝EO＝OA＝，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
同理∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝120°，
∵OA＝OB＝OC＝1，
∴，
将弓形OmB绕着点O顺时针旋转120°得弓形OA，弓形OmB绕着点O逆时针旋转120°得弓形OC，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOC＝=，
故答案为：．
【分析】作OD⊥AB于点D，延长线交⊙O于点E，连接AO，BO，CO，先求出∠BOC＝120°，∠AOC＝120°，再求出阴影部分的面积＝S扇形AOC，最后利用扇形面积公式列出算式求解即可.
12．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作AC⊥OB于点C，如图所示：
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AC＝OB＝OC＝BC，
设AC＝m，则OC＝m，
∴A（m，m），
∵点A在y＝上，
∴m2＝4，
∴m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴OC＝AC＝2，
∴OA＝=，OB＝2OC＝4，
过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，
∵OA'＝A'B'，∠OA'B'＝90°，
∴∠OA'E＋∠DA'B'＝90°，∠OA'E＋∠A'OE＝90°，
∴∠DA'B'＝∠A'OE，
又∠B'DA'＝∠A'EO＝90°，
∴△B'DA'≌△A'EO（AAS），
∴A'E＝B'D，A'D＝OE，
作B'G⊥x轴于点G，
∵B'点在y＝上，
∴xB'yB'＝4，
设B'（a，b），
∴ab＝4，
∵OB'＝OB＝4，OG2＋B'G2＝OB'2，
∴a2＋b2＝42＝16，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝16＋2×4＝24，（a b）2＝a2＋b2 2ab＝16 2×4＝16 8＝8，
∵a＞0，b＞0，且b＞a，
∴，
解得：，
设A'（p，q），
∴A'E＝q，B'D＝xB' xA'＝
∴①，
∴p＋q＝，
同理可得q p＝②，
由①②得，
∴A'(，)，
∴k＝×=，
故答案为：．
【分析】作AC⊥OB于点C，过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，设B'（a，b），先求出，再设A'（p，q），求出，可得A'(，)，最后求出k＝×=即可.
13．【答案】＋1
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵BC＝6，CD＝4，
∴BD＝BC CD＝6 4＝2，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝180°＋∠ABC＝180° 120°＝60°，
如图，过点D作DM⊥BE于M，
∴∠BMD＝90°，
∴∠BDM＝90° ∠CBE＝30°，
∴BM＝BD＝×2＝1，
∴DM＝==，
∵DE＝3，
∴在Rt△DME中，ME＝==，
∴BE＝BM＋ME＝1＋，
取BC的中点N，连接FN，
∴CN＝BN＝BC＝×6＝3，
∵点F是AC的中点，
∴FN是△ABC的中位线，
∴FN∥AB，FN＝AB，
∴DN＝CD CN＝4 3＝1，
由FN∥AB可知，FN∥BE，
∴△FND∽△EBD，
∴，
∴FN＝EB＝，
∴AB＝2FN＝＋1，
故答案为：＋1．
【分析】过点D作DM⊥BE于M，取BC的中点N，连接FN，先证出FN是△ABC的中位线，再利用中位线的性质可得FN∥AB，FN＝AB，利用线段的和差求出DN的长，再证出△FND∽△EBD，利用相似三角形的性质可得，求出FN的长，最后求出AB＝2FN＝＋1即可.
14．【答案】解：原式=
=
=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用负整数指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和二次根式的性质化简，再计算即可.
15．【答案】解：
=
=
=
=-x2+1，
当x=0时，-x2+1=1.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x=0代入计算即可.
16．【答案】（1）50；72
（2）120
（3）解：列表如下：
A B C D E
A （A，B） （A，C） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） （E，E）
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）＝=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：总人数为60÷30%＝200（人），
∴a＝200 20 60 30 40＝50（人），
∴E所对应的扇形圆心角=×360°＝72°，
故答案为：50；72；
（2）根据题意可得：800×＝120（人），
故答案为：120.
【分析】（1）先利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出a的值并求出E所对的扇形圆心角即可；
（2）先求出“D”的百分比，再乘以800可得答案；
（3）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
17．【答案】解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是（x＋20）元，
根据题意，得，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的根，
故x＋20＝100，
答：每个排球80元，每个足球100元；
任务2：设排球购买m个，则足球购买了（60 m）个，
根据题意，得60 m≥m，
解得：0≤m≤40，
设总费用为w元，根据题意w＝0.75×80×m＋100×0.8（60 m）＝ 20m＋4800，
故y随x的增大而减小，
∴m＝40时，w最小，最小为4000元，
答：方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设排球的单价为x元，则足球的单价是（x＋20）元，根据“ 用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等 ”列出方程，再求解即可；
任务二：设排球购买m个，则足球购买了（60 m）个，根据“ 购买足球的数量不少于排球的数量的”列出不等式60 m≥m，求出m的取值范围，再利用“总费用=单价×数量”列出函数解析式，再求解即可.
18．【答案】（1）C或E；
（2）＋1
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）第2步中正确作法对应的字母：C或E，理由如下：
选C：
证明：如图，连接ON、MN、AN、NC，
∵OM是圆P的直径，
∴∠MNO＝90°，
∴∠MNA＋∠ONA＝90°，
∵AC是圆O的直径，
∴∠ANC＝90°，
∴∠NAC＋∠NCA＝90°，
∵MA＝MN，
∴∠NAC＝∠MNA，
∴∠ONA＝∠NCA，
即∠ONA＝∠OCN，
又∵∠NOA＝∠CON，
∴△OAN∽△ONC，
∴，
∴OA OC＝ON2＝OB2，
即ac＝OB2，故点B即为所求；
选E：
证明：如图，连接ON、NC，
∵OC是圆P的直径，
∴∠ONC＝90°，
∵l⊥AC，
∴∠OAN＝90°，
∴∠OAN＝∠ONC，
又∵∠NOA＝∠CON，
∴△OAN∽△ONC，
∴，
∴OA OC＝ON2＝OB2，
即ac＝OB2，故点B即为所求；
故答案为：C或E；
（2）∵BC＝a＝2，
∴OB＝OC BC＝c 2，
∵ac＝OB2，
∴2c＝（c 2）2，
整理得，c2 6c＋4＝0，
解得：c＝3＋或c＝3 （不符合，舍去），
∴OC＝3＋，
∴AC＝OC OA＝3＋ 2＝＋1，
故答案为：＋1．
【分析】（1）根据题干中的定义及作图方法和步骤作出图形即可；
（2）利用比例线段的性质可得2c＝（c 2）2，再求出c的值，再求出OC的长，最后求出AC的长即可.
19．【答案】（1）解：将点（ 1，3）和B（3，3）代入抛物线y＝ax2＋bx＋6，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝ x2＋2x＋6；
（2）（1，7）；
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）①∵y＝ x2＋2x＋6＝ （x 1）2＋7，
∴顶点C的坐标为（1，7），
∵抛物线y＝ x2＋2x＋6经过点（ 1，3），且与一次函数y＝x的图象交于点A和点B（3，3），
联立，
解得：x＝ 2或x＝3（舍），
∴A（ 2， 2），
分别过点C、D作y轴、x轴的平行线相交于点E，
当x＝1时，y＝x＝1，则E（1，1），
∵C（1，7），
∴CE＝6，
∵点D与点C关于直线y＝x对称，
∴CE＝DE＝6，
∴D（7，1），
∴AK＝9，AM＝9，
∴矩形AMNK的面积＝AM AK＝81，
故答案为：（1，7）；
②如图，作直线y＝ x分别交EF、HG于点M、N，令直线AB与FG的交点为K，则MN⊥AK，
由①可知，A（ 2， 2），
∴OA＝=，
由题意可知，FG⊥AK，则MN∥FG，
∵直线MN的解析式为y＝ x，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋n，
∵边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，即直线FG与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 3x＋n 6＝0，
∴（ 3）2 4（n 6）＝0，
解得：n＝，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋，
联立，
解得：，
∴K（，），
∴OK＝，
∴AK＝OA＋OK＝，
∵EF⊥FG，AK⊥FG，
∴EF∥AK，
∴设直线EF的解析式为y＝x＋m，
∴边EF与心形图的左边缘相切，即直线EF与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 x＋m 6＝0，
∴（ 1）2 4（m 6）＝0，
解得：m＝，
∴直线EF的解析式为y＝x＋，
同理可求OM＝，
∴MN＝，
∴矩形EFGH的面积为AK MN＝×=，
∵＜81，
∴方案二的矩形面积更小，
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①先将抛物线的解析式化为顶点式，再求出点D的坐标，最后利用矩形的面积公式列出算式求解即可；
②先利用函数解析式联立方程组求出AK和MN的长，再利用矩形的面积公式列出算式求出矩形的面积，再比较大小即可.
20．【答案】（1）不是；1；1
（2）①当E为CD的中点，∠DAN=45°=∠AEB
∵平行四边形ABCD
∴AB∥CD，∠DAB=∠C=45°，AB=CD=2，AD=BC
∴∠CEB=∠ABE
∴△CEB∽△EBA
∴
∵E是CD的中点
∴CE=DE=1
∴BE2=2，即
过点E作EH⊥BC于点H
∴△EHC为等腰直角三角形，
∴
∴
如图，当E为CD的中点，∠AEB=∠D=180°-∠DAB=135°时
作EH⊥AB于点H，取AB的中点M，连接EM
∴AM=BM=1
∵AB∥CD
∴∠DEA=∠EAB
∴△ADE∽△BEA
∴
同理可得，
∵E为CD的中点
∴AM∥DE，AD=EM
∴∠EMB=∠DAB=45°
设EH=x，则MH=x
∴
解得：或(舍去)
∴
当E为BC中点，∠AED=∠DAB=45°，过点E作EH⊥CD
同理可得，
设HE=x，同理可得
∴
∵DC=AB=2
∴，解得：
∴
当E为BC的中点，∠AED=∠ABC=135°时，过点A作AH⊥CB于点H
同理可得，
设BE=x，则
同理可得，
∴
解得：或(舍去)
∴
综上所述，AD的长为或
②
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图，正方形ABCD
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠D=90°，∠ACB=45°
∵E为AD的中点
∴AE=DE
∴△BAE≌△△CDE
∴BE=CE
∴∠ECB=∠EBC>45°
∴∠BEC<90°
∴边长为2的正方形不是中等平行四边形
∵矩形ABCD中，E为边CD中点
∴AD=BC，∠D=∠C=90°=∠DAB=∠ABC，DE=CE
∴△DAE≌△CBE
∴AE=BE
∵∠AEB=∠C=90°，AB=2
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∴∠DAE=45°=∠CBE
∴AD=DE=1=BC=CE
故答案为：不是；1；1
（2）②过点E作EH⊥CD于点H
∵菱形ABCD，AE=DE，∠BEC=∠D=α
∴设BC=AD=CD=2m，AE=DE=m
同理可得，
∴
设DH=x
∴
解得：
∴
故答案为：
【分析】（1）根据正方形性质可得AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠D=90°，∠ACB=45°，再根据线段中点可得AE=DE，再根据全等三角形判定定理可得△BAE≌△△CDE，根据等边对等角可得∠ECB=∠EBC>45°，则∠BEC<90°，再根据中等平行四边形定义可得边长为2的正方形不是中等平行四边形，根据矩形性质可得AD=BC，∠D=∠C=90°=∠DAB=∠ABC，DE=CE，再根据全等三角形判定定理可得△DAE≌△CBE，则AE=BE，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
（2）①分情况讨论：当E为CD的中点，∠DAN=45°=∠AEB，根据平行四边形性质可得AB∥CD，∠DAB=∠C=45°，AB=CD=2，则AD=BC，再根据等边对等角可得∠CEB=∠ABE，根据相似三角形判定定理可得△CEB∽△EBA，则，再根据线段中点可得
CE=DE=1，则BE2=2，即，过点E作EH⊥BC于点H，根据等腰直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得BH，再根据边之间的关系即可求出答案；当E为CD的中点，∠AEB=∠D=180°-∠DAB=135°时作EH⊥AB于点H，取AB的中点M，连接EM，则AM=BM=1，根据直线平行性质可得∠DEA=∠EAB，再根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△BEA，则，同理可得，根据直线平行判定定理可得AM∥DE，AD=EM，则∠EMB=∠DAB=45°，设EH=x，则MH=x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当E为BC中点，∠AED=∠DAB=45°，过点E作EH⊥CD，同理可得，，设HE=x，同理可得，根据勾股定理可得DE，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；当E为BC的中点，∠AED=∠ABC=135°时，过点A作AH⊥CB于点H，同理可得，设BE=x，则，同理可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；
②过点E作EH⊥CD于点H，根据菱形性质可得AE=DE，∠BEC=∠D=α，设BC=AD=CD=2m，AE=DE=m，同理可得，，则，设DH=x，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据余弦定义即可求出答案.
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