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解决问题专项04-公因数与公倍数的实际应用-人教版五年级数学下册期末考试专项能力拔高训练
一、解答题
1．一张长方形纸长45厘米，宽30厘米，要裁成大小一样且面积尽可能大的小正方形，裁完后纸没有剩余，可如何裁？裁成了多少张？
2．现在语文书42本，数学书126本，外语书98本，平均分成若干堆，每堆中三种课本的数量分别相等。最多可以分成几堆？
3．在长50米、宽35米的长方形操场四周插上彩旗，要求每两面彩旗之间的距离相等，而且在长方形的四个角上都要各有一面彩旗。那么每两面彩旗之间的距离最大可以是多少米？
4．工人加工三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的个数都相等。已知他们第一批共加工2100个，其中王师傅比其他工人多加工7个，第二批加工1800个，其中王师傅比每个工人多加工6个；第三批加工1600个，其中王师傅比每个工人多加工13个。这批工人最多有多少个？
5．园林工人要加工一种盆景，第一批加工303盆，第二批加工179盆，第三批加工535盆。各批都平均分给工人加工，分别剩余3盆、4盆和10盆。一共有多少工人参加加工？
6．一条公路由王村经张镇到李庄，已知王村和张镇相距1200米，张镇和李庄相距4320米，现在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间的距离相等，并且在王村和张镇的中点、张镇和李庄的中点都要栽上树。那么相邻两树之间的距离最多是多少米？
7．五（1）班有35人，五（2）班有42人。如果把两个班的学生都平均分成若干学习小组，且每个小组的人数相等，每组最多有多少人？这时各班分别有多少个学习小组？
8．五年级（1）、（2）班要完成大扫除任务。五（1）班来了54人，五（2）班来了45人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？
9．母亲节到了，花店里购进了80枝康乃馨和50枝百合。
（1）百合的枝数是康乃馨的几分之几？
（2）如果把这些花扎成花束，要使每个花束里的康乃馨和百合的枝数分别相等，最多可以扎多少束？每束里有多少枝花？
10．在期末表彰会上，老师把38本笔记本和49支圆珠笔平均发给获奖的同学，结果笔记本剩2本，圆珠笔剩1支，获奖的同学最多有几人，每人可分到几本笔记本和几支圆珠笔？
11．有两根长短不同的木棒。要把它们分成同样长的小木棒，不能有剩余。每根小木棒最长是多少厘米？两根木棒分别可以分成多少段？
12．五年级男女学生分别站成若干排，已知男生48人，女生36人，要使每排的人数相等，每排队伍最多可站多少人？这时男女生一共有几排？
13．李老师家的电话号码是一个八位数，从高位到低位依次是：①最小的合数；②既不是质数也不是合数；③最小的质数；④既是偶数又是质数；⑤只有3个因数的奇数；⑥既是5的因数又是5的倍数；⑦6和9的最大公因数；⑧最小的自然数。
14．厦门市某购物中心要将一批垃圾桶（不到100个）平均分配到各个垃圾投放点，每个垃圾投放点放2个或3个或5个垃圾桶，都能正好分完。这批垃圾桶最多有多少个？
15．为响应国家“体重管理年”的号召，小胖一家坚持进行体育锻炼。爸爸绕湖走一圈要用12分钟，爷爷绕湖走一圈要用24分钟，小胖绕湖走一圈要用18分钟。如果三人同时从同一起点沿同一方向出发，至少多少分钟后小胖和爷爷在起点处再次相遇？此时爸爸走了几圈？
16．五（2）班的学生人数在40－50人之间，王老师在进行合作共同体分组时，6人一组，或者8人一组，都能正好分完，没有剩余。五（2）班有学生多少人？
17．为了打造书香校园，涵养师生文化自信。幸福小学在图书角新设计一个四层书架，方便学生随时阅读。根据下面对话，请你算一算这个书架最多可放多少本图书？
18．五年级部分学生参加植树活动，如果分成3人一组，5人一组，6人一组都少一人，五年级最少有多少人参加了植树活动？
19．一座喷泉由内外两层构成。外层每10分钟喷水一次，内层每8分钟喷水一次。12：00同时喷过一次水后下次同时喷水是几时几分？从12：00到16：00同时喷水一共有几次？
20．某个宴会上准备了X、Y、Z三种点心，经统计，客人们一共吃掉了39份点心，平均每2人吃掉了一份X点心，每3人吃掉了1份Y点心，每4人吃掉了1份Z点心。宴会上有多少名客人？
21．五年级（1）班有40多名同学。如果把他们4人分成一个小组，正好分完；如果把他们6个人分成一个小组，也正好分完。五年级（1）班有多少人？
22．园林师傅用一些漂亮的绣球花来美化环境，可以12盆摆一行，也可以18盆摆一行，都能正好摆完。已知这些绣球花的总盆数在60～80盆之间，这些绣球花共有多少盆？
23．佩带香囊是端午习俗之一。端午节李奶奶和王奶奶在一起手工缝制香囊。如果李奶奶每10分钟缝制一个香囊，王奶奶每8分钟缝制一个香囊，上午8：00她们同时开始缝制第一个香囊，那么下次同时开始缝制一个香囊的时间是几时几分？截止当天上午10：00，她们一共缝制多少个香囊？
24．端午节是我国的传统节日，有吃粽子、赛龙舟、佩香囊、插艾草等习俗，人们在享受这些习俗活动的同时，还利用假期增长知识，扩展视野。端午节前夕，张敏奶奶包了120多个粽子，每5个装一袋，或者每8个装一袋，都还剩下4个。请算一算张敏奶奶一共包了多少个粽子？
25．赛龙舟是端午节最重要的节日民俗活动之一，在中国南方地区普遍存在，在北方靠近河湖的城市也有赛龙舟的习俗，而大部分是划旱龙舟舞龙船的形式。
（1）每条龙舟上面需要有舵手、锣手、鼓手各1名，其余的是划手。划手两两并排而坐（若干名）。那么每条龙舟上面的总人数是奇数还是偶数？为什么？
（2）为了迎接端午节当天的龙舟比赛，甲、乙两村龙舟队从6月6日开始第一次训练，甲村龙舟队每3天训练一次，乙村龙舟队每2天训练一次，从第一次训练碰面算起，端午节（6月25日）之前，甲乙两村的龙舟队一共碰面训练几次？
参考答案
1．15厘米；6张
【分析】由题意可知，可用短除法求45和30的最大公因数，可得裁成的小正方形的边长，再分别用除法计算长和宽分别可裁几个小正方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。
【详解】
45和30的最大公因数是：3×5＝15
45÷15＝3（块）
30÷15＝2（块）
3×2＝6（张）
答：可以裁成边长为15厘米的小正方形，裁成了6张。
2．14堆
【分析】对于语文书有：每堆本数×堆数＝42本，即堆数是42的因数，同样的道理，堆数也是126和98的因数，即是这三者的公因数，又要求最多可以分成几堆，即找这三个数的最大公因数即可。
【详解】42＝2×3×7
126＝2×3×3×7
98＝2×7×7
所以42，126和98的最大公因数是：2×7＝14
即最多可以分成14堆。
答：最多可以分成14堆。
3．5米
【分析】在长方形操场长的方向上，相邻两面彩旗之间的距离×段数＝50米，即间距是50的因数，同样的道理，间距也是35的因数，因此间距是50和35的公因数，又题目要求间距要最大，即找最大公因数即可。
【详解】50＝2×5×5
35＝5×7
所以50和35的最大公因数是5
即每两面彩旗之间的距离最大可以是5米。
答：每两面彩旗之间的距离最大可以是5米。
4．23人
【分析】第一批共2100个，王师傅比其他工人多加工7个，扣除这7个，则王师傅和其他工人加工的个数相同，即每人加工的个数×人数＝2100－7＝2093，即总人数是2093的因数，同样的道理，根据第二批和第三批，分别可知，总人数是1794和1587的因数，也就是这三个数的公因数，现要求人数最多，即找最大公因数，即可得出答案。
【详解】2100－7＝2093
1800－6＝1794
1600－13＝1587
2093＝7×13×23
1794＝2×3×13×23
1587＝3×23×23
所以2093，1794，1587的最大公因数是23
因此总人数为23个。
答：这批工人最多有23个。
5．25个
【分析】根据分别剩余3盆、4盆和10盆，那么分别扣除相应多余的盆数后，三批都能刚好分下去，即人数是300，175和525的公因数，转化为求300、175、525的公因数，再结合实际即可得出结论。
【详解】303－3＝300（盆）
179－4＝175（盆）
535－10＝525（盆）
300＝2×2×3×5×5
175＝5×5×7
525＝3×5×5×7
所以300，175和525三个数的公因数有1，5和25
又因为当人数为1时，明显不会有剩余，不满足；
当人数为5时，第三批剩余10盆，大于5，即余数比除数大，不满足；
当人数为25时，符合条件。
答：一共有25个工人参加加工。
6．120米
【分析】因为相邻两棵树之间的距离相等，并且在王村和张镇的中点、张镇和李庄的中点都要栽上树，所以相邻两树之间的距离能够整除王村和张镇以及张镇和李庄的一半距离，找出最大公因数即可。
【详解】1200÷2＝600（米）
4320÷2＝2160（米）
600＝2×2×2×3×5×5
2160＝2×2×2×2×3×3×3×5
所以600和2160的最大公因数是：2×2×2×3×5＝120
即相邻两棵树之间的距离最多是120米。
答：相邻两棵树之间的距离最多是120米。
7．7人；（1）班5个；（2）班6个
【分析】求出两个班人数的最大公因数，就是每组最多人数；分别用班级人数÷每组人数，即可求出各班组数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。
【详解】35＝5×7
42＝2×3×7
35和42的最大公因数是7。
35÷7＝5（个）
42÷7＝6（个）
答：每组最多有7人，这时五（1）班有5个和五（2）班有6个学习小组。
8．9人
【分析】要使两个班每个小组的人数相同，每个小组的人数是两个班总人数的公因数，求出两个班总人数的最大公因数，是每组最多人数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。
【详解】54＝2×3×3×3
45＝3×3×5
3×3＝9（人）
答：每组最多有9人。
9．（1）
（2）10束；13枝
【分析】（1）根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算即可。
（2）根据题意，找出80和50的最大公因数，即最多的花束数量。用分解质因数的方法求出80和50全部共有的质因数，全部共有的质因数相乘的积就是80和50的最大公因数；分别用80和50除以花束数量即可求出康乃馨和枝百合在每束花中的数量，相加即可。
【详解】（1）50÷80＝
答：百合的枝数是康乃馨的。
（2）80＝2×2×2×2×5
50＝2×5×5
80和50的最大公因数：2×5＝10
最多可以扎10束。
80÷10＋50÷10
＝8＋5
＝13（枝）
答：最多可以扎10束，每束里有13枝花。
10．12人；3本；4支
【分析】求出分出去的笔记本和圆珠笔数量的最大公因数，就是最多获奖的同学数量，再用分出去的数量除以同学数就是每人分到的数量。
【详解】38－2＝36（本）
49－1＝48（支）
36＝2×2×3×3，48＝2×2×2×2×3
2×2×3＝12
36和48的最大公因数是12，也就是获奖的同学最多有12人。
答：获奖的同学最多有12人。
36÷12＝3（本）
48÷12＝4（支）
答：每人可分到3本笔记本和4支圆珠笔？
11．12厘米；60cm的小棒可以分成5段，48cm的小棒可以分成4段。
【分析】根据题意，要把它们分成同样长的小木棒，不能有剩余且每根小木棒要最长，就是求出60与48的最大公因数，即是每小段的最长，列式解答即可得到答案。求两根木棒分别可以分多少段，即分别用总长除以最大公因数即可。
【详解】第一根：60＝2×2×3×5
第二根：48＝2×2×2×2×3
因此60和48的最大公因数是2×2×3＝12。
第一根：60÷12＝5（段）
第二根：48÷12＝4（段）
答：每根小木棒最长是12厘米，60cm的小棒可以分成5段，48cm的小棒可以分成4段。
12．12人；7排
【分析】要使每排的人数相等，说明每排队伍的人数是48和36的公因数，求每排队伍最多可站多少人，则是求48和36的最大公因数，再用48除以最大公因数的商加上36除以最大公因数的商，即可求出男女生一共有几排，列式解答即可得到答案。
【详解】48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
48和36的最大公因数是：2×2×3＝12。
即每排队伍最多可站12人。
（48÷12）＋（36÷12）
＝4＋3
＝7（排）
答：每排队伍最多可站12人，这时男女生一共有7排。
【点睛】此题的解题关键是运用求两个数的最大公因数的方法解决实际的问题。
13．41229530
【分析】因数只有1和本身的数是质数，除了1和本身还有别的因数的数是合数。2的倍数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。一个数的最大因数是本身，最小倍数也是本身。最小的合数是4；1既不是质数也不是合数；最小的质数是2；2既是偶数又是质数；只有3个因数的奇数，并且是一位数的是9；5既是5的因数，又是5的倍数；6和9的最大公因数是3；最小的自然数是0。据此解题。
【详解】答：李老师家的电话号码是41229530。
【点睛】本题考查了质数与合数、奇数与偶数、因数和倍数、最大公因数以及自然数，掌握各个概念是解题的关键。
14．90个
【分析】由“每个垃圾投放点放2个或3个或5个垃圾桶，都能正好分完”可知，这批垃圾桶的数量是2、3、5的公倍数，这个公倍数接近100且小于100，所以可先找2、3、5的最小公倍数，再找出这个公倍数的倍数中接近100且小于100的数即可得解。
【详解】2、3、5的最小公倍数是：
30的倍数有：30、60、90、120……
90接近100且小于100
答：这批垃圾桶最多有90个。
15．72分钟；6圈
【分析】当两人在起点再次相遇时，所用时间一定是他们各自走一圈所用时间的公倍数，要求至少多少分钟后再次相遇，就是求他们走一圈所用时间的最小公倍数；已知爸爸绕湖走一圈要用12分钟，用24和18的最小公倍数除以12就是此时爸爸走的圈数。
【详解】24＝2×2×2×3
18＝2×3×3
所以24和18的最小公倍数是72。
72÷12＝6（圈）
答：至少72分钟后小胖和爷爷在起点处再次相遇，此时爸爸走了6圈。
16．48人
【分析】根据题意，五（2）班学生无论分成6人一组还是8人一组，都正好分完，那么全班人数一定是6和8的公倍数，先求出6和8的最小公倍数，然后再找出其中40到50之间的公倍数即可解答。
【详解】
2×3×4＝24
6和8的最小公倍数是24。
24×2＝48（人）
答：五（2）班有学生48人。
17．192本
【分析】先求出6和8的最小公倍数，再找出不超过50的最大公倍数，即每层书架最多能放的图书本数，然后用每层书架最多能放的图书本数乘4，就能计算出四层书架最多可以放图书的数量。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。
24×2＝48、24×3＝72、24×4＝96……
48不超过50，所以每层最多放48本。
48×4＝192（本）
答：这个书架最多可放192本图书。
18．29人
【分析】分成3人一组，5人一组，6人一组都少一人，说明总人数至少比3、5、6的最小公倍数少1，因为6是3的倍数，因此求出5和6的最小公倍数，减去1即可。两数互质，最小公倍数是两数的积。
【详解】5×6-1
＝30-1
＝29（人）
答：五年级最少有29人参加了植树活动。
19．12时40分；7次
【分析】分析题意，可先求出10和8的最小公倍数，所得最小公倍数即为下次同时喷水需要经过的时间； 然后用现在的时间加上需要经过的时间即可解答第一问；求从12：00到16：00同时喷水一共有几次，即求16－12＝4（小时）里有几个10和8的最小公倍数，然后加上12：00同时喷过的一次即可解答。
【详解】10＝2×5
8＝2×2×2
所以10和8的最小公倍数是2×2×2×5＝40
12时＋40分＝12时40分
16时－12时＝4时
4时＝240分
240÷40＝6（次）
6＋1＝7（次）
答：12：00同时喷过一次水后下次同时喷水是12时40分，从12：00到16：00同时喷水一共有7次。
20．36名
【分析】根据题意可知，宴会上的客人人数是2，3，4的公倍数，根据求最小公倍数的方法，先求出2，3，4的最小公倍数；2，3，4的最小公倍数是12；假设宴会上有12名客人，将其分别除以2，3，4，所得的商相加，即可求出此时假设客人需要点心的份数；再用实际客人吃到点心的份数÷此时假设客人需要点心的份数，求出实际客人吃到点心的份数是此时假设客人需要点心的份数的几倍，再乘12，即可求出宴会上的客人数量。
【详解】2，3，4的最小公倍数是12。
12÷2＋12÷3＋12÷4
＝6＋4＋3
＝10＋3
＝13（份）
39÷13＝3
12×3＝36（名）
答：宴会上有36名客人。
【点睛】解答本题的关键是假设2，3，4的最小公倍数是这些客人的人数，求出需要点心的份数，再求出实际吃点心的份数是假设客人吃点心的份数的几倍，进而解答。
21．48人
【分析】4人分成一个小组，正好分完；6个人分成一个小组，也正好分完，说明总人数是4和6的公倍数，先求出4和6的最小公倍数，用最小公倍数分别乘2、3、4……找到40至50之间的公倍数即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
【详解】4＝2×2
6＝2×3
2×2×3＝12（人）
12×2＝24（人）
12×3＝36（人）
12×4＝48（人）
40＜48＜50
答：五年级（1）班有48人。
22．72盆
【分析】12盆摆一行，18盆摆一行，都能正好摆完，说明总盆数是12和18的公倍数，求出12和18的最小公倍数，再用最小公倍数分别乘2、3……，找到60～80之间的公倍数即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
【详解】12＝2×2×3
18＝2×3×3
12和18的最小公倍数是：2×2×3×3＝36
36×2＝72（盆）
60＜72＜80
答：这些绣球花共有72盆。
23．8：40；27个
【分析】先求出李奶奶和王奶奶在同一时间都恰好将她手中香囊缝制完成需要多长时间，即求10和8的最小公倍数；根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，即可求出下次同时开始缝制一个香囊的时间；求出上午8：00到上午10：00经过的时间，再用经过的时间分别求出李奶奶缝制一个香囊需要的时间，王奶奶缝制一个香囊需要的时间，再把它们相加，即可解答。
【详解】10＝2×5
8＝2×2×2
10和8的最小公倍数是：2×5×2×2＝40
8：00＋40分钟＝8：40
截止上午10：00她们缝制所用时间为2小时。
2小时＝120分钟
120÷10＝12（个）
120÷8＝15（个）
12＋15＝27（个）
答：下次同时开始缝制一个香囊的时间是8：40，她们一共缝制27个香囊。
24．124个
【分析】由题意可知，每5个装一袋，则粽子个数是5的倍数，同理也是8的倍数，即粽子个数可看作是5和8的公倍数；又因为装完都还剩下4个，粽子的个数应是5和8的公倍数，再加上4个，先求出5和8的最小公倍数，再结合题意奶奶包了120多个粽子，因为40的3倍是120，接近粽子个数，进而求得粽子的数量。
【详解】5和8是互质数，最小公倍数是它们的乘积。
5×8＝40
40×3＋4
＝120＋4
＝124（个）
答：张敏奶奶一共包了124个粽子。
25．（1）奇数；理由见详解
（2）4次
【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。
（2）根据题意，甲村龙舟队每3天训练一次，乙村龙舟队每2天训练一次，则两队碰面训练至少相隔的天数是3和2的最小公倍数；求出最小公倍数，进而求出6月25日之前一共碰面训练的次数。
【详解】（1）答：总人数是奇数。理由是：舵手、锣手、鼓手各1名，共3名，3是奇数；划手两两并排而坐，则划手人数一定是偶数；根据奇数＋偶数＝奇数，可得出总人数是奇数。
（2）3和2的最小公倍数是：3×2＝6
即每6天甲乙两村的龙舟队碰面一次。
第一次碰面：6月6日
第二次碰面：6月6日＋6天＝6月12日
第三次碰面：6月12日＋6天＝6月18日
第四次碰面：6月18日＋6天＝6月24日
答：端午节（6月25日）之前，甲乙两村的龙舟队一共碰面训练4次。
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