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解决问题专项03-因数与倍数的实际应用-人教版五年级数学下册期末考试专项能力拔高训练
一、解答题
1．面包店制作了85个面包，有如图四种包装（每个圆处放一个面包），选哪种包装盒正好可以装完？为什么？（只选一种）
2．一个长方形的面积是36平方厘米，它的长和宽都是整厘米数（长＞宽），这样的长方形有多少个？请列式计算说明。
3．小刚在饮料店买了一些纯牛奶和可乐付了100元，售货员阿姨找回了18元。售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？
4．明明在分糖果时遇到这样的问题：
明明想：我至少放回几颗糖果，就能使每个小朋友分到的糖果的数量是整数？请结合文字或算式等方式进行说明。
5．有4张数字卡片7、0、3、1，按要求完成下面各题。
（1）如果把这四张卡片上的数字按从大到小的顺序排列下去，7、3、1、0、7、3、1、0…那么第100个数是奇数还是偶数？
（2）用这四张数字卡片可以组成多少个不同的四位数？把这些数相加，所得的和是偶数还是奇数？
6．一个圆圈上有几十个孔（如图），小明像玩跳棋那样，从出发沿逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回a孔；先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到b孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到b孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回a孔。这个圆圈上共有多少个孔？
7．手提纸袋做好了，小欣到文具店买了一些文具盒和一些圆珠笔，请你根据奇数和偶数的知识判断售货员找回的钱对不对。
8．小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？
9．妈妈在花店买了一些洋牡丹和郁金香，店员说妈妈应付48元。按照下面的价格计算，店员说得对吗？请说明理由。
10．2024年7月30日，我国选手王楚钦和孙颖莎一路“过关斩将”获得中国奥运会乒乓球混双首金。实验小学六（1）班热爱兵乓球的学生们在家观看了比赛，观看比赛的人数是8的倍数，且在60~70人之间。六（1）班观看比赛的学生有多少人？
11．喜羊羊的QQ号码从左到右依次是：①6的最大因数；②最小的合数；③既不是质数，也不是合数，也不是0；④最小奇数的3倍；⑤最小的自然数；⑥既是质数，又是偶数；⑦5的最小倍数；⑧10以内最大的质数；⑨最大的一位数。喜羊羊的QQ号码是多少呢？
12．为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域指定了一些长方形场地作为专用停车点。某个专用停车点的长和宽的数值正好都是质数，并且周长是36米，这个专用停车点的面积最大是多少平方米？
13．甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：每人从下面3张卡片中任选2张，如果积是2的倍数，甲获胜；如果积是3的倍数，乙获胜；如果积既是2的倍数又是3的倍数就重来。你认为这个游戏公平吗？为什么？
14．一个四位数，其千位上的数字是最小的质数，百位上的数字是最小的自然数，十位上的数字既不是质数，也不是合数，个位上的数字是最小的合数，这个数是多少？
15．端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。
（1）一共有几种放法？
（2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？
16．水墨画近处写实，远处抽象，是中国绘画的代表。张爷爷在长方形纸上绘制了一幅水墨画，长和宽均为质数，并且周长是36分米。这幅水墨画的长和宽分别可能是多少分米？面积最大是多少平方分米？
17．爷爷用56米长的栅栏在空地上圈出一块长方形土地，用来种植蔬菜，已知长方形土地的长和宽都是质数，这块长方形土地面积最大是多少平方米？
18．周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。
19．妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？
20．4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？
21．育才小学五年级（1）班有36名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人和36人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解决）
22．李叔叔买了5个长征四号丙运载火箭模型，付给营业员500元，营业员找给他47元。营业员找得对吗？为什么？（每个长征四号丙运载火箭模型的价钱是整数）
23．小明家的门锁是个密码锁，已知这个密码锁的密码是一个6位数，第一位上的数是最小的质数；第二位上的数是最小合数的2倍；第三位上的数是3的倍数，且是最大的一位数；第四位上的数既是5的倍数又是5的因数；第五位上的数的所有因数是1，7；第六位上的数是第一位上数的3倍。这个密码锁的密码是多少？请写出你的理由。
24．某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表：
人数 50人以内 51~99人 100人及以上
票价 30元/人 28元/人 25元/人
（例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。）
导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？
25．中秋节是我国重要的传统节日之一，又因月圆象征着团圆，被称为团圆节。中秋节有祭月、赏月、吃月饼、玩花灯、赏桂花、饮桂花酒等民俗，经久不息。
（1）中秋节到了，淘气一家要回家和奶奶一起过节，他们去超市买些月饼带回家。如图有两款月饼，这两款月饼哪个更划算？
（2）中秋之夜，淘气一家围坐在一起吃团圆饭。饭后奶奶拿出洗好的水果，淘气无论3个3个地数，还是5个5个的数，都多1个，奶奶洗的水果的个数在20～40之间。奶奶可能洗了多少个？
参考答案
1．第4种，原因见详解
【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答。
【详解】85÷2＝42（盒）……1（个），2不是85的因数，所以不能选择第一种。
85÷3＝28（盒）……1（个），3不是85的因数，所以不能选择第二种。
85÷4＝21（盒）……1（个），4不是85的因数，所以不能选择第三种。
85÷5＝17（盒），5是85的因数，所以能选择第四种。
选第4种包装正好可以装完，因为5是85的因数。
答：选第4种包装正好可以装完，因为5是85的因数。
2．4个
【分析】因为长方形的面积＝长×宽，即长×宽＝36，又因为长和宽都是整厘米数，且长＞宽，找出36的因数，即两个数乘积是36的数，即可解答。
【详解】36＝36×1＝18×2＝12×3＝9×4＝6×6
长＞宽，所以长方形的长和宽分别是：
长方形的长是36厘米，宽是1厘米；
长方形的长是18厘米，宽是2厘米；
长方形的长是12厘米，宽是3厘米；
长方形的长是9厘米，宽是4厘米。
一共有4个长方形。
答：这样的长方形有4个。
3．不对；理由见详解
【分析】个位上的数字是0或5的数是5的倍数，个位上的数字是0的数是10的倍数，单价×数量＝总价，付的钱数－找回的钱数＝总钱数，根据纯牛奶和可乐的单价可知，总钱数一定是5的倍数，据此分析。
【详解】100－18＝82（元）
答：售货员阿姨找回的钱不对，因为总钱数不是5的倍数。
4．2颗；说明见详解
【分析】根据题意，共有88颗糖果，明明留下10颗，把剩下的78颗平均分给5个小朋友；根据5的倍数特征：个位上是0或5的数；可知78不是5的倍数，那么每个小朋友分到的糖果数量就不是整数；
先找出大于78的5的最小倍数，再用这个数减去78，即是明明至少要放回糖果的颗数，这样就能使每个小朋友分到的糖果的数量是整数。
【详解】88－10＝78（颗）
大于78的5的最小倍数是80；
80－78＝2（颗）
答：明明至少放回2颗糖果，就能使每个小朋友分到的糖果的数量是整数。
5．（1）偶数；
（2）18；偶数
【分析】（1）分析题目，7、3、1、0这4个数为一组，据此用100除以4所得的余数是几，则第100个数就是这组数中的第几个，如果刚好整除，则第100个数就等于这组数中的最后一个数，据此确定第100个数是几；奇数：能被2整除的数，偶数：不能被2整除的数，据此判断奇偶性即可；
（2）分析题目，组成的四位数，千位上有7，3，1共3种选择，百位有除了千位数字之外的3种选择，十位有2种选择，个位只有一种选择，据此用3×3×2×1即可求出一共可以组成多少个不同的四位数；再根据偶数的特征可知：组成的四位数中只有个位是0的数是偶数，据此确定偶数的个数，进而确定奇数的个数，再根据奇数个奇数之和是奇数，偶数个奇数之和是偶数确定奇偶性，最后根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数确定这些数的和的奇偶性即可。
【详解】（1）100÷4＝25（组），第100个数是0，0是偶数。
答：第100个数是偶数。
（2）3×3×2×1＝18（个）
这18个数中偶数是：7310，7130，3710，3170，1370，1730，一共有6个偶数，则奇数有18－6＝12（个）；
12个奇数之和是偶数，6个偶数之和也是偶数，因为偶数＋偶数＝偶数，所以这些数的和还是偶数。
答：用这四张数字卡片可以组成18个不同的四位数，把这些数相加，所得的和是偶数。
6．91个
【分析】每隔2孔跳一步，连起点一共要跳过3个孔，结果只能跳到b孔，即孔数是3的倍数多1；每隔4孔跳一步，连起点一共要跳过5个孔，结果只能跳到b孔，即孔数是5的倍数多1；每隔6孔跳一步能跳到原位，孔数是7的倍数，3与5是互质数，所以圆圈上的孔数是15的倍数加上1，且小于100，即16、31、46、61、76、91，其中91符合条件。
如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数，这个15的倍数加上1就等于孔数，而且能被7整除，因为15被7除余1，所以15×6被7除余6，15的6倍加1正好被7整除，而15的其他（小于7的）倍数加1都不能被7整除，因此，圆圈上总孔数是91孔。
【详解】2＋1＝3，4＋1＝5，3×5＝15
15×6＋1
＝90＋1
＝91（个）
答：这个圆圈上共有91个孔。
7．不对
【分析】根据奇数和偶数的运算性质来判断。偶数乘整数结果是偶数，偶数加偶数结果是偶数，偶数减偶数结果是偶数。我们先分析购买物品花费的钱数的奇偶性，再看应找回钱数的奇偶性。
【详解】买文具盒和圆珠笔的钱数是2的倍数，是偶数，付的300元也是偶数，偶数减偶数的差是偶数，而3是奇数，所以找回的钱不对。
8．3个月
【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可得文具盒的钱数。再用24除以8即可得解。
【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8
48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48
48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48
既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48
在15到25之间的是24
（个）
答：3个月后他存的钱够买这个文具盒。
9．不对；理由见详解
【分析】洋牡丹每枝10元，郁金香每枝5元，因为10和5都是5的倍数，所以不管这两种花买多少枝，最后的价钱之和都是5的倍数，而5的倍数特征是个位上是0或5，48的个位是8，因此48不是5的倍数，据此解答。
【详解】由分析得：
店员说得不对。因为根据洋牡丹和郁金香的单价，它们总价的个位数字应该是0或者5，而不是8。
10．64人
【分析】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此找到60~70之间8的倍数即可。
【详解】8×1＝8
8×2＝16
8×3＝24
8×4＝32
8×5＝40
8×6＝48
8×7＝56
8×8＝64
60~70之间8的倍数是64。
答：六（1）班观看比赛的学生有64人。
11．641302579
【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数。据此确定各数，写出这个QQ号码。
【详解】①6的最大因数是6；②最小的合数是4；③1既不是质数，也不是合数；④最小奇数是1，1的3倍是3；⑤最小的自然数是0；⑥2既是质数，又是偶数；⑦5的最小倍数是5；⑧10以内最大的质数是7；⑨最大的一位数是9。
答：喜羊羊的QQ号码是641302579。
12．77平方米
【分析】质数：是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数：是指在大于1的自然数中，除了1和其本身外还有其他因数的数。
分析题目，先根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，用长方形的周长除以2求出长和宽之和；再根据质数的概念推导出长和宽各是多少，再根据长方形的面积＝长×宽求出长方形的面积，最后比较大小即可得到最大的面积。
【详解】36÷2＝18（米）
18＝13＋5＝7＋11
13×5＝65（平方米）
11×7＝77（平方米）
65＜77
答：这个专用停车点的面积最大是77平方米。
13．公平；原因见详解
【分析】判断游戏规则是否公平，主要看双方获胜的概率是否相同，先把任意两个数的积列出来，看一共有几种情况，再看2的倍数的个数和3的倍数的个数，然后比较出现的概率，如果相同则公平，如果不相同则不公平，据此解答。
【详解】1×2＝2
1×3＝3
2×3＝6
由上可知，从3张卡片中任选2张积一共有3种情况，其中2的倍数有2、6，3的倍数有3、6，积既是2的倍数又是3的倍数有6，此时需要重来，若出现需要重来的情况就重新选，直到出现只满足“2的倍数”或“3的倍数”的结果，每次不重来时，甲和乙各有1种获胜的可能，概率相等，所以游戏是公平的。
14．2014
【分析】质数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；自然数：在数物体的个数时，用来表示物体个数的1，2，3，4，…叫做自然数，一个物体也没有，用“0”表示。合数：一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数，据此分析解答。
【详解】千位上的数字是最小的质数，最小的质数是2，千位上的数是2；
百位上的数字是最小的自然数，最小的自然数是0，百位上的数是0；
十位上的数字既不是质数，也不是合数，1既不是质数，也不是合数，十位上的数是1；
个位上的数字是最小合数，最小的合数是4，个位上的数字是4。
这个数是2014。
答：这个数是2014。
15．（1）2种
（2）每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完
【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。
【详解】（1）35
1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。
答：一共有2种放法。
（2）5个一放时放：（次）
7个一放时放：（次）
答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。
16．可能长13分米、宽5分米，也可能长11分米、宽7分米；77平方分米
【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，则长方形周长÷2＝长＋宽，用36÷2＝18分米，求出了长与宽之和；根据除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此将长宽之和拆成两个质数相加的形式，即18＝5＋13＝7＋11，确定长和宽。根据长方形面积＝长×宽，求出面积，通过比较，确定最大面积即可。
【详解】36÷2＝18分米
18＝5＋13＝7＋11
13×5＝65（平方分米）
11×7＝77（平方分米）
77＞65
答：这幅水墨画的有可能长是13分米、宽是5分米，也可能长是11分米、宽是7分米；面积最大是77平方分米。
17．187平方米
【分析】根据题意可知，这块长方形土地的周长是56米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可知长方形的长、宽之和＝周长÷2，据此求出长、宽之和；
已知长方形土地的长和宽都是质数，找出哪两个质数相加，和等于长、宽之和，即可确定长方形的长与宽，再根据长方形的面积＝长×宽，确定这块土地的最大面积。
【详解】56÷2＝28（米）
28＝5＋23＝11＋17
23×5＝115（平方米）
17×11＝187（平方米）
187＞115
答：这块长方形土地面积最大是187平方米。
18．不对，理由见详解
【分析】偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，据此解答。
【详解】答：不对。理由：各种商品的单价都是偶数。根据偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，所以不管每种文具买多少，它们各自的花费都是偶数，那么商品的总价就是这些偶数的和，根据偶数＋偶数＝偶数，可知商品总价一定是偶数。100是偶数，那么找零应该是偶数减偶数，结果也一定是偶数， 而35是奇数，所以找的钱数不对。
19．6种；2个、3个、5个、6个、10个、15个
【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的根数是总根数的因数，据此求出总根数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，排除1和本身两个因数即可。
列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6
30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30
排除1和30，还有2、3、5、6、10、15。
答：一共有6种放法，每次分别放2个、3个、5个、6个、10个、15个。
20．2人；4人
【分析】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。
【详解】526÷6＝87（组）……4（人）
6－4＝2（人）
答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。
21．7种
【分析】找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找，这时，两个乘数都是积的因数。求出36有多少个因数，进而找出符合条件的排法即可。
【详解】36＝1×36，排成1行或者36行，都不符合题意；
36＝2×18，排成2行或者18行；
36＝3×12，排成3行或者排成12行；
36＝4×9，排成4行或者排成9行；
36＝6×6，排成6行。
答：一共有7种不同的排法。
22．营业员找得不对，理由见详解
【分析】根据5的倍数的特性是，个位上是0或5的数都是5的倍数。即李叔叔买了5个长征四号丙运载火箭模型，每个模型的价格是整数，所以5个模型的总价一定是5的倍数。他付给营业员500元，找回的钱数也一定是5的倍数；据此解答。
【详解】47的个位数是7，不是0或5，所以47不是5的倍数。
答：营业员找得不对。
23．289576；理由见详解
【分析】质数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；最小的质数是2；
合数：一个数，除了1和它本数两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4；一个数，最小的倍数和最大的因数是它本身；以及求一个数倍数的方法进行解答。
【详解】第一位：最小的质数是2，是2；
第二位：最小的合数是4；4×2＝8，是8；
第三位：是3的倍数，且是最大的一位数，是9；
第四位：5既是5的倍数，也是5的因数，是5；
第五位：所有因数是1，7，1×7＝7，是7；
第六位：是第一位上数的3倍，2×3＝6，是6。
这个密码锁是289576。
答：这个密码锁是289576。
24．90人
【分析】当人数在50以内，最大为50时，需要票价50×30＝1500（元）；当人数在51～99人时，最大为99时，票价应该是99×28＝2772（元）；两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元，超过了2772元，则两个团合并在一起超过100人，每人25元，则有128人。如果两个班级带团的人数都在51～99人之间，总门票付的钱是28的倍数，显然3660不是28的倍数。星星带的团人数多一些，则星星带的团51~99人，望望带的团50人以内。假设两个团的人都是30元/人的门票，128人应该付128×30＝3840（元），和总门票钱3660元对比，多了180元，也就是需要将180元的门票钱减去。两种购票的一张门票的钱可以减2元，就是求180元里面有几个2元，用除法。则星星带的团有90人。
【详解】3200÷25＝128（人）
（128×30－3660）÷（30－28）
＝（3840－3660）÷（30－28）
＝180÷2
＝90（人）
答：星星带的团共有90人。
25．（1）一盒六个的月饼更合适。
（2）31个
【分析】（1）用买一盒月饼需要的钱数，除以每盒的月饼数，求出两种盒子中每块月饼需要多少钱，哪种盒子中月饼单价低，就是哪款月饼划算。
（2）无论3个3个地数，还是5个5个的数，都多1个，并且个数在20～40之间，可以分别写出20～40之间3的倍数和5的倍数，因为无论怎么数都多1，所以是3和5共同的倍数再加上1，即为奶奶洗的个数。
【详解】由分析可得：
（1）39.8÷4＝9.95（元）
56.46÷6＝9.41（元）
9.95＞9.41，
答：一盒六个的月饼更合适。
（2）20～40之间3的倍数：21、24、27、30、33、36、39；
20～40之间5的倍数：20、25、30、35、40；
3和5共同的倍数为30，所以水果数量为：
30＋1＝31（个）
答：奶奶可能洗了31个。
【点睛】本题考查了小数除法和倍数的灵活运用，解题的关键是能找出一定数值中3和5的共同的倍数。
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