资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
10.2三角形的内角和外角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠ACD是△ABC的一个内角； B．∠BAD是△ABD的一个内角；
C．∠BEC是△ACE的一个外角； D．∠AOC是△ABD的一个外角；
3．一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是绕点旋转得到的，，，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
6．如图，已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．嘉淇在电脑上用画图软件画出了如图1所示的图形，与交于点O，若嘉淇拖动图形，使得的度数减小了，∠A的度数增加了，得到如图2所示的图形，设图1中的度数为，图2中的度数为，则x与y的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到．若，且的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．数学活动课上，三杰同学用硬纸板剪了两个三角形，并按如图所示的方式重叠摆放在一起，测得，则的度数为（ ）

A．65° B．75° C．80° D．100°
12．如图，在中，，D是上一点，于点E，于点F，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，，的外角，平分交于点，则的度数为 ．

14．如图，在△ABC中，∠ABC=75°，∠A=40°，∠ACD是△ABC的外角，若∠ABC与∠ACD的平分线交于点P，则∠BPC的大小为 ．
15．如图，、都是的角平分线，且，则 ．
16．如图，D是的边上一点，，则的度数为 ；的度数为 ．
17．如图，这是一个五角星，则 ．
三、解答题
18．已知：如图，．求证：．
19．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：
(1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：；
(2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数；
(3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数．
20．在△ABC中，
(1)如图1，点E，F分别是AC，AB上一点，若BE，CF相交于点G，请说明∠BGC＝∠1+∠A+∠2；
(2)如图2，若BE，CF分别是AC，AB上的高，请说明∠1＝∠2理由；
(3)如图3，若∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，则：
①∠1+∠2+∠3＝　 　；
②若过点G作GH⊥BC于点H，发现∠BGD＝∠CGH，请说明理由．
21．综合与探究
【问题发现】
在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．
（1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整．
，分别是和的平分线， ，． ， ， ……
【问题探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明．
【问题拓展】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中．
①请说明与之间的数量关系．
②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数．
22．（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图（2），分别平分，若．求的度数．
（3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______；
（4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．

23．一个零件的形状如图中阴影部分．按规定应等于，、应分别是和，检验人员度量得，就断定这个零件不合格．你能说明理由吗？
24．如图，在中，与的平分线相交于点O，若，求的度数．

《10.2三角形的内角和外角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B C C A B D C
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角，根据三角形内角和定理，易得；设与交于点，根据三角形的外角易得，，则的度数可求．
【详解】解：∵，，
，
由折叠的性质可得：，
如图，设与交于点，
由三角形的外角可得：，，
则．
故选：D．
2．D
【分析】根据三角形内角、外角的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、∠ACD是△ABC的一个内角，说法正确；
B、∠BAD是△ABD的一个内角，说法正确；
C、∠BEC是△ACE的一个外角，说法正确；
D、∠AOC是△AEO的一个外角，原说法错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角、外角的识别，熟知三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角叫做三角形的外角是解题的关键．
3．C
【分析】求角度的问题，主要涉及到三角形内角和定理与三角形外角性质，根据图形，结合已知角度即可得到结论．
【详解】解：如图所示：
根据题意可知，
是的一个外角，
，
，,
,
,
是的一个外角，
,
故选：C．
【点睛】本题考查在三角板背景下的求角度问题，涉及到三角形内角和定理、三角形外角性质，看懂图形，找准已知角与所求角度之间的关系是解决问题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查了求旋转角，三角形内角和定理，解题的关键是要理解旋转是一种位置变换，旋转前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
先根据三角形内角和定理求出，再结合图形可知，旋转角为，据此可得答案．
【详解】解：根据三角形的内角和定理得，,
由图可知即为旋转角，
∴旋转角的度数为，
故选：B．
5．C
【分析】依据三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角，可判断出此三角形有一内角为钝角，从而得出这个三角形是钝角三角形．
【详解】解：∵三角形的一个外角与它相邻的内角和为，而这个外角小于它相邻的内角，
∴与它相邻的这个内角大于，
∴这个三角形是钝角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角．
6．C
【分析】此题考查了三角形内角和定理．连接．设与交于点，由三角形内角定理求出．再由三角形内角和定理和对顶角相等即可求出．
【详解】如图，连接．设与交于点，
，．
，，
，
故选：C．
7．A
【分析】根据三角形内角和证明的度数不变即可．
【详解】∵的度数减小了，∠A的度数增加了，
∴的度数不变，
∴的度数不变，
∴的度数不变，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形内角和，对顶角相等，熟练掌握三角形内角和等于是解答本题的关键．
8．B
【分析】利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：在中，，，
．
故选B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形三个内角度数之和为是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
根据旋转的旋转，可知，，由三角形内角和定理，求得的度数，最后计算，即可解题．
【详解】将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，
，
，
．
故选：D．
10．C
【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．
【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、．
．
图案是由一张等宽的纸条折成的，
，
又纸条的长边平行，
，
．
故选：C．
11．B
【分析】设，，的度数分别为，，，根据三角形的外角和为，求出的值，进而得到的度数，再利用平角的定义，进行求解即可．
【详解】解：设，，的度数分别为，，，
则，
解得．
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的外角和为，利用方程思想进行求解，是解题的关键．
12．C
【分析】根据三角形内角和定理，求得，后利用四边形的内角和定理计算即可．
【详解】解：如图，∵在中，，
∴．
∵于点E，于点F，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握定理是解题的关键．
13．/度
【分析】根据三角形外角的性质，得出，由角平分线的定义，得到，再根据三角形外角的性质，即可求出的度数．
【详解】解：的外角，
，
，
，
平分，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，解题关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
14．20°/20度
【分析】由三角形的外角性质可得∠ACD=115°，再由角平分线的定义可得∠PBC=32.5°，∠PCD=57.5°，再利用三角形的外角性质即可求∠BPC的度数．
【详解】解：∵∠ABC=75°，∠A=40°，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠ABD+∠A=115°，
∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC=∠ABC=37.5°，∠PCD=∠ACD=57.5°，
∵∠PCD是△BCP的外角，
∴∠BPC=∠PCD-∠PBC=20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质并灵活运用．
15．40°/40度
【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．
【详解】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，
∴∠A＝180° （∠ABC＋∠ACB），
＝180° 2（∠DBC＋∠BCD）
∵∠BDC＝180° （∠DBC＋∠BCD），
∴∠A＝180° 2（180° ∠BDC）
∴∠BDC＝90°＋∠A，
∴∠A＝2（110° 90°）＝40°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．
16． /度 /度
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键．
根据三角形外角的性质可得，再结合可得，再根据三角形内角和定理可得．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
又∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：，．
17．180
【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，设、交于点，、交于点，由三角形外角的定义及性质可得，，结合三角形内角和定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，设、交于点，、交于点，
，，
，
故答案为：．
18．见解析
【分析】本题主要考查平行线的判定，由三角形的外角性质可得，从而可求得，即可判定．
【详解】证明：∵为的外角，
∴．
∵，
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)；
(3)
【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论；
（2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解；
（3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解．
【详解】（1）证明：∵，是高，
∴，，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∵为边上的高，
∴，
∴，
．
（3）证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)①90°
②见解析
【分析】（1）根据三角形的外角性质，求得∠BGC＝∠BGP+∠CGP，据此进行计算即可；
（2）根据BE，CF分别是AC，AB上的高，可得△ABE和△ACF是直角三角形，进而得出∠1+∠A＝∠2+∠A＝90°，据此可得∠1＝∠2；
（3）根据∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，可得∠1+∠2+∠3＝（∠ABC+∠ACB+∠BAC），据此进行计算即可；②根据∠BGD是△ABG的外角，得出∠BGD＝∠1+∠3＝∠ABC+∠BAC＝90°﹣∠ACB，再根据CF平分∠ACB，GH⊥BC，可得Rt△CHG中，∠CGH＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB，进而得到∠BGD＝∠CGH．
【详解】（1）解：∵如图1，连接AG并延长至P，
∵∠BGP是△ABG的外角，
∴∠BGP＝∠1+∠BAP，
同理可得，∠CGP＝∠2+∠CAP，
∴∠BGC＝∠BGP+∠CGP＝∠1+∠BAP+∠2+∠CAP＝∠1+∠A+∠2；
（2）解：∵如图2，BE，CF分别是AC，AB上的高，
∴△ABE和△ACF是直角三角形，
∴∠1+∠A＝∠2+∠A＝90°，
∴∠1＝∠2；
（3）解：①如图3，∵∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∠3＝∠BAC，
∴∠1+∠2+∠3＝（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝×180°＝90°，
故答案为：90°；
②∵∠BGD是△ABG的外角，
∴∠BGD＝∠1+∠3＝∠ABC+∠BAC
＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，
∵CF平分∠ACB，
∴∠GCH＝∠ACB，
∵GH⊥BC，
∴Rt△CHG中，∠CGH＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB，
∴∠BGD＝∠CGH．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：三角形内角和等于180°．解决第（3）问的难点在于将∠BGD和∠CGH都用90°﹣∠ACB表示出来．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①，②或
【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
（1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论；
（2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论；
（3）①先根据角平分线的性质得，，
，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论；
【详解】[问题发现]
（1），分别是和的平分线，
，，
，
，
，
，
；
[问题探究]
（2），分别是，的平分线，
，，
，，
，，
，
，
，
由（1）知，
，
[问题拓展]
（3）①是的平分线，是的平分线，
，，
，
，
，
由（2）知，
；
②延长至点F，
是的外角的平分线，
是的外角的平分线，
，
是的平分线，
，
即，
，
即，，
，
在中，与都是锐角，
当时，
，
，
，
，
当时
，
，
，
，
综上所述，的度数为 或 ．
22．（1）见解析；
（2）；
（3）；
（4）
【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证；
（2）设，，解方程即可得到答案；
（3）根据直线平分，平分的外角，得到
，从而可以得到，再根据，得到即可求解；
（4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解．
【详解】解：（1）如图.
，，
．
，
；
（2）如图.
，分别平分，，设，，
则有，
，
（3）如图.
直线平分，平分的外角，
，，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴，
即．
（4）连接
直线平分的外角，平分的外角，
，，
∵，
∴
同理得到：
∴
∴
∵180°，
∴，
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．见解析
【分析】连接并延长，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出，，然后求出的度数，根据零件规定数据，只有才是合格产品．
【详解】解：如图，连接并延长至，记，
则，，
又∵、应分别是和
∴
．
而实际测量，
∴可以判定这个零件不合格．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，合理画辅助线是解题关键．
24．
【分析】根据三角形内角和定理易得，利用角平分线定义可得，进而利用三角形内角和定理可得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵与的平分线相交于点，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线的定义和三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑