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第十章三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，的三个内角的大小分别为，则x的值为（ ）

A．24 B．30 C．36 D．40
2．如图，在中，边上的高是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
3．一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
4．如图，D是△ABC的边AC上一点，E为BD上一点，则∠A，∠1，∠2之间的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
5．如图，已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将直角三角形纸片沿（是斜边上一点）折叠，使点落在点处．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，为的中线，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，是的高，已知，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，求作 中 边上的高，其结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列所给的各组线段，能组成三角形的是（ ）
A．10cm，20cm，30cm B．20cm，20cm，40cm
C．20cm，30cm，40cm D．10cm，30cm，50cm
12．如图，把绕着点A顺时针转，得到，当时，点E恰好在边上，则的大小是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在中，作∠ABC的角平分线与∠ACB的外角的角平分线交于点；的角平分线与角平分线交于；如此下去，则 ．
14．在中，若 ，则这个三角形是 ．
15．如图①，有结论：，因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为“飞镖模型”，如图②，在飞镖模型中分别作和的平分线交于点，易得，如图③，在飞镖模型中作靠的三等分线，作靠的三等分线，两条三等分线交于点，……，依次方法，在飞镖模型中作靠的n等分线，作靠的n等分线，两条n等分线交于一点，则 ．

16．（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形： ；
（2）如图，线段BC是 和 的边；
（3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ；
（4）如图，是 的外角．
17．若的三个内角度数之比为，则的度数为 ．
三、解答题
18．如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数．
19．如图，在中．
(1)如图1，若，与的平分线交于点．求的度数；
(2)如图2，若，的外角与的平分线交于点．求的度数（用来表示）；
(3)如图3，的等分线（）与外角的等分线（）交于点，若，，则 ．
20．如图，是的一个外角，平分，交的延长线于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
21．如图，中，，，是边上一点，交的延长线，交于点，．求的大小．
22．如图，中，按要求画图：
(1)的平分线；
(2)画出中边上的中线；
(3)画出中边上的高．
23．综合与探究：在中，，是的角平分线．
(1)探究与发现：如图①，于点，
①若，，则______________，______________；
②若，，则______________；
③试探究与、的数量关系，并说明理由．
(2)判断与思考：如图②，是上一点，于，这时与、有怎样的数量关系
(3)判断与思考：如图③，是线段延长线上一点，于，这时与、又有怎样的数量关系，请说明理由．
24．将两块三角板按如图①所示的方式摆放，固定三角板，将三角板绕点C按顺时针方向旋转，其中，，设旋转角为．
(1)如图②，当时，求的值；
(2)如图③，当时，与相交于点F，求的值．
《第十章三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B C C B D C C
题号 11 12
答案 C D
1．C
【分析】利用三角形的内角和定理，列方程解答即可．
【详解】解：三角形的内角和为，
所以，
解得．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为．
2．C
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案．
【详解】解：在中，边上的高是线段，
故选：．
3．B
【分析】本题考查三角形的分类，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形三个内角度数之比，求出最大角即可判断．
【详解】解：∵三角形的三个内角度数之比为，
∴最大角度数为，
∴该三角形是直角三角形．
故选：B．
4．B
【分析】根据三角形外角和性质，分别表示出角来比较大小即可．
【详解】根据三角形外角和性质可得：
，
∴
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的外角和性质，解题的关键是利用外角和定理分别把角表示出来．
5．C
【分析】此题考查了三角形内角和定理．连接．设与交于点，由三角形内角定理求出．再由三角形内角和定理和对顶角相等即可求出．
【详解】如图，连接．设与交于点，
，．
，，
，
故选：C．
6．C
【分析】根据角之间的数量关系，得出，再根据折叠的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，解出即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵将直角三角形纸片沿（是斜边上一点）折叠，使点落在点处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了三角形折叠中的角度问题，理清角之间的数量关系是解本题的关键．
7．B
【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．利用中线的性质即可求解．
【详解】解：为的中线，
，
的面积为，
的面积为，
故选：B．
8．D
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形的较短两边之和大于第三边是解题的关键．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案．
【详解】解：A、由，此选项不符合题意；
B、由，此选项不符合题意；
C、由，此选项不符合题意；
D、由，此选项符合题意；
故选：D．
9．C
【分析】本题考查三角形的高，三角形的内角和定理．根据三角形的高的定义得到，进而根据三角形的内角和定理求得，最后根据角的和差即可解答．
【详解】解：∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C
10．C
【分析】根据三角形的高的定义判断即可．
【详解】解：选项C中，线段是边上的高．
故选：C．
【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形的高等知识，解题的关键是理解三角形的高的定义，属于中考常考题型．
11．C
【分析】此题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
【详解】解：根据三角形三边关系，可知：
A、，不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、，能组成三角形，本选项符合题意；
D、，不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
12．D
【分析】根据旋转的性质得出，，进而利用三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：把绕着点A顺时针转，得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查旋转的性质和三角形内角和定理，关键是根据旋转的性质求旋转角．
13．
【分析】根据角平分线的定义以及三角形外角的性质，三角形内角和定理得出与，与的关系，找出规律即可．
【详解】解：设BC延长于点D，
∵，
的角平分线与的外角的角平分线交于点，
∴
，
同理可得，
，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质和角平分线的定义，找出角度之间的规律，是解题的关键．
14．直角三角形
【分析】根据三角形的内角和定理求出，然后进行判读即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴为直角三角形；
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及三角形的分类．熟练掌握三角形的内角和定理
是解题的关键．
15．
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，图形类规律探究，根据飞镖模型的结论结合角平分线的定义，推导出相应的规律，即可．
【详解】解：由题意，得：；
，
∵，
∴，
∴，
∴，
同法可得：，，
，
∴；
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角与外角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
根据三角形的定义，三角形的边与内角和外角，进行作答即可
【详解】解：（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形：；
故答案为：；
（2）如图，线段BC是和的边；
故答案为：；；
（3）如图，的3个内角是，三条边是；
故答案为：；；
（4）如图，是的外角．
故答案为：．
17．/90度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，设，，，由三角形内角和定理得，求出即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴可设，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】先由三角形外角的性质求得，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
在中，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，正确识图是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）利用三角形内角和定理及角平分线进行计算求解即可；
（2）利用三角形内角和定理及角平分线进行计算求解即可；
（3）根据题意得出∠ABC=m∠ABO′′，∠ACD=m∠ACO′′，利用三角形的外角的性质得出∠A=∠ACD-∠ABC，然后代入化简得出(m-1)∠A=，将已知角的度数代入求解即可．
【详解】（1）解：在中，
，
，
，分别是和的角平分线，
，，
在中，
，
．
（2）在中，
，
，
，
，分别是和的角平分线，
，，
在中，
，
；
（3）∵∠ABO′′=∠ABC，∠ACO′′=∠ACD，
∴∠ABC=m∠ABO′′，∠ACD=m∠ACO′′，
由图可得：∠A=∠ACD-∠ABC
= m∠ACO′′- m∠ABO′′
=m(∠ACO′′-∠ABO′′)
= m[(∠ACD-∠O′′CD)-(∠ABC-∠O′′BC)]
= m(∠A-∠O′′)
∴(m-1)∠A=
∵∠A=80°，∠BO′′C=60°，
∴解得：m=4
故答案为：4．
【点睛】题目主要考查角平分线的计算及三角形内角和定理与三角形外角的性质，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
20．(1)；
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”．
（1）先求出，再利用三角形外角定理即可求解；
（2）先证明，，再通过角平分线，利用三角形外角定理进行角的转换即可证明．
【详解】（1）解：∵，
又∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵，，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴
又∵，
∴．
21．115°
【分析】首先根据三角形外角的性质可得，，代入相应数值可得答案．
【详解】解：，，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据角平分线的画法即可画出的平分线；
（2）取的中点E，连接，即可画出中边上的中线；
（3）根据钝角三角形的高线的画法即可画出中边上的高，即过点C画的垂线即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，中线即为所求；
（3）解：如图，高即为所求．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，三角形的角平分线、中线和高，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
23．(1)①，；②；③，理由见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）①在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合，即可求出结论；②同理，可求出及的度数，再将其代入中，即可求出结论；③ 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合角平分线的定义，可得出 在中，利用三角形内角和定理，可得出，再结合，即可得出；
（2）由角平分线求得，由三角形的外角求得，再由三角形的内角和即可求得；
(3)利用角平分线性质和三角形的外角的性质求出，再利用三角形的内角和即可得解．
【详解】（1）探究与发现：
①在中，，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
③解：，理由如下：
，
平分，
∴，
∴
（2）平分，
，
为的外角，
，
，
，
，
（3）.理由如下：
平分，
为的外角，
，
，
，
【点睛】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质，角平分线的性质等知识点，根据三角形内角和定理求出是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，熟知平行线的性质和旋转的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质求出的度数，再求出的度数即可得到答案；
（2）根据平行线的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再求出的度数即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴
（2）解：，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
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