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2025年遵化市模拟中考学业评估
数学试卷
考生注意：1.本试卷共4页，总分120分，考试时间120分钟．
2.答题前考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上．
3.考生务必将答案写在试卷上．
一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）．
1.的值等于（ ）
A.－1 B.0 C.1 D.
2.泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A.图形的相似 B.图形的平移
C.图形的旋转 D.图形的翻折
3.国家游泳中心－－“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约为260 000平方米，将260 000用科学记数法表示应为（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，点O是边长为2的正方形ABCD的中心，点P从点A出发，在正方形ABCD的边上沿AD－DC以每秒1个单位长度做匀速运动．若移动时间为x，线段OP的长为y．则y与x关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
5.下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
6.学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同一辆车的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在中，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点D；分别以点B，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于点P，连接PB，PA，PD，若，则的大小为（ ）
A． B. C. D.
9.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
11.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为AB；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交半圆O于点C；③连接OC，以点C为圆心，以OC长为半径作弧，交半圆O于点E，连接AE，CE．
结论Ⅰ：点E为的中点；
结论Ⅱ：四边形AOCE为菱形．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对
C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对
二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上）．
13.有几滴墨水滴在数轴上，根据图中标出的数值，推算墨迹遮盖住的整数有____个．
14.已知m是的小数部分，则的值为______．
15.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是O（0，0），A（），B（），与关于直线OB对称，反比例函数的图象与交于点C．若，则k的值为______．
16.将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则的度数是__________．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题8分）【问题背景】
同学们通过学习教材中的探究，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度与小正方形的边长相同），通过探究回答以下问题：
（1）如图1用两个面积为1的小正方形拼成一个大正方形，大正方形的边长为______．图1中的大正方形画在图2的数轴上，如图所示，点M表示的数为______．
【初步探究】
（2）小易同学根据自己的学习经验，探究了如下问题：
如图3，在的方格中，每个小正方形的边长为1．
①图3中正方形ABCD的面积为______．
②如图4，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E．则点E所表示的数是______．
【探究应用】
（3）①请运用以上知识在网格中画一个面积为5的正方形，使正方形的顶点均在格点上．（备注：网格小正方形的边长为1个单位长度）
②如果把这个正方形按照图4放置在数轴上，点A在数轴上表示的数是，以点A为圆心，AD长为半径画圆弧，与数轴相交，则交点所表示的数是______．
18.（本小题6分）某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树的生长规律．记果树的生长时间为x（单位：年），甲种果树的平均高度为（单位：米），乙种果树的平均高度为（单位：米）．记录的部分数据如下：
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
1.00 2.50 5.00 7.50 9.00 9.64 9.87 9.95 9.98 10.00 10.00
1.50 4.24 5.67 5.95 5.99 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象．
（2）当甲种果树的平均高度达到8.00米时，生长时间约为______年（结果保留小数点后一位）；当乙种果树的平均高度为5.00米时，两年后平均高度约为______米（结果保留小数点后两位）．
（3）当甲、乙两种果树的平均高度相等时，生长时间约为______年（结果保留小数点后一位）．
19.（本小题11分）综合与实践活动中，要利用测角仪测量古塔的高度．如图，在梯形平台CDEF上有一座高为AB的古塔，已知CD＝6，∠DCF＝30°，点A在水平线DE上，某学习小组在梯形平台C处测得古塔顶部B的仰角为50.2°，在梯形平台D处测得古塔顶部B的仰角为60°．
（Ⅰ）求梯形平台的高AG的长；
（Ⅱ）设古塔AB的高为h（单位：）．
①用含有h的式子表示线段CG的长（结果保留根号）；
②求古塔AB的高度（tan50.2°≈1.2，取1.7，结果取整数）．
20.（本小题8分）“百节年为首，四季春为先”，春节是我们中华民族最为隆重的传统节日．某日小宁在微博APP上通过网络投票对“过年计划做的事情”展开调查，当天调查数据如下：
过年计划做的事情： a．回家和父母家人一起过年 b．观看央视春晚 c．准备年夜饭 d．拜年，走亲访友 e．外出旅游 根据“过年计划做的事情”的数量分为四个组，其中n为计划做的事情的数量 A. B. C. D.
（1）请直接写出条形统计图中______；
（2）请直接写出该组数据的众数所在组别，并求出B组所对应的扇形圆心角的度数；
（3）经10天的调查，共收到2400份调查结果，根据上述数据估计属于A组大约有多少人？
21.（本小题9分）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作⊙O的切线与AG的延长线交于点M，连接EG．
（1）相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为____．
（2）求AG的长．
（3）求线段ME与EG的长，并比较大小．
图1 图2
22.（本小题9分）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数，通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．
（1）若输入，，得到如图①所示的图象，求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A，B的坐标；
（2）已知点P（－1，10），Q（4，0）．
①若输入b，c的值后，得到如图②的图象恰好经过P，Q两点，求出b，c的值；
②淇淇输入b，嘉嘉输入，若得到二次函数的图象与线段PQ有公共点，求淇淇输入b的取值范围．
图1 图2
23.（本小题10分）
对于线段MN和点P给出如下定义：点P在线段MN的垂直平分线上，若以点P为圆心，PM为半径的优弧上存在三个点A，B，C，使得是等边三角形，则称点P是线段MN的“关联点”．例如，图1中的点P是线段MN的一个“关联点”．特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点P是线段MN的“强关联点”．
在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0）．
（1）如图2，在点，，，中，是线段OA的“关联点”的是__________；
（2）点B在直线上，存在点P，是线段OA的“关联点”，也是线段OB的“强关联点”．
①直接写出点B的坐标；
②动点D在第四象限且AD＝2，记．若存在点Q，使得点Q是线段AD的“关联点”，也是OB的“关联点”，直接写出及线段AQ的取值范围．
图1 图2
24.（本小题11分）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（4，2）．是等腰直角三角形，，点E（0，3），点D在x轴的负半轴上．将沿x轴向右平移，得到，点D，O，E的对应点分别为，，．
（Ⅰ）如图①，当经过点C时，求点的坐标；
（Ⅱ）设，与矩形OABC重叠部分的面积为S；
①如图②，当与矩形OABC重叠部分为五边形时，与BC相交于点N，分别与BC，CO交于点M，P，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②请直接写出满足的所有t的值______．
2025年中考遵化市第二次模拟考试数学答案
2025.5
一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）．
1－5 BADBA 6－10 BBCDB 11－12 BA
二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上）．
13.8 14.4 15.2 16.
三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．
17.（本小题8分）
解：（1）图1中大正方形的边长为，…………1分
∴图2中点M表示的数为，……………2分
（2）①∵正方形ABCD的面积是，…………3分
②∵正方形ABCD边长为，∴，
∴E表示的数比大，即E表示的数为，………4分
（3）①∵正方形的面积为5，∴正方形的边长为，
如图5，
……………6分
②∵A表示，以点A为圆心，AD长为半径画圆弧，与数轴相交，如图6，
∴交点所表示的数是或，…………8分
18.（本小题分）
解：（1）如图，根据对应和的值在图上描点，然后用平滑的曲线连接即可．
（画图近似可给满分）．………2分
（2）当时，在图上找到约为3.3（答案不唯一）．
当时，在图上找到x约为1.4，两年后即x＝3.4时，约为5.98（答案不唯一）．……4分
（3）当甲、乙两种果树的平均高度相等时，即时，在图上找到、交点所对应的x即为生长时间，即x约为2.3（答案不唯一）．………6分
19.（本小题分）
解：（1）过点作DH⊥CF，垂足为H，由题意得：DH＝AG，………1分
在Rt△CDH中，∠DCH＝30°，CD＝6，∴，……2分
∴DH＝AG＝3，∴梯形平台的高AG的长为3；…………3分
（2）①由题意得：BA⊥DE，DA＝GH，
在Rt△ABD中，AB＝h，∠BDA＝60°，
∴，∴，………………4分
在Rt△CDH中，∠DCH＝30°，CD＝6，
∴，……5分
∴，
∴线段的CG长为；…………7分
②由题意得：BG⊥CF，在Rt△BCG中，∠BCG＝50.2°，，
∴，……9分
∵AB＋AG＝BG，∴，解得：，
∴古塔AB的高度约为10……11分
20.（本小题分）
解：（1）10＋20＋30＝60（人），………2分
（2）根据众数的概念可知，这组数据中C组的数据最多，所以众数在C组，
60÷50%＝120（人），，
答：众数在C组，B组所对应的扇形圆心角的度数为60°．………6分
（3）（人），
答：估计属于A组大约有200人．…………8分
21.（本小题分）
解：（1）由题意可知：八个方位将圆形八等分，
∴相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为，……2分
（2）∵AE为⊙O的直径，∴∠AGE＝90°，
∵，∴∠GAE＝∠AEG＝45°，
∴．
答：AG的长是；……6分
（3）∵ME为⊙的切线，∴∠AEM＝90°，
由（2）知：∠GAE＝45°，∴ME＝AE＝20
如图所示，连接OG，∵AE是直径，∴∠AGE＝90°，
∵∠GAE＝45°，∴∠AEG＝45°，∴，
∵，∴ME＞EG．
答：线段ME＞EG．……………9分
22.（本小题9分）
解：（1），
当b＝2，c＝－3时，，
∴顶点C的坐标为：（－1，－4）；…………1分
当y＝0时，x2＋2x－3＝0，即（x＋3）（x－1）＝0，
解得：，∴A（－3，0），B（1，0）；……………3分
（2）①抛物线恰好经过P，Q两点，
则：，解得：………………5分
②当c＝－1时，y＝x2＋bx－1，
当x＝0时，y＝－1，∴抛物线过（0，－1），
当x＝－1时，y＝1－b－1＝－b，
当点（－1，－b）在点P上方，或与点P重合时，抛物线与线段PQ有公共点，
即：－b≥10，解得：b≤－10；…………7分
当x＝4时，y＝16＋4b－1＝4b＋15，
当点（4，15＋4b）在点Q上方，或与点Q重合时，抛物线与线段PQ有公共点，
即：15＋4b≥0，b≥
综上：b≤－10或b≥．…………9分
23.（本小题10分）
解：（1）．…………4分
（2）①…………6分
②或或；．……10分
24.（本小题11分）
解：（1）∵△DOE是等腰直角三角形，∠DOE＝90°，E（0，3），
∴D（－3，0），∠ODE＝45°，OD＝OE＝3，
∵矩形ABCO的顶点B（4，2），点C在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，
∴A（4，0），C（0，2），即：OC＝2，
将△DOE沿x轴向右平移，得到△D'O'E'，当D'E'经过点C时，
∴∠ODE＝∠O'D'E'＝45°，则∠OD'C＝45°，
∴Rt△OCD'为等腰直角三角形，∴OD'＝OC＝2，∴DD'＝1，
∴△DOE沿x轴向右平移了1个单位，∴E（1，3）；．．．．．．．．．．4分
（2）①当0≤t≤1时，如图1，此时重叠部分为COO'N为矩形，
此时S＝OC·OO'＝2t：
当1＜t≤3时，如图2，此时重叠部分为POO'NM为五边形，
将△DOE沿x轴向右平移，得到△D'O'E'，
∵OD＝OD'＝3，∠O'D'E'＝∠ODE＝45°
∴△POD'为等腰直角三角形，
∴OP＝OD'＝OD'－OO'＝3－t，∠CPM＝∠OPD'＝∠OD'E＝45°，
则△CPM为等腰直角三角形，
CP＝CM＝OC－OP＝2－（3－t）＝t－1，
此时S＝－S△CPM＝＝
当3＜t≤4时，如图3，此时重叠部分为直角梯形MD'O'N，
∵，∠E'＝∠O'D'E'＝45°，
∠E'MN＝∠O'D'E'＝45°，
∴△MNE'为等腰直角三角形，
∴MN＝NE'＝O'E'－NO'＝1，
此时S＝＝4
当4＜t≤5时，如图4，此时重叠部分为直角梯形MD'AB，
同理△QMD'为等腰直角三角形，D'Q＝MQ＝OC＝2，
OD'＝OO'－O'D'＝t－3，
则AQ＝OA－D'Q－OD'＝4－2－（t－3）＝5－t，
此时S＝＋×2×2＋2（5－t）＝－2t＋12；
当5＜t≤7时，如图5，此时重叠部分为△ATD'，
同理△ATD'为等腰直角三角形，AD'＝AT＝OA－OD'＝4－（t－3）＝7－t，
此时，
综上：，．．．．．．．．．．．．．9分
由上可知，当△DOE与矩形OABC重叠部分为五边形时，；
②当0≤t≤1时，S＝2t＝，解得：t＝＞1，不符合题意：
当1＜t≤3时，，解得：t＝（t＝，不符合题意，舍去）：
当3＜t≤4时，S＝4，不符合题意；
当4＜t≤5时，S＝－2t＋12＝，解得：t＝
当5＜t≤7时，，解得：t＝或t＝，不符合题意：
综上：时，或．．．．．．．11分

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