资源简介

高台一中2025春学期高二年级6月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．下列导数运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
2. 如图是函数的导函数的部分图象，则的一个极大值点为（ ）
A. B.
C. D.
3. 从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则
A. B. C. D.
4. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
5．随机变量，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
7．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（ ）
A． B． C． D．
8. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有二个正确选项的，每个选项3分，有三个正确选项的，每个选项2分，有选错的得0分.
9.某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ）
参考公式：,
A．
B．由散点图知变量和负相关
C．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强
D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为
10．在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列选项中正确的为（ ）
A．平面 B．直线与所成角的余弦值为
C． D．直线与平面所成角的正弦值为
11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 函数的最大值是
B. 在上单调递减
C. 对任意两个正实数，且，若，则
D. 若关于x的方程有3个不等实数根，则m的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为
第年 1 2 3 4 5
收入 3 8 10 14 15
13.乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺 生态宜居 乡风文明 治理有效 生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示：
由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为 亿元.
14. 设函数，若恒成立，则a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数，若曲线在点处的切线方程为.
(1)求和的值；
(2)求的单调区间.
16.究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组在本校某年级学生中随机抽取了200名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表：
数学总评优秀的人数 数学总评非优秀的人数 合计
每天都整理数学错题的人数 90
不是每天都整理数学错题的人数 40 100
合计 200
（1）完成上述样本数据的列联表，并判断是否有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关；
（2）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人数学成绩总评优秀”，B表示事件“选到的人每天都整理数学错题”．利用该调查数据，求的值．
（3）按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取5名学生，再从这5名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中数学成绩总评非优秀的人数为，求的分布列和期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．如图，四边形是正方形，平面平面，,，，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小.
(3)点在直线BD上，直线与直线CE的夹角为，二面角为，是否存在点，使得.如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由.
18．已知函数．
（1）求的极值；
（2）求的单调区间；
（3）若，求a的取值范围．
19．甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分.
(1)若，
（i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；
（ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率.
(2)若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值可以达到3分？
参考答案
1.B
2. B
【详解】极大值点处导数为0，且在该点左侧附近导数值为正，在该点右侧附近导数值为负，选项中只有符合.
故选：B.
3. B
【详解】依题意,,故.故选B.
4. C
【详解】以D作坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设与所成角的大小为，
则.
5A
6.A【详解】函数的定义域为，又，令，解得，所以函数的单调递增区间是.故选：A
7. D
【详解】，，
在点处的切线方程为：，
令得：，
.
故选：D.
8.C【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，其中，其中，且，.故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.故，随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；，随着的增大，增大.故选：C.
10.【答案】BC
11. ACD
【详解】对于AB，函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，函数在上单调递增，
在上单调递减，，A正确，B错误；
对于C，依题意，，，则，
不等式，令
，令，
求导得，
而当时，，
于是，函数在上单调递增，，即，
因此，又在上单调递减，则，C正确；
对于D，令，若关于的方程有3个不等实数根，
则关于的方程有两个不相等的实数根，，
解得或，且，则或，
当时，，解得，与矛盾；
当时，，，整理得，
则的取值范围是，因此的取值范围是，D正确.
故选：ACD
12.【答案】B
13.
14.
15.
16．解：（1）完善列联表，如下：
数学成绩总评优秀的人数 数学成绩总评非优秀的人数 合计
每天都整理数学错题的人数 90 10 100
不是每天都整理数学错题的人数 60 40 100
合计 150 50 200
由题可知，
所以有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关．
（2）由分层随机抽样可知，抽取的5名学生中有2名数学成绩总评非优秀．
所有可能的取值为0，1，2，
知，，，
所以的分布列为
0 1 2
故．
17．【详解】（1）如图，以A为原点，、、为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，

依题意，得，，，，，，
取的中点M，连接，则，，，
所以，则，又平面，平面，
所以平面.
（2）取中点，则，又，则，
由且都在面内，则面，
由，则面，面，故，
由，、平面，所以平面，
故为平面的一个法向量.
设平面的法向量，且，，
所以，即，令，得.
所以，
由图，二面角为钝二面角，所以二面角的大小为.
18．【答案】（1）极小值为，无极大值．
（2）答案见解析
（3）．
【详解】（1）．
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
在处取得极小值，极小值为，无极大值．
（2）的定义域为．
．
若，则为常函数，无单调区间．
若，则的单调递减区间为，无单调递增区间．
（3）因为，所以，即．
令函数，上式等价于．
在上恒成立，所以在上单调递增．
因为当时，，当时，，所以，即．
因为，所以，所以．
故a的取值范围是．
19．【答案】（1）（i）因为甲和乙每次进球的概率分别是和，
所以甲、乙两人各投篮一次，至少有一人进球的概率为. (3分)
（ii）由题知甲进球个，乙进球个或个，或甲进球个，乙进球个，乙获得1分，
记事件：甲进球个，乙进球个或个，
事件：甲进球个，乙进球个，事件表示乙获得1分，
则，（5分）
，（8分）
易知互斥，所以.（9分）
（2）因为一轮比赛结束后，乙获得1分的概率为
，（11分）
设轮比赛后，乙累计得分为，则，（13分）
由题知，又，函数在上单调递增，
所以，（15分）
由，得到，
所以至少进行轮比赛后，乙累计得分的期望值可以达到3分，此时.（17分）

展开更多......

收起↑