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第1章 三角形
1.3 全等三角形的判定
八上数学 SK
1.经历探索三角形全等的条件的过程，体会分析问题的方法，积累
数学活动的经验.
2.探索并掌握三角形全等的“边角边”“角边角”“角角边”和“边边边”
条件，掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”条件，并能利用这些
条件判定两个三角形全等，发展推理能力.
3.会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其
夹边作三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形，理解尺规作图
的基本原理和方法，发展空间观念.
4.能综合应用全等三角形的判定方法和性质解决相关的数学问题及
简单的实际问题，发展推理能力与应用意识.
5.了解三角形的稳定性及其在生活中的应用.
1.已知两边及其夹角作三角形
要求 作法 图示
用直尺和圆规作 ， 使 ， , . ___________________________________________________________ ①作 . ②在射线， 上 分别作线段， . ③连接 . 就是所求作的 三角形. _______________________________________
2.基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“ ”）.
3.书写格式
如图，在和中，
边
夹角
边
.
敲黑板
满足“边边角”的两个三角形不一定全等
两边及其中一边的对角相等，不能作为判定两个三角形全等的条件.
如图所示，在和中，，，，
显然和不全等.
编辑作答空间顺序
典例1 如图,
已知点是的中点,, .
求证： .
证明： 点是 的中点（已知）,
（线段中点的定义）.
在和 中，
列举全等的条件
确定三角形全等的结论
1.已知两角及其夹边作三角形
要求 作法 图示
用直尺和圆规作 ，使 , ， . _________________________________________________________________ ①作 . ②在 的同一侧分别 作 ， ， ， 相交于点 . 就是所求作的 三角形. _____________________________
2.基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
（简写成“角边角”或“ ”）.
3.书写格式
如图所示，在和中，
， 角
， 边
， 角
.
典例2 如图，已知点是 上一点，，，
．求证： ．
证明： （已知），
（两直线平行，内错角相等）.
在和 中,
.
解题通法
找等角的途径
（1）公共角相等；（2）对顶角相等；（3）等角加（或减）等角，
其和（或差）仍相等；（4）同角或等角的余（补）角相等；（5）
由角平分线的定义得到角相等；（6）由垂直的定义得到直角相等；
（7）由平行线的性质得到同位角或内错角相等.另外，一些自然规
律如“太阳光线可以看成是平行的”“光的反射角等于入射角”等也是
常见的隐含条件.
1.基本事实 的推论: 两角分别相等且其中一组等角的对边相
等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“ ”）.
2.书写格式
如图所示，在和中，
, 角
角
边
.
“”与“”的区别与联系
区别 联系
“ ”的意义 书写格式 “ ”是两角的夹 边. 把夹边相等写在两角 相等的中间. 由三角形内角和定
理可知，“ ”可
由“ ”推导得出.
“ ”是其中一角 的对边. 把两角相等写在一起，边相等写在最后. 典例3 如图，已知点，，， 在同一条直线上，
，，.求证： .
证明：， ，
.
，
，
.
在和中，
.
解题通法
找等边的途径
常见的隐含的相等的边有：（1）公共边相等；（2）等边加（或
减）等边，其和（或差）仍相等；（3）由中线的定义得出线段
相等.
1.已知三边作三角形
要求 作法 图示
用直尺和圆规作 ，使，, . _______________________________________________ ①作线段 . ②分别以点，为圆心，， 的长为半径画弧，两弧相交于 点 . ③连接， . 就是所求作的三角形. _________________________
2.基本事实: 三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或
“ ”）.
3.书写格式
如图，在和 中，
.
（1）判定两个三角形全等必须具备的三个条件中，“边”
是必不可少的.
（2）在三角形的六个元素（三条边和三个角）中，由已知的三对
元素对应相等可判定两个三角形全等的组合是“”“”“ ”和
“ ”.
典例4 如图，已知点，，， 在同一条直
线上，，， .
求证： .
证明： （已知），
（等式的性质），
即 .
在和 中，
．
如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就
完全确定.
三角形的这个性质叫作三角形的稳定性. 理论依据为“ ”
敲黑板
（1）稳定性是三角形特有的性质，该性质在生产和生活中具有广
泛的应用，如起重机、钢架桥等.
（2）四边及四边以上的图形不具有稳定性.四边形的不稳定性在生
活中也有广泛的应用，如活动挂架、折叠椅等.
典例5 如图所示，人字梯中间一般会设计一
根“拉杆”，这样做的道理是( )
C
A.两点之间，线段最短
B.垂线段最短
C.三角形具有稳定性
D.两直线平行，内错角相等
解析：人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这是为了构造三角形，
利用三角形的稳定性使人字梯更加牢固.
1.已知一直角边和斜边作直角三角形
要求 作法 图示
用直尺和圆规 作 ，使 ，, . ____________________________________ ①作 . ②在射线上截取 . ③以点为圆心， 的长为半径作 弧交射线于点 . ④连接 . 就是所求作的三角形. _________________________________
2.定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写
成“斜边、直角边”或“”）.
注意：“ ”是判定两个直角三角形全等特有的方法，对于一般的
三角形不适用.
3.书写格式
如图所示，在和中，
，
.
用“ ”判定两个直角三角形全等时，要突出“直角三角
形”这个条件，书写时应写成“ ”，不能写成
“ ”.
4.判定两个直角三角形全等的思路
已知的条件（除直角外） 可用的判定方法 需寻找的条件
一直角边对应相等 另一直角边对应相等
斜边对应相等
或 一锐角对应相等
斜边对应相等 一直角边对应相等
或 一锐角对应相等
一锐角对应相等 或 一边对应相等
典例6 在和中， ，下列条件：
，;,; ，
;, .其中能判定
的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：
条件 图示 符合的判定定理 ① ___________________________________________________ 可判定
② 可判定
③ 可判定
④ 可判定
典例6 在和中， ，下列条件：
，;,; ，
;, .其中能判定
的个数是( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4

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