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第1章 三角形
1.4 线段垂直平分线与角平分线
八上数学 SK
1.经历探索线段和角的轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特性，
发展空间观念.
2.掌握线段垂直平分线、角平分线的性质定理和判定定理，并能应
用它们进行计算、证明.
3.通过探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理能力.
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
性质定理 逆定理 图示
内 容 线段垂直平分线上的 点（任意一点）到线 段两端的距离相等. 到线段两端距离 相等的点在线段 的垂直平分线上. _______________________________________________
符 号 语 言 如图， 直线 于点,,点 在上， . , 点 在线段 的垂 直平分线上. 性质定理 逆定理 图示
应 用 证明线段相等. 确定点在线段的 垂直平分线上. _______________________________________________
线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
符号语言：如图，在中，
直线,, 分别垂直平分线段,, ,
直线,,相交于点，且 .
教材延伸
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且该点到三角形三个顶点
的距离相等.
典例1 （2025·常州期中）已知：如图，
，，点在 上.
求证： .
证明：连接 ，如图所示.
, （已知）,
点,在线段 的垂直平分线上（到线段两端
距离相等的点在线段的垂直平分线上），
直线是线段 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
点在 上，
（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
角平分线的性质定理及其逆定理
性质定理 逆定理（判定定理） 图示
内 容 角平分线上 的点（任意一点）到角两边的距离相等. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. ____________________________________
性质定理 逆定理（判定定理） 图示
符 号 语 言 如图， 平分 ， ， ， . ， ，，平分 . ____________________________________
性质定理 逆定理（判定定理） 图示
应 用 证明线段相 等. 证明角相等. ____________________________________
角平分线是到角两边距离相等的点的集合.
教材延伸
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离
相等.
符号语言:如图，,,分别是，,的平分
线，,,,，，相交于一点，
且.
典例2 如图，，分别是 的外角,
的平分线，且相交于点，试问点 在
的平分线上吗？试说明理由.
解：点在 的平分线上.理由如下：
如图，过点作,, ,垂足
分别为点，， .
点在的平分线上，且, ,
（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
同理可证 ，
，
点在 的平分线上（角的内部到角两边距
离相等的点在角的平分线上）.

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