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第1章 三角形
1.5 等腰三角形
八上数学 SK
1.经历等腰三角形性质和判定的探究过程，体验研究几何图形的基
本过程.
2.掌握等腰三角形及等边三角形的性质定理与判定定理、含 角
的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质，并能应用
它们进行计算和证明，发展推理能力.
3.会利用基本作图作三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形，
发展空间观念.
4.在“操作-探究-归纳-证明”的过程中，进一步发展有条理地思考和
表达的能力，发展合情推理和演绎推理的能力，感受分类、转化等
数学思想方法，不断积累数学经验.
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边
叫作腰.
提示：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称
轴.
2.等腰三角形的性质定理
性 质 性质叙述 符号语言 图示
等 边 对 等 角 等腰三角形的两底角相等. 在 中， , . ______________________
性 质 性质叙述 符号语言 图示
三 线 合 一 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线 重合. 在中， , , 平分 ，且 , ，且 平分 . 平分 , ，且 . ______________________________
应用“三线合一”的前提条件：一是等腰三角形，二是三
线中要具备一线（底边上的中线或底边上的高线或顶角的平分线）.
3.已知底边及底边上的高作等腰三角形
要求 作法 图示
用直尺和圆规 作等腰三角形 ，使底边 ，高 . （1）作线段 . （2）作线段的垂直平分线 , 交于点 . （3）在上截取线段 ,使. （4）连接, . 就是所求作的等腰三角形. ______________________________
典例1 如图，在中，，点 为的
中点， ，则 的度数为___， 的
度数为____．
解析：在中，因为，点为 的中
点，所以, ,
所以 ，
所以 ．
等腰三角形的判定方法
文字语言 符号语言 图示
定义 法 有两边相等的三角形是等腰三角形. 如图，在 中，， 为等腰三角形. _____________________
判定 定理 法 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）. 如图，在△ 中，∵∠ = ∠ ，∴△ 为等腰三角形. 等腰三角形的性质与判定的区别
条件 结论 作用
性质（等边对等角） 在同一个三角形 中，两条边相等. 这两条边所对的 角也相等. 证明角相
等.
判定（等角对等边） 在同一个三角形 中，两个角相等. 这两个角所对的 边也相等. 证明线段
相等.
典例2（1）已知：如图，在中，，
.求证： 是等腰三角形．
证明：，
.
， ，
是等腰三角形．
（2）如图，的边的垂直平分线
交 于点，交于点，且,
是等腰三角形吗？请说明理由.
解： 是等腰三角形.理由如下：
垂直平分， .
, ，
是等腰三角形.
1.等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三角形.
注意：等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴.
2.等边三角形的性质定理
文字语言 符号语言 图示
等边三角形各角 都等于 . 如图， 是等边三角形， . __________________________
等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的
一切性质，但等腰三角形不一定是等边三角形.
3.等边三角形的判定方法
方法 文字语言 符号语言 图示
定义 法 三边都相等的三 角形是等边三角 形. 如图， ， 为等边三角 形. ______________________________________
方法 文字语言 符号语言 图示
判定 定理1 三个角都相等的 三角形是等边三 角形. 如图， ， 为等边三角 形. ______________________________________
方法 文字语言 符号语言 图示
判定 定理2 有一个角是 的等腰三角形是 等边三角形. 如图， ， 或 或 ， 为等边三角形 ______________________________________
可以是顶角，
也可以是底角
典例3 如图，与相交于点，若 是等边
三角形，且.求证： 是等边三角形.
证明：是等边三角形， .
又, , ，
，
，
是等边三角形.
文字语言 符号语言 图示
在直角三角形中，如果一个 锐角等于 ，那么它所对 的直角边是斜边的一半. 在 中, ， , . ___________________
推导过程：
如图，以直线为对称轴，作 的对称图形
， ，
，, ，
，
,, 三点共线， .
，
是等边三角形，,即 .
该性质反过来说也成立，即在直角三角形中，如果一条直
角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 .
典例4 如图，在中， ， ， 平分
，交于点，若，求 的长.
解： 在中， ， ，
.
平分 ，
，
， .
在 中，
， ， ，
, .
文字语言 符号语言 图示
直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半. 在 中, ， 为 斜边上的中线， . __________________________
推导过程：
如图，延长到点 ，使,连接 .
是斜边 上的中线， .
又 ,
,, ,
, .
， .
又 ， ,
， .
应用直角三角形斜边上的中线的性质定理的前提是在直
角三角形中，且中线必须是斜边上的中线.
典例5 （徐州中考）如图，在 中，
，点为的中点，若 ，则
____ ．
35
解析：在中， ，点为 的中点，
是斜边上的中线， ，
， ．

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