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第2章 实数的初步认识
2.3 实数
八上数学 SK
1.了解无理数和实数的概念,知道实数由有理数和无理数组成,感悟
数系的第二次扩充.
2.能用有理数估计一个无理数的大致范围，形成估算意识.
3.初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系,能用数轴上的点表
示一些具体的实数,能比较实数的大小,体会数形结合思想.
4.能进行实数的简单运算,感悟数系扩充后有理数的绝对值、倒数、
相反数的意义、有理数的运算法则及运算性质在实数范围内同样适
用，进一步体会数的运算的一致性.
5.会用计算器求算术平方根和立方根以及进行实数的运算.
1.无理数:无限不循环小数叫作无理数.
小数的分类：
2.常见的无理数的形式：
（1）开方开不尽的数的方根，如，等.（带根号的数不一定
都是无理数.例如，不是无理数）
（2） 及化简后含 的数，如 ，（不是分数）,等.
（3）具有特殊结构的数，如 （相邻两个3之间
依次多一个0）.
典例1 下列各数：，，，，，， ,0,
（相邻两个2之间依次多一个0），其中无理数
有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解析：，是有限小数， 是有理数.
是无限循环小数， 是有理数.
是无限不循环小数， 是无理数.
，4是整数， 是有理数.
， 都是开方开不尽的数的方根，是无限不循环小数，
， 是无理数.
，是分数， 是有理数.
是整数， 是有理数.
（相邻两个2之间依次多一个0）是无限不循
环小数，
（相邻两个2之间依次多一个0）是无理数.
故无理数共有4个.
典例1 下列各数：，，，，，， ,0,
（相邻两个2之间依次多一个0），其中无理数
有( )
C
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
由于无理数是无限不循环小数，我们不可能写出一个无理数的小数
点后的所有数字，但我们可以采用“夹逼法”用有理数来确定一个无
理数的范围，如 .要估计带根号的无理数（如算术平
方根和立方根）的范围,可以通过平方运算或立方运算来确定.
例如,因为, ，,所以 ，
即 .
典例2 判断下面哪个无理数大于5且小于6，并说明理由.
,,
解：这三个数中， 大于5且小于6.理由如下：
因为,而 ，
所以,即 .
因为,而 ，
所以,即 .
因为,而 ,
所以,即 .
1.实数:有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
（1）按定义分类：
（2）按性质分类：
（1）在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数.
（2）引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩大到实数，今后
我们研究问题或计算时，若没有特殊说明，则应在实数范围内进行.
典例3 把下列各数填在相应的横线上:
0,,,, , , （相邻两个1之间依次多
一个0）, .
（1）有理数：_____________________.
（2）无理数：
_____________________________________________________.
0,,,,
, ,（相邻两个1之间依次多一个0）
（3）正实数：_____________________________________________
________________.
（4）负实数：___________.
,,,,（相邻两个1之
间依次多一个0）
,
典例3 把下列各数填在相应的横线上:
0,,,, , , （相邻两个1之间依次多
一个0）, .
1.用数轴上的点表示无理数
数轴上表示正无理数的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是
个单位长度；表示负无理数的点在数轴的负半轴上，与
原点的距离是个单位长度.
2.实数与数轴上的点的对应关系
实数与数轴上的点一一对应.
“一一对应”有两层含义：①每一个实数都可以用数轴上的
一个点来表示；②数轴上的每一个点都表示一个实数.
3.实数的大小比较（类比有理数的大小比较）
（1）对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的
点表示的实数大.
（2）正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；两个
负实数比较大小，绝对值大的反而小.
典例4 下列说法正确的有( )
①数轴上任意一点都表示一个有理数；②任意一个无理数都可以用
数轴上的一个点来表示；③任意一个实数都可以用数轴上的一个点
来表示；④有理数与数轴上的点一一对应.
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：数轴上的任意一点都表示一个实数，可能是有理数，也可能
是无理数，所以①错误；任意一个实数都可以用数轴上的一个点来
表示，所以②③正确；实数与数轴上的点一一对应，所以④错误.
典例5 如图，
面积为7的正方形的顶点在数轴
上，且表示的数为1．点到点与到
点 的距离相等，点 表示的数是_______________.
或
解析：因为正方形的面积为7，所以正方形的边长 ，
所以 ，
所以点表示的数为或 .
有理数的绝对值、倒数、相反数的意义，在实数范围内都仍然适用.
名称 表示 性质
绝对 值 实数 的绝对值表 示为 .
.
名称 表示 性质
倒数 与互为倒数 其中 . ,互为倒数，则 ；
正数的倒数是正数；负数的倒数是负
数；0没有倒数.
相反 数 实数 的相反数是 . 0的相反数是0；
,互为相反数,则 ;
互为相反数的两个数的绝对值相等，
即 .
典例6 求下列各数的相反数和绝对值：
（1） ；
解：的相反数是； .
（2） ；
解： 的相反数是 ； .
提示：提示 提示：若实数是两个数的和、差的形式，求它的相反数时，要先整体添加括号，再在括号的前面添加负号.如的相反数是.
（3） .
解：的相反数是.
，， ，
.
1.实数的运算：有理数的运算性质与运算律在实数范围内仍然适用.
（1）在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算.
（2）运算顺序：先乘方、开方,再乘、除,最后加、减；同级运算按
照从左到右的顺序进行.有括号的先算括号里面的.
（3）一般情况下,在进行实数运算的过程中,要做到“一看、二用、
三查”.
一看:看式子的结构特点,判断能否运用运算律或公式.
二用:运用运算律或公式进行计算.
三查:检查过程和结果是否正确.
2.用计算器求算术平方根或立方根的步骤:
（1）用计算器求一个正数的算术平方根：①按 （开机键）；
②在计算器上依次键入 ，显示结果即为的算术平方根.
（2）用计算器求一个数的立方根：①按 （开机键）；②在计
算器上依次键入 ,显示结果即为的立方根.
不同型号的计算器按键顺序有可能不同,应注意先阅读使
用说明书,再按照使用说明进行计算.
典例7 用计算器计算：
（1） ；
解：在计算器上依次键入 ,显示结果为
,即 .
（2） .
解：在计算器上依次键入 ，显示结果为
,即 .

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