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第2章 实数的初步认识
2.1 平方根
八上数学 SK
1.了解算术平方根、平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平
方根、平方根,发展抽象能力.
2.了解平方与开平方是互逆的运算，会用平方运算求百以内完全平
方数的平方根，发展运算能力.
3.能用算术平方根解决一些简单的实际问题，发展应用意识.
问题提出
已知正方形的边长，可以求出正方形的面积，那么已知正方形的面
积，如何求正方形的边长呢？
过程探究：设一个正方形的面积为，边长为，根据正方形的面积
公式，得到.下表列举了一些的值，请写出边长的对应值：
面积 1 2 3 4 …
边长
我们容易求出，当时，；当时， ，那么当
,3时， 是多少呢？
已知正方形的面积为 求边长,相当于求一个正数,这个正数的平方
等于 ,为了描述这种关系,我们引入算术平方根的概念.
概念总结：
算术平方根 内容 示例
定义 一般地，如果一个正数 的平方等于,即 ，那么这个正数叫作 的算术平方根. 规定：0的算术平方根是0，即 . 因为 ,所以9的算术平方根是3.
算术平方根 内容 示例
表示 非负数 的算术平方根记作，读作“根号”. 2，0，1的算术平方根分别记作 ，
， .
敲黑板
（1）只有正数和0有算术平方根,负数没有算术平方根.
（2）的双重非负性：,.
（2） ；
解：因为， ，
所以的算术平方根 .
典例1 求下列各数的算术平方根：
（1）1.96；
解：因为 ，
所以1.96的算术平方根 .
（4） ；
解：因为, ，
所以的算术平方根 .
（5） .
解：因为,所以的算术平方根 .
（3）169；
解：因为 ，
所以169的算术平方根 .
1.平方根
内容 示例
定 义 一般地，如果，那么叫作 的 平方根，也称为二次方根. ______________________________________________
表 示 正数的平方根记作 ，读作“正、 负根号”，其中表示 的算术平方 根，表示 的负的平方根.0的平 方根为0. 5的平方根记作 ；
9的平方根记作
.
内容 示例
性 质 ①一个正数有两个平方根，这两个平 方根互为相反数； 的平方根是0； ③负数没有平方根. 3的平方根有两个，为
； 没有平方根.
算术平方根与平方根的区别与联系
算术平方根 平方根
区 别 定 义 定义中的“”，强调 是正数. 定义中的“ ”，未
强调 是正数.
个 数 一个正数的算术平方根只 有一个，也是个正数. 一个正数的平方根有两个，它
们一正一负，且互为相反数.
表 示 ，其中 . ，其中 .
算术平方根 平方根
联系 ①具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根 是平方根中正的平方根； ②只有非负数才有平方根和算术平方根； ③特殊值0的平方根和算术平方根都是0. 典例2 求下列各数的平方根：
（1）81；
解：因为 ，
所以81的平方根 .
（2） ；
解：因为，且 ，
所以的平方根 .
（3）7；
解：7的平方根是 .
（4）;
解：因为 ，
所以的平方根 .
（5）0.25.
解：因为，所以0.25的平方根 .
实质是求 的平方根
2.开平方
定义 示例
求一个数的平方根的运算，叫作 开平方.这个数叫作被开方数. _________________________________________________________
与平方运算互为逆运算
（1）开平方时，被开方数必须是非负数，即 .
（2）被开方数越大，则对应的正的平方根也越大，即若 ，
则 .
图示：
典例3 求下列各式的值:
（1） ；
解：因为是的算术平方根，且 ，
所以 .
（2） ；
解：因为是121的负的平方根，且 ，
所以 .
（3） .
解：因为是0.01的平方根，且 ，
所以 .

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