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第3章 勾股定理
3.1 勾股定理的探究
八上数学 SK
1.经历探索勾股定理的过程,发展几何直观,体会数形结合的思想.
2.能够应用勾股定理求直角三角形中未知边的长，提升运算能力.
3.能够应用已有的数学知识验证勾股定理，了解用割、补、拼等方
法验证勾股定理的过程,发展推理能力.
问题提出
直角三角形的内角之间存在一些特殊的关系：一个角为直角，另外
两个锐角互余.那么，直角三角形的三条边之间是否也存在某种特
殊关系呢？
探索过程
观 察 图示 _________________________________ _______________________________________
，， 的面积 三角形的三边平方分别是正方形，， 的面积. 9，9，18 16，9，25
数量关系
猜 想 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
验 证 在方格纸中画出类似图示中的图形或任意
画一个直角三角形，经测量进一步验证以
上猜想.__________________________________
归 纳 勾股定理 图示 符号语言
直角三角 形两直角 边的平方 和等于斜 边的平 方. _____________________________________________________________ 在 中，若
， ,
, ，则
.
勾股定理只适用于直角三角形，其揭示的是直角三角形
三边长之间的平方关系.
典例1 在中,,,的对边分别是,, .
（1）若 ,,,求 ；
解： ,, ,
根据勾股定理,可得 ,
.
（2）若 ,,,求 ;
解：,
设, .
, ,
根据勾股定理,可得,
,
.
（3）若,,求 .
解：题中的直角边和斜边不明确，故需分类讨论.
， 不可能为直角三角形的斜边，
当 是直角三角形的斜边时，根据勾股定理，可得
， .
当 是直角三角形的斜边时,根据勾股定理，可得
， .
综上所述,的值为10或 .
步骤：
1.拆分：把无理数 的平方拆分为两个整数的平方和，即
.
2.构图：借助数轴构造直角三角形，使两直角边长分别为
，（则斜边的长为 ），原点为直角三角形的锐角顶点，
其中一条直角边与数轴重合.
3.定点：以原点为圆心，斜边长 为半径画弧，弧与数轴
正半轴的交点即为表示 的点.
图示：
实数与数轴上的点一一对应，
利用勾股定理，可以将无理
数在数轴上表示出来，体现
了数形结合思想
当在数轴上画表示无理数的点时，以原点为圆心，向正
方向画弧得到正无理数，向负方向画弧得到负无理数.
典例2 在数轴上作出表示 的点.
解：如图所示.
（1）画出数轴，在数轴上找出表示3的点，则 ；
（2）过点作垂直于数轴，在上取点，使 ；
（3）连接，以点为圆心， 长为半径作弧，弧与数轴的正半
轴交于点，点即为表示 的点.
勾股定理的证明有很多方法，其中结合图形的切割、拼接，通过面
积相等证明是最常见的一种方法，举例如下.
方法 图形 证明
“赵 爽弦 图” __________________________________ 因为大正方形的边长为 ，所以大正
方形的面积为 .又大正方形的面积
,所
以 .
方法 图形 证明
刘徽 “青 朱出 入 图” __________________________________________ 设大正方形的面积为，则 .根
据“出入相补，以盈补虚”的原理，得
,所以 .
方法 图形 证明
伽菲 尔德 总统 证法 _________________________________________________ 设梯形的面积为 ，则
.又
,所
以 .
方法 图形 证明
毕达 哥拉 斯拼 图 ___________________ 由图（1）得大正方形的面积
,由图（2）得大正方
形的面积 ,联立
两式易得 .
图形割补、拼接过程中，不能遗漏，不能重复，没有空
隙，因而操作前后图形面积不变.
典例3 将两个全等的直角三角形按图所示的方式摆放，连接
，其中 .求证： ．
证明：如图，连接，过点作的边
上的高，交的延长线于点，则 .
.
,
即 ，
教材延伸 锐角三角形、钝角三角形的三边关系
（1）在锐角三角形中，三边长分别为,, 为最长边的长，则 ;（2）在钝角三角形中，三边长分别为,,为最长边的长，则 .

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