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第2章 特殊三角形
2.7 探索勾股定理
八上数学 ZJ
1.经历用测量、数格子（或割、补、拼等）的方法探索、验证勾股
定理的过程,了解勾股定理的各种探究方法及内在联系,发展几何直
观和推理能力。
2.探索勾股定理的逆定理，了解勾股定理及其逆定理之间的关系，
发展推理能力。
3.在具体情境中,能运用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题,
发展应用意识。
勾股定理 几何语言 图示
直角三角形两条直 角边长的平方和等 于斜边长的平方。 在中，若 , ,, ,则 。 __________________
（1）可变形为， ，故
已知直角三角形中任意两边的长，即可求第三边的长。（2）勾股定
理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是在直角三角形中。
典例1 在中,，，的对边长分别为，， 。
（1）若 ，,，求 ；
解：因为 ，, ，
所以由勾股定理，得 。
因为，所以 。
（2）若 ， ，，求 ；
解：因为 ，,所以 。
所以由勾股定理，得,解得舍去 。
所以 。
（3）若，，求 。
解：当 是斜边长时，由勾股定理，得
。
因为，所以 。
当是直角边长时，由勾股定理，得 。
因为，所以 。
综上,或 。
勾股定理的证明有很多方法，其中结合图形的切割、拼接，通过面
积证明是最常见的一种方法，举例列表如下。
方法 图形 证明
“赵爽 弦图” ______________________________________ 因为大正方形的边长为 ，所以大正方
形的面积为 。又因为大正方形的面
积 ,所
以 。
方法 图形 证明
刘徽 “青朱 出入 图” __________________________________________ 设大正方形的面积为，则 。根
据“出入相补（又称以盈补虚）”的原
理，得 ,所以 。
方法 图形 证明
加菲 尔德 总统 拼图 ____________________________________________ 设直角梯形的面积为 ，则
。又因为 ,所以 。
方法 图形 证明
毕达 哥拉 斯拼 图 __________________ 由图（1）得大正方形的面积
,由图（2）得大正方形
的面积 ,联立两式
易得 。
典例2 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启
发人们发现了勾股定理的一种验证方法。如
图所示，火柴盒倒下后，它的一个侧面
到了四边形的位置，连结 ，
，，设，， 。请
利用四边形的面积验证勾股定理： 。
解：因为四边形 为直角梯形，
所以 。
因为,所以， ,
所以 ,
所以
,
所以，即 。
勾股定理的逆定理 几何语言 图示
如果三角形中两边长的 平方和等于第三边长的 平方,那么这个三角形是 直角三角形。 在 中,因为 ,所以 是直角三角形,且 。 _________________________________
在推导过程中不能说成“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，
因为还没有确定此三角形是直角三角形。
勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在 中， 。 在 中，
。
结论 。 为直角三角形，且
。
区别与 联系 敲黑板
直角三角形的判定方法
判定类型 判定方法
用角判定 （定义法） 有一个内角是直角的三角形是直角三角形。
用角判定 两个角互余的三角形是直角三角形。
用边判定（勾股定理的逆定理） 如果三角形的三边长,, 有关系 ,
那么这个三角形是直角三角形。
典例3 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形。
（1）在中, , ；
解：（1）在中,因为 ,
所以 ，所以 是直角三角形。
（2）在中,,, ；
（2）在中,因为 ,
，所以，
所以是直角三角形,且 为直角。
（3）一个三角形的三边长,,满足 。
解：因为一个三角形的三边长,,满足 ,
所以,所以该三角形是直角三角形,且长为 的边所对的
角为直角。

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