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第3章 一元一次不等式
3.3 一元一次不等式及其解法
八上数学 ZJ
1.理解一元一次不等式的概念。
2.理解一元一次不等式的解与解集的概念，并会在数轴上表示出一
元一次不等式的解集，体会数形结合思想。
3.掌握解一元一次不等式的一般步骤，并会解一元一次不等式，发
展运算能力。
4.由实际问题抽象出一元一次不等式，并会应用一元一次不等式解
决实际生活中的问题，培养应用意识。
1.一元一次不等式：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知
数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫作一元一次不等式。
一元一次不等式与一元一次方程的相同点和不同点
一元一次不等式 一元一次方程
相同点 未知数的个数 1（一元） 未知数的最高次 数 1（一次） 式子的特点 左右两边均为整式 不同点 表示的关系 用不等号表示不 等关系 用等号表示相等
关系
2.一元一次不等式的辨识关键点：
（1）两边都是整式；
（2）化简后只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数为一次；
（4）用不等号连接。
它与一元一次方程的最大区别在于一个是不等式，一个是
等式。
典例1 下列不等式中，是一元一次不等式的是( )
D
A. B. C. D.
解析：
选项 分析 结论
A 含有两个未知数。 不是
B 含有两个未知数，且未知数的最高次数为2次。 不是
C 不等式的左边不是整式。 不是
D 符合一元一次不等式的概念。 是
1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解。
一般情况下，不等式的解有无数个,但不等式的特殊解可以
是有限个。
典例2 在，，0，1中，是不等式 的解的是___。
1
解析：
数值 不等式左边 不等式右边 作出判断
1 因为，所以 不是不等式的解。
1 因为，所以 不是不等式的解。
0 0 1 因为0<1 ，所以0不是不等式的解。
1 2 1 因为2>1 ，所以1是不等式的解。
2.不等式的解集：不等式所有解的全体称为这个不等式的解集。
进一步理解：
（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；
（2）能够使不等式成立的所有数值都在该解集中
不等式的解集是一个取值范围，特殊情况下也可能是具体的某几个数或某一个数。
不等式的解与解集的区别与联系
不等式的解 不等式的解集
区别 不等式的解是使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集是使不等式成立的所有未知数的值。
举例：是不等式 的解集，而是不等式 的一个解，且在 这个范围内
联系 解集包含不等式的所有解，不等式的所有解组成解集。 3.解不等式：求不等式解集的过程叫作解不等式。
解不等式的主要依据是不等式的基本性质，解不等式的实
质是把不等式变形成“”（或“”），“”（或“ ”）
的形式。
典例3 下列说法正确的是( )
D
A.是不等式 的唯一解
B.是不等式 的解集
C.是不等式 的解集
D.是不等式 的解集
解析：当时，不等式成立，故 是不等式
的解，但不是唯一解，更不能说是不等式
的解集，故选项A，B错误；由不等式的基本性质3，得不等式
的解集为 ，故选项C不正确，选项D正确。
解一元一次不等式的步骤如下表：
步骤 具体做法 根据 注意事项
去分 母 不等式的两边都乘各分母的最小公倍数。 不等式的基本性质3。 （1）不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号。
去括 号 一般先去小括号,再去中括号，最后去大括号。 单项式乘多项式法则。 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号。
步骤 具体做法 根据 注意事项
移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边。 不等式的基本性质2。 （1）所移的项要改变符号，不移的项不改变符号；（2）移项时，不等号的方向不改变。
合并 同类 项 同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变， 或 。 合并同类项法则。
当 时，不等式中不等号必须改变方向，这是与解一元
一次方程的不同之处。
步骤 具体做法 根据 注意事项
系数 化为 1 不等式的两边都除以 或乘 ，将不等式化为 或 的形式。 不等式的基本性质3。 当不等式的两边都乘
（或都除以）同一个负
数时，不等号的方向要
改变。
典例4 解不等式 ，并把解集表示在数轴上。
解：去分母，得 。
去括号，得 。
移项，得 。
合并同类项，得 。
两边都除以，得 。
典例4 解不等式 ，并把解集表示在数轴上。
不等式的解集表示在数轴上如图所示。
有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能
把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式解决实际问题。
列不等式解决实际问题的步骤与列方程解决实际问题的步骤类似：
步骤 具体做法 注意事项
审 认真审题，找出已知量和 未知量，并找出它们之间 的不等关系。 抓住题目中的关键词，如“大于”
“小于”“不等于”“不小于”“至少”
“超过”等。
设 设出适当的未知数。 表示不等关系的文字如“至少”
“最多”等不能出现。
步骤 具体做法 注意事项
列 根据题中的不等关系列出 不等式。 两边所表示的量应该相同，并且
单位要统一。
解 解不等式，求出其解集。 不等号的方向不要出错。
验 检验所求出的不等式的解 集是否符合题意。 一满足不等式；二符合实际意
义。
答 写出答案。 应把表示不等关系的文字补上。
典例5 某学校为促进学生的全面发展，丰富学生的体育活动形式，
准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单
价相同，买一个足球需要50元，买一个篮球需要80元。根据实际需
要，该学校从体育用品商店一次性购买了三种球共100个，且购买三
种球的总费用不超过6 000元，则这所学校最多可购买篮球____个。
33
解析：设该学校购买篮球 个，（设未知数时，“最多”不能出现）
根据题意，得 ，解得 。
因为是整数，所以 的最大值是33。

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