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第4章 图形与坐标
4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
八上数学 ZJ
1.掌握关于坐标轴对称的两个点的坐标特征，会求与已知点关于坐
标轴对称的点的坐标。
2.能利用关于坐标轴对称的两个点的坐标关系，求作轴对称图形，
发展几何直观。
3.掌握平移前后点的坐标特征，会求已知点经平移后所得的对应点
的坐标。
4.能利用平移前后对应点之间的坐标关系，分析已知图形的平移，
体会用代数方法表达图形变化的意义。
问题提出
在平面直角坐标系中，关于坐标轴成轴对称的两个点的坐标有什么
特点？
画图探究：如图1，在平面直角坐标系中，
已知点的坐标为。分别描出点关于
轴的对称点，点关于轴的对称点，
写出点和点的坐标。点与点和点
的坐标有什么关系
图1
图2
如图2，点的坐标是，点的坐标是 。
点与点 的横坐标相同，纵坐标互为相反数；
点与点 的横坐标互为相反数，纵坐标相同。
自行探究验证：任取一点，将点 的横坐标保持不变，纵坐标乘
，得出点的坐标；将点的横坐标乘 ，纵坐标保持不变，
得出点的坐标，在平面直角坐标系中画出点，点和点 。你
发现点与点和点 有什么位置关系？
举例：如任取一点，
可得出点，
点 ，画图如右图：
发现： 点与点关于x轴对称，点P与点 关于y轴对称。
得出结论:在平面直角坐标系中,点(a,b)关于x轴的对称点的坐
标为(a,-b),关于y轴的对称点的坐标为(-a,b)。
教材延伸
关于特殊直线对称的点的坐标变化 图 示 _____________________________ ___________________________________ __________________________________ _______________________________
关于特殊直线对称的点的坐标变化 结 论 点 关 于第一、三 象限的角平 分线 即直线 的对 称点为 , 。 点 关于 第二、四象限 的角平分线 即直线 的对 称点为 。 点 关于 过点 且垂 直于 轴的直线 即直线 的对称 点为 。 点 关于
过点 且
垂直 轴的直
线 即直线
的对称
点为
, 。
典例1 在平面直角坐标系中，
（1）点关于 轴的对称点在第____象限；
一
解析：(1)点关于轴的对称点的坐标是，点 在
第一象限，所以点关于 轴的对称点在第一象限。
（2）若点与点关于轴对称，则___， ____。
3
(2)若点与点关于轴对称，则， 。
在平面直角坐标系中，图形的轴对称与该图形上点的轴对称一致。
（1）图形关于 轴对称，图形上点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；
（2）图形关于 轴对称，图形上点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。
典例2如图，在直角坐标系中，的顶点,,
的坐标分别为，， 。在图中作
出关于轴对称的图形 。
解：点，，关于 轴的对称点的坐标分别
为，， ，
在直角坐标系中描出点，，，
连结，， ，如图。
即为所求图形。
在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生了变化，坐标
也发生了变化，具体情况如下其中
点 的平移方式 平移后点的坐标 规律
沿 轴方向平 移 向左平移 个单 位长度 左右平移，横坐
标左减右加，纵
坐标不变。
向右平移 个单 位长度 点 的平移方式 平移后点的坐标 规律
沿 轴方向平 移 向上平移 个单 位长度 上下平移，横坐
标不变，纵坐标
上加下减。
向下平移 个单 位长度 敲黑板
点的平移方式 点的坐标的变化
根据点平移的方向和距离，可以得出点的坐标的变化情况；反过来，
根据点的横、纵坐标的变化情况，可以判断出点平移的方向和距离。
解析：
典例3 （一题多变）在平面直角坐标系中，将点 向右平移3
个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点 的
坐标是______。
图形的平移实际是图形上点的平移，因此图形的平移与该图形
上点的平移一致。只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小
（1）图形沿轴向右（或左）平移 个单位长度，图形上各
个点的横坐标都加（或减） ，纵坐标不变；
（2）图形沿轴向上（或下）平移 个单位长度，图形上各
个点的纵坐标都加（或减） ，横坐标不变。
一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到
的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到。
典例4（1）线段是由线段平移得到的，点 的对应点
为点，则点的对应点 的坐标为________。
解析：因为点的对应点为点，所以从线段 到线
段 的一种平移方式为先向下平移4个单位长度，再向右平移4个
单位长度。因为点,点是点的对应点，所以点 的横坐
标为，纵坐标为，所以点 的坐标为
。
（2）把以点， 为端点的线段先向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线
段，线段 上任意一点的坐标可表示为________________。
解析：由题意可得，点的坐标为，即，点
的坐标为，即，所以线段 上点的横坐标的取
值范围为，纵坐标为5，所以线段 上任意一点的坐标
可表示为 。

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