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第5章 一次函数
5.2 认识函数
八上数学 ZJ
1.通过实例，了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。
2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，发展模型观念。
3.能确定简单实际问题中的函数自变量的取值范围，会求函数值。
4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理
解函数值的意义，体会数形结合思想。
图1
情境感知：近年来，冰雪文化和冰雪经
济成为哈尔滨高质量发展的新动能和对
外开放的新纽带，吸引了来自海内外的
大批游客，2025年开发的冰滑道娱乐项
目更为“尔滨”冰雪大世界增光溢彩，如
图1所示。图2反映的是冰滑道上某一点
的垂直高度 与下滑时间 之间的关系。
图2
根据图2填表：
1 2 3 4 5 6
175 160 135 100 55 0
问题提出
上面的变化过程中，有几个变量？对于给定的时间值，相应的高
度确定吗？的值唯一吗？与之间是一种什么关系？
在一个变化过程中有两个变量，并且对于的每一个值，都有唯一
的值与它对应。为了定义与的这种关系，我们引入函数这一概念。
函数：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量， ，并且
对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应,那么就说
是的函数， 叫做自变量。
在有两个变量的变化过程中，主动变化的量称为自变量
概念深化：函数的本质是两个变量的对应关系,即自变量 的每一个
值，都有唯一的值与它对应，但对于自变量的几个不同值， 的
值可以相同。
典例1 给出下列各式：；； ；
。其中是 的函数的有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：,,中，对于 的每一个确定的值，
都有唯一确定的值与之对应，所以是的函数； 中,
当时，，所以这个式子不满足函数的概念，所以 不
是 的函数。
三种常用的表示函数的方法,如下表所示:
表示 方法 定义 优点 缺点
解析 法 用等式表示函数与自变 量之间的关系,这种等 式叫作函数表达式，简 称为函数式。用函数表 达式表示函数的方法也 叫解析法。 能准确地反映 整个变化过程 中自变量与函 数值的对应关 系。 从函数表达式中不
易直观地看出函数
的变化规律,而且有
些函数不能用函数
表达式表示。
表示 方法 定义 优点 缺点
列表 法 把自变量的所有取值与 对应的函数值列成一张 表,这种表示函数的方 法称为列表法。 一目了然,对表 格中已有自变 量的每一个值, 可直接查出与 之对应的函数 值。 列出的对应值是有
限的,而且在表格中
也不容易看出函数
的变化规律。
表示 方法 定义 优点 缺点
图象 法 在直角坐标系中，用图 象表示变量的函数关 系，称为图象法。 能直观、形象 地反映出函数 关系变化的趋 势。 由自变量的值常常
难以找到准确的对
应函数值。
三种表示方法对比如下表：
表示方法 直观性 形象性 全面性 准确性
解析法 弱 弱 强 强
列表法 强 弱 弱 强
图象法 强 强 弱 弱
（1）一般地，函数的三种表示方法可以相互转化。
（2）并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来，如气温关于
时间的函数，只能用列表法和图象法表示，而不能用解析法来表示。
典例2 百货大楼进了一批花布，出售时在进价的基础上加一定的利
润，其数量与售价 如下表：
数量 米 2 3 4 5 …
售价 元
下列用数量表示售价 的函数表达式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
解析：因为当时，；
当 时，；
当 时，
所以 。
数量 米 2 3 4 5 …
售价 元
典例2 百货大楼进了一批花布，出售时在进价的基础上加一定的利
润，其数量与售价 如下表：
数量 米 2 3 4 5 …
售价 元
下列用数量表示售价 的函数表达式中，正确的是( )
C
A. B.
C. D.
1.函数值：对于自变量的一个值，函数 的对应值称为函数值。
取不同的值，函数值可能不相等，因此应该说明当自变
量 取什么值时的函数值。
2.求函数值的方法：
函数的表示方法 求函数值的方法
解析法 将自变量的值代入函数表达式，计算求得
对应的函数值
列表法 观察表格可得出某一自变量对应的函数值
图象法 ________________________________________________________________________________
说明:若已知函数值，也可通过其中一种方法逆向求得相对应的
自变量的值，如，当时，，此时
典例3 小汽车开始行驶时，油箱中原有油 ，如果每小时耗油
，那么油箱中剩余油量关于行驶时间 的函数表达式是
____________。当时，函数值 ____，它的实际意义是
_______________________________________ 。当油箱中剩余油
量为时，自变量 ___。
解析：由题意，得油箱中剩余油量关于行驶时间 的函数表
达式是。当时， ，它的实际
意义是当行驶4小时时，汽车油箱中剩余油量。当 时，
，解得 。
24
6
当行驶4小时时，汽车油箱中剩余油量
在函数式中，自变量的取值要使函数式有意义，常见的函数式及自
变量的取值范围如下表：
类型 特点 举例 自变量的
取值范围
自变量在整式中 等号右边是整式。 为全体实 数） 全体实
数。
在实际问题中，自变量的取值还要使实际问题有意义
类型 特点 举例 自变量的
取值范围
自变量在分母中 等号右边的自变量 在分母的位置上。 使分母不
为0的实
数。
自变量在二次根 号下 等号右边是开平方 的式子。 使被开方
数大于或
等于0的实
数。
类型 特点 举例 自变量的
取值范围
自变量是零次幂 （负整数次幂） 的底数 等号右边是自变量 的零次幂或负整数 次幂。 , 使幂的底
数不为0的
实数。
典例4 求出下列函数自变量的取值范围（使函数式有意义）：
求自变量的取值范围的实质就是解不等式或不等式组
（1） ；
解：(1)要使函数式有意义，需，解得 。
（2） ；
(2)要使函数式有意义，需解得且 。
（3） 。
(3)要使函数式有意义，需解得且 。
求函数表达式的常见类型：
（1）利用公式写出函数表达式,如三角形、长方形的面积公式、立
方体的体积公式等；
（2）根据实际问题中的基本数量关系写出函数表达式；
（3）根据表格中所列的数据，找出规律，写出函数表达式;
（4）根据图形或数字规律写出函数表达式。
典例5（1）（2025·杭州西湖区校级测试）某商场为了增加销售额，
推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商
场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠。”在酬
宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品 件
，则应付款（元）关于商品件数 （件）的函数表达式为
_____________；
解析：(1)由题意，得应付款（元）关于商品件数 （件）的函数表
达式为，即 。
（2）如图是1个纸杯和 个叠放在一起的纸杯的示
意图， 个纸杯叠放所形成的高度为,设杯子底部
到杯沿底边高为 ，杯沿高为，均为常量，
是的函数，随着 的变化规律可以用函数表达式
___________描述。
解析：(2)由图可知，每增加一个杯子高度增加，所以随着 的变
化规律为 。
1.函数的图象：把一个函数的自变量的值与函数 的对应值分别作
为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这
些点组成的图形叫作这个函数的图象。
2.优点：函数的图象能直观地反映函数的性质和函数的变化趋势，
是研究和处理有关函数问题的重要工具。
（1）在利用图象解决问题时，一定要分清横轴和纵轴分
别表示哪个变量；（2）横轴与纵轴的单位长度不一定相同。
典例6 小王周末骑电动车从家出发去商
场买东西，当他骑了一段路时，想起要
买一本书，于是原路返回到刚经过的书
店，买到书后继续前往商场，如图是他
离家的距离与时间的关系示意图，
请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小王家距离书店多远？
解：(1)由函数图象可知，小王家距离书店4 000米。
（2）小王在书店停留了多长时间？
(2)小王在书店停留了 （分）。
（3）书店到商场的距离是多少？
(3)书店到商场的距离是 （米）。

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