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2025赛季二试模拟（三)
1.(40分)点A、B、P位于圆n1上，且∠APB为纯角，点Q为P在AB上的垂直投
影。以P为圆心，PQ为半径作圆n2,过点A与圆n1相切的另外一条切线AE与圆2，相
切于点E,与圆21交于点F,过点B与圆0，相切的另外一条切线BG与圆，相切于点G,
与圆Q1交于点H,证明，FH与Q,相切。
H
02
2.(40分)设、k是正整数，n>k,给定实数a1,a2,…,a,∈(k一1，k),设正实数
之1，x2,…,x,满足对1,2，…，}的胚意大元子槊1，裕有x,≤日a,求x1x之
的最大值。
3.(50分)设c为正整数，对于任：意的”∈N,有[Vm+√n+I+√n+z+√n+3]=
L√16n+c]成立，求所有的c。
4,(50分)集合M=(1,2,…,100)。对于每个非空的A三M,定义f(A)={x∈
M|z被集合A中的奇数个元紫整除)。我们对M的所有满足A≠f(A)的非空子集A进
行分组，使得集合A与∫(A)在不同的组。在满足上述要求，且组数最少的情况下，求每组中
子集的个数。
2025赛季二试模拟（三)答案
1,证法一：如图1，作PK⊥FH于点K,只周证明PK=PQ。由
FA、BH分别与圆Q:相切于点E、G,则有Rt△AEP2R△AQP,
R△PBQ2Rt△PBG,则
∠ABP-∠PBH,得AP=PH、又∠EAP=∠PHG=∠PHK,所
B
以R△AEP2R△HKP,得PK=PE(图n,的半径)，所以FH是圆
2的切线.
证法二：如图2，因为AF、BH是圆n,的切覦，要证明FH也是圆
,的切线，只需证明圆，的围心P是AF、BH、FH这三条直线围成
(馆1题图1)
的三角形的内心、FA、BH分别与图D:相切于E、G,如图2，延长
FA、BH相交于点R。因为PQ⊥AB,PQ为圆n,的半径，则有点P
是△ABR的内心，所以RP、BP、AP分别是∠ARB、∠ABR、∠BAR
的平分线，所以∠ABP=∠PBH.
在田n,中，∠AFP=∠ABP=∠PBH=∠PFH,则FP是
△FHR的∠RFH的平分线.
又因为RP是△FHR的∠FRH的平分线，所以两条角平分线的
交点P也是△FHR的内心，则FH是因n,的切线，
2.最大值为a,4,a。·
若x:=a1,1≤i≤n,则x1,x,,x.满足条件，且
x1zz“z。=01a“a。0
下面证明：总有z1x,"x。≤a0,“a…
当k=1时结论显然成立，由条件即得x1=a,1≤i≤n,
(第1题图2)
以下假设k≥2，不失一殷性，设a1一x1≤a:一x2≤…≤a。一x.
若a1一z1≥0，则a1≥x1,1≤i≤n,结论且然成立，以下假设a1一x1<0.
取I=1,2,…,k),由条件知
2a,-x≥0，
①
所以必有a1一工1≥0，得存在5,1≤3a1-z1≤…≤a,-z,<0≤a州-xn≤…≤a1-xa≤…≤a、-x
记d,月a(-xl,1≤i≤n,则d≥…≥d,>0,0≤d≤…≤d≤…≤d,并且
由①狠
-d1-…-d,+dn十…+d≥0，
即dH十…十d,≥d1十…十d

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