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2024-2025学年上海市金山区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）
1．下列函数中，一次函数是　　
A． B．
C． D．、是常数）
2．直线不经过第　　象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．如果一个多边形内角和等于它外角和的两倍，那么这个多边形是　　
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
4．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，对角线和相交于点．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是　　
A．， B．，
C．， D．，
6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将直线的图象向左平移5个单位长度得到新的直线分别交轴和轴于、两点，若点，，都是整数）在△内部（不包括边界），则点的个数是　　
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．直线的截距是　　 ．
8．在中，，，那么的周长等于　　．
9．已知一次函数，如果（a），则的值是 　　 ．
10．方程的根是　　 ．
11．方程的根是　　 ．
12．如果方程无实数解，那么的取值范围是　　 ．
13．已知直线在轴上的截距为3，那么该直线与轴的交点坐标为　　 ．
14．某多边形从一个顶点出发有5条对角线，则该多边形共有　　 条对角线．
15．已知一次函数解析式为，求在这个一次函数图象上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围是　　 ．
16．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是　　 ．
17．一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有　　 名，士兵有　　 名．
18．如图，在△中，，，．点在边上，将△沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结．当△是直角三角形时，的长为　　 ．
三、简答题：（本大题共3题，每题6分，满分18分）
19．解方程：．
20．解方程：．
21．解方程组：．
四、解答题（本大题共5题，第22题6分，第23、24、25题8分，第26题10分，满分40分）
22．上海乐高乐园度假区位于金山区枫泾镇，是全球最大的乐高乐园之一，它将于2025年夏季开园迎客．乐园提供甲、乙两种规格的乐高积木套装．甲套装的积木块数比乙套装少30块，但甲套装每块积木的平均价格比乙套装高2元．已知花费360元购买甲套装所获得的积木块数，与花费300元购买乙套装所获得的积木块数相等．求甲、乙两种套装每块积木的平均价格分别是多少？
23．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求与的函数表达式；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
24．如图，在中，的角平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，连接、，求证：四边形是平行四边形．
25．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．
（1）操作发现：
如图①，将△纸片按所示折叠成完美矩形，若△的面积为12，，则此完美矩形的边长 　　 ，面积为 　　 ．
（2）类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为24，，则完美矩形的周长为 　　 ．
（3）拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．
26．已知直线的图象与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限作等边三角形．
（1）求直线的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）点，在直线上是否存在一点使得三角形为等腰三角形？若存在直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）
1．下列函数中，一次函数是　　
A． B．
C． D．、是常数）
解：根据一次函数的定义，是一次函数，而、、、是常数）均不是一次函数，
符合题意，不符合题意．
故选：．
2．直线不经过第　　象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
解：，，
直线经过第一、二、四象限．
故选：．
3．如果一个多边形内角和等于它外角和的两倍，那么这个多边形是　　
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
解：根据题意，得
，
解得：，
故选：．
4．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
解：一次函数的图象过一、二、三象限，
，，
一次函数的图象过一、三、四象限，
，，
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
5．如图，在四边形中，对角线和相交于点．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是　　
A．， B．，
C．， D．，
解：、，，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、，，
四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意；
、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、，，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
故选：．
6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将直线的图象向左平移5个单位长度得到新的直线分别交轴和轴于、两点，若点，，都是整数）在△内部（不包括边界），则点的个数是　　
A．7 B．8 C．9 D．10
解：根据题意知，平移后直线方程为．
所以，．
当时，；时，，
若点，，都是整数）在△内部（不包括边界），
则有，，，，，，共7个，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．直线的截距是　5　 ．
解：令，则，
故答案为：5．
8．在中，，，那么的周长等于　24　 ．
解：平行四边形的对边相等，，
所以平行四边形的周长为．
故答案为：24．
9．已知一次函数，如果（a），则的值是 　15　 ．
解：把代入得（a），
解得．
故答案为：15．
10．方程的根是　　 ．
解：由立方根的定义得：，
即，
解得，
故答案为：．
11．方程的根是　　 ．
解：，
或．
或．
经检验，不是原方程的解，是原方程的解．
原方程的解为：．
12．如果方程无实数解，那么的取值范围是　　 ．
解：已知方程，
则，
原方程无实数解，
，
解得：，
故答案为：．
13．已知直线在轴上的截距为3，那么该直线与轴的交点坐标为　，　 ．
解：由条件可知，解得，
直线解析式为，
令，可得，
解得，
直线与轴的交点坐标为，，
故答案为：，．
14．某多边形从一个顶点出发有5条对角线，则该多边形共有　20　 条对角线．
解：设多边形有条边，
则有条对角线，
则，
解得．
，
故该多边形共有20条对角线．
故答案为：20．
15．已知一次函数解析式为，求在这个一次函数图象上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围是　　 ．
解：当时，，
解得，
，
随的增大而增大，
在这个函数的图象上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围为．
故答案为：．
16．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是　　 ．
解：若设，则原方程可以化为，
即，
故答案为：．
17．一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有　200　 名，士兵有　　 名．
解：设军官有名，士兵有名．根据题意得：
，
解得．
故答案为：200，800．
18．如图，在△中，，，．点在边上，将△沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结．当△是直角三角形时，的长为　5或2　 ．
解：①当时，则在上，如图，
，，，
，
△沿直线翻折，
，，
，
设，
则，
在△中，由勾股定理得，，
，即：；
②当，如图，
则，
△沿直线翻折，
，，
四边形为正方形，
，
，
故答案为：5或2．
三、简答题：（本大题共3题，每题6分，满分18分）
19．解方程：．
解：去分母得：，
解得：或，
检验：当时，，
当时，，
分式方程的解为．
20．解方程：．
解：，
移项，得，
两边平方，得，
整理，得，
，
或．
经检验，是原方程的解．
原方程的解为：．
21．解方程组：．
解：依题意，由由方程②可得：，
代入方程①可得：
，
解得：，，
把的值代入，
可得：，，
所以方程组的解为：或．
四、解答题（本大题共5题，第22题6分，第23、24、25题8分，第26题10分，满分40分）
22．上海乐高乐园度假区位于金山区枫泾镇，是全球最大的乐高乐园之一，它将于2025年夏季开园迎客．乐园提供甲、乙两种规格的乐高积木套装．甲套装的积木块数比乙套装少30块，但甲套装每块积木的平均价格比乙套装高2元．已知花费360元购买甲套装所获得的积木块数，与花费300元购买乙套装所获得的积木块数相等．求甲、乙两种套装每块积木的平均价格分别是多少？
解：设甲套装每块积木的平均价格是元，则乙套装每块积木的平均价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元．
答：甲套装每块积木的平均价格是12元，乙套装每块积木的平均价格是10元．
23．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求与的函数表达式；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
解：（1）设双曲线解析式为：，
，
，
双曲线的解析式为：；
（2）设的解析式为：，
把，代入中得：
，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
解得，
把代入，
得，
解得：，
，
答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时．
24．如图，在中，的角平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，连接、，求证：四边形是平行四边形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
的角平分线交的延长线于点，
，
，
，
．
（2）连接、，
，点在的延长线上，
，，
由（1）得，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
四边形是平行四边形．
25．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．
（1）操作发现：
如图①，将△纸片按所示折叠成完美矩形，若△的面积为12，，则此完美矩形的边长 　3　 ，面积为 　　 ．
（2）类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为24，，则完美矩形的周长为 　　 ．
（3）拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．
解：（1）将△纸片按所示折叠成完美长方形，
，，，
，点是中点，
，
如图1，过点作于，交于点，
，
，
由折叠可知：，
，
完美矩形的面积为：．
故答案为：3；12；
（2）将纸片按所示折叠成完美长方形，
，，
，
同理可知：，，
矩形的面积为：，
，
矩形的周长，
故答案为：14；
（3）将纸片按所示折叠成完美长方形，
点、分别是、的中点，
，，
由题意可知：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
在△中，设，则，
根据勾股定理得：，
，
解得：，
，，
此完美矩形的周长为．
26．已知直线的图象与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限作等边三角形．
（1）求直线的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）点，在直线上是否存在一点使得三角形为等腰三角形？若存在直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
解：（1）设直线的表达式为：，则，
则，
则直线的表达式为：；
（2）由点、、的坐标知，，，则，
则，
△为等边三角形，则，
即轴，而，
故点，；
（3）存在，理由：
设点，
由点、、的坐标得，，，，
当时，即，
解得：，即点，；
当或时，
即或，
解得：或；
即点，或，或，，
综上，，或，或，或，．

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