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2024-2025学年上海市松江区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共6小题，每题3分，满分18分）
1．一次函数的图象不经过　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．直线经过点，，，且，下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．、的大小不能确定
3．下列说法正确的是　　
A．是二元二次方程 B．是二项方程
C．是分式方程 D．是无理方程
4．下列方程中，有实数根的是　　
A． B． C． D．
5．一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为　　
A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6
6．在四边形中，是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是　　
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（本大题共12小题，每题2分，满分24分）
7．一次函数的图象在轴上的截距是　　．
8．一次函数的图象向下平移2个单位，所得直线的表达式是　　 ．
9．方程的解是　　 ．
10．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是　　 ．
11．如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是 　　．
12．若关于的方程无解，则的值为　 　．
13．已知点是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点的坐标是　　 ．
14．已知点是直线上一点，则的解集是　　 ．
15．一项工程若乙单独做要比甲慢3天完成，现在甲乙合作5天，余下的再由甲单独做3天完成，求甲乙单独完成此项工程所需的时间，若设乙单独做需要天，可列方程为　　 ．
16．已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量（升与汽车行驶路程（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于5（升，那么这辆汽车装满油后至多行驶　　 （千米）后需要再次加油．
17．已知中，，与的角平分线交边于点，，且，则边的长为　 　．
18．直线与轴、轴分别交于、两点，为线段上一点，将△绕点顺时针旋转得到△，若点，那么点的坐标为　　 ．
三、计算题（本大题共4小题，每题6分，满分24分）
19．解关于的方程：．
20．解方程：．
21．解方程：
22．解方程组：．
四、解答题（本大题共4小题，第23题7分，第24题8分，第25题9分，第26题10分，满分34分）
23．已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形．
24．小杰和小丽分别从相距的、两地同时同向出发，小杰经过地后再走2小时追上小丽，小杰走的总路程相当于小丽走8小时的路程，求小杰和小丽的速度分别是多少？
25．某公司开发了一款人工智能客户支持系统．该系统总的运行成本与服务的客户数量之间存在函数关系．已知：系统维护有固定成本（即系统没有客户咨询，仍需要支付的成本）；另外每服务一个客户，需要一定的运行成本；且当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本降低2元，假设系统总的运行成本为元，客户的数量为人，请结合函数图象，回答下列问题：
（1）系统维护的固定成本是　　 元．
（2）若当客户人数为5000人时，总的运行成本为元，若当客户人数为10000人时，总的运行成本为元，且．
①当客户人数不超过5000人时，求每服务一个客户需要的运行成本．
②如果总的运行成本不少于35000元，求该公司至少服务客户多少人？
26．在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形．
（1）求点、点的坐标．
（2）过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每题3分，满分18分）
1．一次函数的图象不经过　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：，
，，
故直线经过第一、二、四象限．
不经过第三象限．
故选：．
2．直线经过点，，，且，下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．、的大小不能确定
解：由条件可知一次函数随的增大而增大，
，
．
故选：．
3．下列说法正确的是　　
A．是二元二次方程 B．是二项方程
C．是分式方程 D．是无理方程
解：根据二元二次方程，分式方程，无理方程等概念逐项判断如下：
、是分式方程，故本选项说法错误；
、不是二项方程，故本选项说法错误；
、是分式方程，故本选项说法正确；
、是分式方程，故本选项说法错误．
故选：．
4．下列方程中，有实数根的是　　
A． B． C． D．
解：选项：，
，
；
检验：时，，
不是该分式方程的解，分式方程无解．
该方程没有实数根，不合题意；
选项：由题意可得：
，
．
该方程有实数根，符合题意；
选项：，
，
，
，
该方程没有实数根，不合题意；
选项：，
因式分解，得，
或，
或，
该方程没有实数根，不合题意．
故选：．
5．一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为　　
A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6
解：设新多边形的边数为，
则，
解得：，
①若截去的角的两边均为原多边形的两边的一部分时，
此时原多边形的边数为；
②若截去的角的两边为原多边形的一条边和另一条边的一部分时，
此时原多边形的边数为5；
③若截去的角的两边均为原多边形的两条边时，
此时原多边形的边数为；
综上，原多边形边数为4或5或6，
故选：．
6．在四边形中，是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是　　
A．， B．，
C．， D．，
解：在四边形中，是对角线的交点，如图，
选项：，，
四边形是平行四边形，
故本选项不合题意；
选项：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故本选项不合题意；
选项：，
，，
在△和△中，
，
△△，
，
，
四边形是平行四边形，
故本选项不合题意；
选项：由，无法证明四边形是平行四边形，
故本选项符合题意．
故选：．
二、填空题（本大题共12小题，每题2分，满分24分）
7．一次函数的图象在轴上的截距是　　．
解：一次函数中，
此函数图象在轴上的截距是．
故答案为：．
8．一次函数的图象向下平移2个单位，所得直线的表达式是　　 ．
解：根据平移性质所得所得直线的表达式为，即．
故答案为：．
9．方程的解是　　 ．
解：由题意可得：或，
，，
当时，，无意义，
该方程的解为．
故答案为：．
10．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是　　 ．
解：设，则方程可化为：，
两边同时乘以可得：，
整理得：，
故答案为：．
11．如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是 　12　．
解：这个多边形的内角和为，
设这个多边形的边数为，
则，
解得：．
这个多边形的边数是12．
故答案为：12．
12．若关于的方程无解，则的值为　1　．
解：
去分母得：，
整理得：，
原方程无解，得到，即，
，解得．
故答案为：1
13．已知点是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点的坐标是　　 ．
解：由条件可设，其中，，
点到两坐标轴的距离相等，
，
，
解得，
．
故答案为：．
14．已知点是直线上一点，则的解集是　　 ．
解：由条件可知一次函数随的增大而减小，
当时，函数图象在的上方，
的解集是：，
故答案为：．
15．一项工程若乙单独做要比甲慢3天完成，现在甲乙合作5天，余下的再由甲单独做3天完成，求甲乙单独完成此项工程所需的时间，若设乙单独做需要天，可列方程为　　 ．
解：根据题意可列分式方程为：
，
故答案为：．
16．已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量（升与汽车行驶路程（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于5（升，那么这辆汽车装满油后至多行驶　450　 （千米）后需要再次加油．
解：设该一次函数解析式为，将，代入得，
，
解得，
该一次函数解析式为．
当时，
解得．
所以这辆汽车装满油后至多行驶450千米后需要再次加油，
故答案为：450．
17．已知中，，与的角平分线交边于点，，且，则边的长为　11或5　．
解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
同理：，
分两种情况：
①如图1所示：，
；
②如图2所示：，，
，；
综上所述：的长为11或5；
故答案为：11或5．
18．直线与轴、轴分别交于、两点，为线段上一点，将△绕点顺时针旋转得到△，若点，那么点的坐标为　　 ．
解：由条件可设，
将△绕点顺时针旋转得到△，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
三、计算题（本大题共4小题，每题6分，满分24分）
19．解关于的方程：．
解：，
，
，
，
当时，；
当时，方程无实数根．
20．解方程：．
解：去分母得：，
整理得：，即，
解得：或，
当时，，
当时，，
是增根，分式方程的解为．
21．解方程：
解：两边平方得：，即，
再两边平方得：，即，
解得：，，
经检验不是方程的解，
则都是无理方程的解．
22．解方程组：．
解：方程组可变形为，
由②得，
把代入①，得，即，
解方程组得．
把代入①，得，即，
解方程组得．
方程组的解为或．
四、解答题（本大题共4小题，第23题7分，第24题8分，第25题9分，第26题10分，满分34分）
23．已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形．
【解答】证明：已知，点为对角线的中点，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
同理可证，△△，
，
四边形为平行四边形．
24．小杰和小丽分别从相距的、两地同时同向出发，小杰经过地后再走2小时追上小丽，小杰走的总路程相当于小丽走8小时的路程，求小杰和小丽的速度分别是多少？
解：设小杰和小丽的速度分别是 ， ，
，
（舍去），
，
经检验，是原方程的解．
小杰和小丽的速度分别是，．
25．某公司开发了一款人工智能客户支持系统．该系统总的运行成本与服务的客户数量之间存在函数关系．已知：系统维护有固定成本（即系统没有客户咨询，仍需要支付的成本）；另外每服务一个客户，需要一定的运行成本；且当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本降低2元，假设系统总的运行成本为元，客户的数量为人，请结合函数图象，回答下列问题：
（1）系统维护的固定成本是　2000　 元．
（2）若当客户人数为5000人时，总的运行成本为元，若当客户人数为10000人时，总的运行成本为元，且．
①当客户人数不超过5000人时，求每服务一个客户需要的运行成本．
②如果总的运行成本不少于35000元，求该公司至少服务客户多少人？
解：（1）当时，，
故答案为：2000；
（2）①当客户人数不超过5000人时，设每服务一个客户需要的运行成本元，则当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本为元，
，
，
，
，
解得：，
当客户人数不超过5000人时，每服务一个客户需要的运行成本为6元．
②由①可知：
当时，；
当时，．
当时，，
当时，，
，
解得．
至少服务客户5750人．
26．在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形．
（1）求点、点的坐标．
（2）过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标．
解：（1）直线分别交轴、轴于、两点，
当时，，
；
当时，，
解得，
，
点关于点的对称点为点，
，
四边形是平行四边形，
，，
点的横坐标为，纵坐标为16，
；
（2）如图1，点为的中点，连接，，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，
，
，
直线把平行四边形分成面积为的两部分，如图交于点，
当时，
，
，
，，
点的纵坐标为，
将代入得，，
解得，
，
设表达式为，
根据题意得，，
解得，
的表达式为；
当时，如图1，交于点，
，
，
，，
点的纵坐标为，
将代入得：，
解得，
，
同理利用待定系数法求出表达式为，
综上所述，直线的解析式为或；
（3）点的坐标为或．理由如下：
如图2，
直线与轴交于点（当点在点的下方），
点为直线直线与轴的交点，
当时，，
，
当点在轴左边时，
，，
，
，
所在直线表达式为，
将代入得，，
解得，
；
当点在轴右边时，作点关于轴的对称点，
，
，
，
综上所述，点的坐标为或．

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