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2024-2025学年上海市新中初级中学七年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：共6小题，每小题3分，共18分。
1．如图，下列结论中错误的是　　
A．与是同位角 B．与是同旁内角
C．与是对顶角 D．与是内错角
2．已知，下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
3．如果一个三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长可能是　　
A．1 B．3 C．7 D．9
4．下列说法正确的是　　
A．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
B．三角形的角平分线是射线
C．三角形的三条中线交于一点
D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形
5．用反证法证明“在同一平面上，如果，，那么”时应假设　　
A．
B．，
C．与相交
D．与不平行，与不平行
6．如图，在方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7．用不等式表示“的2倍减去3所得的差是正数”为　　 ．
8．在中，如果，那么是 　　三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”
9．如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么　　．
10．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 　　命题．（填入“真”或“假”
11．如图：，，垂足为，则点到直线的距离是线段　　的长度．
12．如图，△△，如果，，那么线段的长是 　　 ．
13．如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则　　．
14．如图，点、在上，，，、相交于点，要使得△△，则还需添加的条件为 　　．
15．在学习相交线与平行线一章时，李磊学习了垂直的定义，并仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是，就称两条直线互为完美交线，交点叫完美点．已知直线，互为完美交线，为它们的完美点，，则的度数为 　　．
16．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 　　．
17．若关于的不等式组无解，则的取值范围是　　 ．
18．如图，在△中，厘米，厘米，且，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为4厘米秒，则当△与△全等时，的值为　　 ．
三、简答题：本题共3小题，共18分。
19．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
20．已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求的值．
21．如图，在△中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点．
（1）用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹）
（2）在（1）问条件下，若，求证：
请把以下的解题过程补充完整．
证明：（已知），
①　　，
（已知），
②　　 （等式的性质），
，
在△和△中，
，
△△，
③　　 （全等三角形的对应角相等），
④　　．
四、解答题：本题共4小题，共28分。
22．静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动．
商店 优惠方式
甲 所购商品按原价打八五折
乙 所购商品按原价每满300元减60元
设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为元，请根据条件回答下列问题：
（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款 　　 元；（用含有的代数式表示）
（2）顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围．
23．如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若平分，于点，，求的度数．
24．如图，在△和△中，，，是中点，，垂足为点．
（1）求证：△△；
（2）若，求的长．
25．如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，．
（1）求此时的度数；
（2）若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数；
（3）在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图2的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
1．如图，下列结论中错误的是　　
A．与是同位角 B．与是同旁内角
C．与是对顶角 D．与是内错角
解：、与是同位角，正确，不符合题意；
、与是同旁内角，正确，不符合题意；
、与是对顶角，正确，不符合题意；
、与不是内错角，不正确，符合题意；
故选：．
2．已知，下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
解：已知，
两边同乘得，则不符合题意；
两边同乘，再同时加2得，则符合题意；
两边同乘2得，则不符合题意；
两边同时减得，则不符合题意；
故选：．
3．如果一个三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长可能是　　
A．1 B．3 C．7 D．9
解：设第三边长为
根据三角形的三边关系，得，
即．
7在第三边长的取值范围内．
故选：．
4．下列说法正确的是　　
A．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
B．三角形的角平分线是射线
C．三角形的三条中线交于一点
D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形
解：、直角三角形的三条高线的交点是三角形的直角顶点，在三角形上，故选项错误；
、三角形的角平分线是线段，故选项错误；
、正确；
、三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，故选项错误．
故选：．
5．用反证法证明“在同一平面上，如果，，那么”时应假设　　
A．
B．，
C．与相交
D．与不平行，与不平行
解：求证：，若用反证法证明该题，则需要从结论的反面出发，
第一步应假设与不平行，则与相交．
故选：．
6．如图，在方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
解：如图所示：
以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个，
故选：．
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7．用不等式表示“的2倍减去3所得的差是正数”为　　 ．
解：用不等式表示“的2倍减去3所得的差是正数”为，
故答案为：．
8．在中，如果，那么是 　直角　三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”
解：度．
又，
则，
即．
即该三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
9．如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么　　．
解：如图，，，
，
，
，
故答案为：．
10．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 　假　命题．（填入“真”或“假”
解：“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，根据全等三角形的定义，不符合要求，因此是假命题．
11．如图：，，垂足为，则点到直线的距离是线段　　的长度．
解：，垂足为，
点到直线的距离是线段的长度．
故答案为：．
12．如图，△△，如果，，那么线段的长是 　3　 ．
解：△△，
，
，
，，
．
故答案为：3．
13．如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则　　．
解：，，
，
是的角平分线，
，
是的高线，
，
．
故答案为：．
14．如图，点、在上，，，、相交于点，要使得△△，则还需添加的条件为 　　．
解：添加，
，，根据证明△△．
故答案为：．（答案不唯一）
15．在学习相交线与平行线一章时，李磊学习了垂直的定义，并仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是，就称两条直线互为完美交线，交点叫完美点．已知直线，互为完美交线，为它们的完美点，，则的度数为 　或　．
解：如图1，
直线，互为完美交线，
，
，
，
；
如图2，
直线，互为完美交线，
，
，
，
，
的度数为或．
故答案为：或．
16．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 　　．
解：如图，过作直线平行工作篮，
因为工作篮平行支撑平台，
所以直线也与支撑平台平行，
所以，，
因为
所以，
所以；
故答案为：．
17．若关于的不等式组无解，则的取值范围是　　 ．
解：由得：，
由得：，
不等式组无解，
，
解得，
故答案为：．
18．如图，在△中，厘米，厘米，且，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为4厘米秒，则当△与△全等时，的值为　3或4　 ．
解：△中，厘米，点为的中点，
厘米，
若△△，则需厘米，（厘米），
点的运动速度为4厘米秒，
点的运动时间为：，
（厘米秒）；
若△△，则需厘米，，
，
解得：；
的值为3或4．
故答案为：3或4．
三、简答题：本题共3小题，共18分。
19．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
20．已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求的值．
解：解不等式得：，
则该不等式组的最大整数解为，
将代入方程得：，
解得．
21．如图，在△中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点．
（1）用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹）
（2）在（1）问条件下，若，求证：
请把以下的解题过程补充完整．
证明：（已知），
①　两直线平行，同位角相等　，
（已知），
②　　 （等式的性质），
，
在△和△中，
，
△△，
③　　 （全等三角形的对应角相等），
④　　．
【解答】（1）解：如图，即为所求作的角；
．
（2）证明：（已知），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等式的性质），
，
在△和△中，
，
△△，
（全等三角形的对应角相等），
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：①两直线平行，同位角相等；②；③；④同位角相等，两直线平行．
四、解答题：本题共4小题，共28分。
22．静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动．
商店 优惠方式
甲 所购商品按原价打八五折
乙 所购商品按原价每满300元减60元
设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为元，请根据条件回答下列问题：
（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款 　　 元；（用含有的代数式表示）
（2）顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围．
解：（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款为：元，
故答案为：；
（2）在时，选择乙商店的优惠活动后实际付款为：元，
由题意得：，
解得：，
．
23．如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若平分，于点，，求的度数．
【解答】（1）证明：，
，
又，
，
，
；
（2）解：平分，
，，
由（1）知，
，
，
，
，
，，
，
，
．
24．如图，在△和△中，，，是中点，，垂足为点．
（1）求证：△△；
（2）若，求的长．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△．
（2）解：△△，
，，
是中点，
，
，
，
，
即的长为．
25．如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，．
（1）求此时的度数；
（2）若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数；
（3）在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图2的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1，过作，
，，
，
，，
；
（2）如图2，过作，
，，
，
，，
；
（3）如图3，当时，
，，
，
，
，解得：，
如图4，当时，
，，
，
，
解得：，
如图5，当时，过作，
，，
，
，，
，
解得：，
如图6，当时，
，，
，
，
，
解得：，
如图7，当时，
，，
，
，
解得：，
综上，值为9秒或27秒或36秒或45秒或63秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况．

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