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天津市部分区2025届高三下学期质量调查（一）数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8
B．分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大
C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则
D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好
4．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ）
A． B． C．9 D．16
7．函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．ｉ是虚数单位，复数 .
11．在的展开式中，常数项为 .（用数字作答）
12．已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为 ．
13．某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则 ；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为 ．
14．在边长为的菱形中，，且，，则 ；若为线段上的动点，则的最小值为 ．
15．已知，函数若关于的方程，恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ．
三、解答题
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
17．如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点P到平面的距离．
18．已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程．
19．已知为等差数列，其前项和为，满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足其中．
（i）记，．证明：是等差数列；
（ii）求．
20．已知函数，，其中．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)设是函数的极小值点，且，证明：．
参考答案
1．D
【详解】因为，所以或，
所以.
故选：D.
2．A
【详解】若，则，所以，
反之，若，则，当时，没有意义，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．D
【详解】对A：因为，所以这组数据的第50百分位数为：，故A选项内容正确；
对B：根据统计量的意义可知，B选项内容正确；
对C：根据线性回归方程必过得：，故C选项内容正确；
对D：因为残差平方和越小，模型拟合的效果越好，故D选项内容错误.
故选：D
4．B
【详解】因为，且，即，
又，，
所以.
故选：B
5．C
【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误；
对B：若，，则或，故B错误；
对C：根据线面垂直的定义可知，C正确；
对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误.
故选：C
6．A
【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列，
可得，即，所以，解得（舍去）或，
所以.
故选：A
7．C
【详解】因为
，
令，依题意与在上有两个交点，
由，则，
令，解得，所以在上单调递减，
且，；
令，解得，所以在上单调递增，且；
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：C
8．C
【详解】因为的面积为，设的半径为，则，解得，
又，所以为等边三角形，则，所以，
设球的半径为，所以，
所以球的表面积.
故选：C
9．B
【详解】设与渐近线的交点为，则为的中点，且，
又为的中点，所以，即，所以，
要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部，
根据对称性可知，即的取值范围是.
故选：B
10．
【详解】故答案为
11．
【详解】由的展开式的通项为，
令，，则，
即在的展开式中，常数项为，
故答案为：.
12．
【详解】依题意，圆的方程为，
所以，所以圆心为，半径为，
所以当时，半径最小，圆的面积最小，且半径的最小值为，
此时圆心到直线的距离为
或（舍去）.
故答案为：
13．
【详解】依题意甲、乙、丙三名学生选择社团的可能结果有个，
若甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团，则有种选择，所以；
甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团，则有种选择，
所以甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率.
故答案为：；
14． /
【详解】因为，所以，
所以，
又且、不共线，所以，所以；
如图建立平面直角坐标系，则，，，
所以，由，所以，
所以，因为为线段上的动点，
设，所以，所以，
所以，
所以
，所以当时取得最小值，且最小值为.
故答案为：；
15．
【详解】由，
可得当时，即，所以；
当时，，所以，
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以，
令，则与有两个交点，
①当时，，则在上单调递增，且；
②当时，则，
令，则，
所以当时，则在上单调递增，
当时，则在上单调递减，
所以，所以恒成立，
所以恒成立，所以在上单调递减，
又，因为，所以，
且当时，，所以；
所以，即的取值范围是.
故答案为：
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由余弦定理可得，
即，解得或（舍去）.
（2）由正弦定理，所以；
（3）由余弦定理，
所以，
，
所以.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为底面，底面，所以，
又因为平面，
所以平面，即为平面的一个法向量，
如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
可得，，，，，
由为棱的中点，得，
向量，，故，
又平面，所以平面；
（2）因为，设平面的法向量为，
则，取，
又平面的法向量，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
（3）因为，
所以点P到平面的距离，
即点P到平面的距离为.
18．(1)
(2)或
【详解】（1）抛物线的准线方程为，
椭圆的左焦点为，即，
椭圆的短轴长为，，即，，
椭圆的方程为；
（2）设，，
当直线的斜率不存在时，：，
此时M，N分别为椭圆的上、下顶点，不妨设，，
要使是以为底边的等腰直角三角形，则，
，，，不合题意；

当直线的斜率为时，：，
此时M，N分别为椭圆的左、右顶点，不妨设，，
要使是以为底边的等腰直角三角形，则，
，，，满足题意；

当直线的斜率存在且不为时，设：，

由，得，
，，
，
设的垂直平分线方程为，
由，得，
是以为底边的等腰直角三角形， ，
，
化简得，，或(舍)，：，
综上，直线的方程为或.
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，且，
所以，解得，
所以；
（2）（i）由（1）可知，又其中，
所以其中，
当为奇数时，，
所以，
所以，则，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
（ii）令，
而，
，
所以.
20．(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，则，而，则，
所以在点处的切线方程是.
（2）由题意，定义域为，
则，
因为，所以当时，所以在上单调递减，
当时，所以在上单调递增；
若，即时在上单调递增，则，不符合题意；
若，即时，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，不符合题意；
若，即时，在上单调递减，
则，解得，不符合题意；
综上可得，不存在这样的正实数，使得在区间上的最小值为；
（3）依题意，，定义域为，
则，
因为是函数的极小值点，所以，所以，
又，则，
因函数在上单调递减，而当时，，则由得，
令，则，当在上单调递减，
所以，，当且仅当时取“”,即，，
所以，所以，，
所以，
所以，得证.

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