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期末必刷题02 热考题与压轴题（24题型76题）
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题型一 几何图形的角度计算问题
题型二 根据平行线的性质与判定求解
题型三 根据平行线的性质求角的度数
题型四 根据平行线的性质探究角的关系
题型五 平行线的性质在生活中的应用
题型六 利用平移的性质求解
题型七 与平行线有关的折叠问题
题型八 平行线与三角板综合
题型九 与平行线有关的动点问题
题型十 二元一次方程组的特殊解法
题型十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数
题型十二 二元一次方程组的应用
题型十三 解三元一次方程组及应用
题型十四 整式/分式的化简求值
题型十五 整式的乘除与几何图形中的应用
题型十六 配方法的应用
题型十七 选用合适的方法分解因式
题型十八 因式分解的应用
题型十九 特殊方法分解因式
题型二十 分式加减的实际应用
题型二十一 根据分式方程解的情况求解
题型二十二 与分式运算有关的新定义问题
题型二十三 从统计图中获取信息
题型二十四 统计图综合
题型一 几何图形的角度计算问题
1．“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且．
(1)如图2，当时，求的度数．
(2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？
【答案】(1)
(2)旋转的最小角度是
【分析】本题考查了余角和补角定义的应用，角的计算，认识图形，正确进行角的计算是解题的关键．
（1）根据题意，得到，根据垂直的定义，结合图形，得到的度数；
（2）根据题意，设旋转的最小角度是，由与互为补角，求出的值，得到结果．
【详解】（1）解：因为，
又因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
（2）解：设旋转的最小角度是，则，，
因为与互补，
所以，即，
解得，
所以旋转的最小角度是．
2．如图，已知点在同一直线上，，平分．
(1)若，求和的度数．
(2)若恰好平分，求的度数．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练掌握角平分线的定义是解此题的关键．
（1）首先根据垂直的概念得到，根据角的和差关系和平角的概念求出的度数；然后结合角平分线的概念求出的度数；
（2）根据角平分线的概念求解即可．
【详解】（1）
；
，平分
（2）平分
平分
．
3．如图，点是直线上一点，射线，，在直线的上方，射线在直线的下方，且平分，，．
(1)若，求的度数；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用垂线和角平分线的性质即可解答；
（2）设，则，得出，结合平分，得到，进而得到，结合图形可知，列方程，解方程即可解答．
【详解】（1）平分，，
，
又，，
，
∴，
；
（2）设，则，
∴，
∴，
平分，
，
，
∴，
∵，
∴，
，
∴
【点睛】本题主要考查了垂线、角平分线的性质，熟练掌握相关知识点，运用方程的思想，简化问题是解题的关键．
题型二 根据平行线的性质与判定求解
4．如图，已知于点A，．
(1)试说明．（填空）
已知，得，所以______，
又已知，根据______，得，根据______，
得，根据______，得．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．
（1）根据互余关系，平行线的判定和性质，作答即可；
（2）根据，得到，进而得到，根据，即可得出结果．
【详解】（1）解：已知，得，
所以，
又已知，根据同角的余角相等，得，
根据同位角相等，两直线平行，得，
根据两直线平行，同旁内角互补，得；
故答案为：，同角的余角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴．
5．如图，在三角形中，是上一点，，交于点，是上一点，．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)平行，见解析
(2)度
【分析】（1）根据平行线的性质可得，等量代换得出，根据平行线的判定定理，即可得出结论；
（2）根据平行线的性质可得，由（1）可得，进而得出，即可求解．
【详解】（1）解： ，理由如下；
已知，
两直线平行，同位角相等，
已知，
等量代换，
同位角相等，两直线平行；
（2）已知，
，
由（1）得
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
6．如图，已知，．

(1)试问与相等吗？请说明理由；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)
【分析】（1）由平行线的性质可得，结合即可得出内错角相等，进而得出；
（2）由平行线的性质可得，根据题意求出的度数即可解答．
【详解】（1）解：与相等，理由如下：
∵，
，
，
同角的补角相等，
∴（内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
（2）解：∵，
，
，，
，即，
，，
，
即．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判断是解题关键．
题型三 根据平行线的性质求角的度数
7．如图，点在的延长线上，连接，作的角平分线分别交线段，于点，点，已知，．

(1)试说明；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据平行线的性质可得；
（2）根据平行线的性质可得，根据平行线的性质得出，，根据（1）的结论得出，，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵
∴，
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8．如图，，，分别是，上的点，平分交于点，平分交于点．

(1)当时，求的度数；
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义可得；
（2）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，再由角平分线的定义求出，则．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，．
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
9．如图，已知，．

(1)如图①，求证：；
(2)如图②，连接，若点E，F在线段上，且满足，并且平分，求的度数；（用含m的代数式表示）
(3)如图③，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，求的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质得到，进而推出，即可证明；
（2）先由平行线的性质得到，再根据已知条件可证明；
（3）证明，再由，可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键．
题型四 根据平行线的性质探究角的关系
10．已知：如图，直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点．
(1)若，，则______度；
(2)若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，间满足的数量关系并说明理由：
(3)若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系．
【答案】(1)
(2)或，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键．
（1）如图1，过P作，根据平行线的性质求解即可；
（2）如图2，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得到，从而有，由根据平角的定义即可得到结论；
（3）由垂直的定义得到，由平行线的性质得到，根据平角的定义得到结论．
【详解】（1）解：如图1，过P作，
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
（2）如图2，
∵，
∴，
∴，
∵由（1）知，，
∴
∴；
即或；
（3）解：如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵由（1）知，，
∴，
∴．
11．【课题学行线的“等角转化”．
如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数．
解：过点A作，
∴_____，______，
又∵．
∴______．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数．
（3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系．
【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；
（1）过点A作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答；
（2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）过点A作，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：；；；
（2）过点E作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），
理由：过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
12．如图，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系．

(1)如图①，_______；如图②，_______；
如图③，______；如图④，______．
(2)得到图②结论的过程如下：（补足理由）
过P点作，又∵，
∴（同平行于第三条直线的两直线平行）
∵，
∴_______，________（ ）
∵（图形性质）
∴_______（等量代换）
(3)仿照（2），在图③、④中，选一个写出得到结论的过程（给出理由）．
【答案】(1)，，，
(2)，，两直线平行，内错角相等，
(3)选④，结论的过程（理由）见解析
【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟练的利用平行线的性质探究角之间的关系是解本题的关键；
（1）过的作的平行线，再利用平行线的性质逐一分析即可；
（2）过P点作，如图②；再利用内错角相等结合角的和差可得结论；
（3）如图④，过点P作，再利用内错角相等结合角的和差可得结论；
【详解】（1）解：如图①，
过点P作．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴；
∴图①结论：，
过P点作，又∵，如图②；
∴（同平行于第三条直线的两直线平行）
∵，
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵（图形性质）
∴（等量代换）
图②结论：，
如图③，过点P作，
∴，
∵，．
∴，
∴，
∴，
即．
∴图③结论为：；
如图④，过点P作，
∴，
∵，．
∴，
∴，
∴，
即．
图④结论：
（2）过P点作，又∵，如图②；
∴（同平行于第三条直线的两直线平行）
∵，
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵（图形性质）
∴（等量代换）
（3）如图④，过点P作，
∴，
∵，．
∴，
∴，
∴，
即．
13．如图，，点、分别在直线，上，为直线和之间的一个动点，且满足．
(1)如图1，、、之间的数量关系为 ．
(2)如图2，、、之间的数量关系为 ．
(3)如图3，，分别平分和，点在左侧，点在右侧．
①若，求的度数．
②猜想规律：与的数量关系可表示为 ．
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，……依此类推，则与的数量关系是 ．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②；③
【分析】本题考查了根据平行线的性质探究角的关系以及角平分线的有关计算，掌握相关结论，学会举一反三是解题关键．
（1）作，根据、即可求解；
（2）作，根据、即可求解；
（3）结合（1）（2）的结论即可求解；
【详解】（1）解：作，如图所示：
∵，
∴，
∴、
∴、
故答案为：
（2）解：作，如图所示：
∵，
∴，
∴、
∴
即：
故答案为：
（3）解：作，，如图所示：
∵，
∴，
若，
由（1）可得：
∴
∵，分别平分和，
∴
由（2）可得：
即：
∴
由（1）可得：
∴
∵，分别平分和，
∴
由（2）可得：
即：
∴
故答案为：
由②得：
∵与的角平分线交于点，
∴…
依此类推：，，….,
∴
故答案为：
题型五 平行线的性质在生活中的应用
14．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数．
【答案】
【分析】过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，，
．
，
．
．
．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
15．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)【问题初探】如图1，，，求证：．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】
① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ；
② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)①；②与所成锐角的度数为
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明；
（2）过点F作交于点G，则，根据平行线的性质即可证明；
（3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解；②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：过点F作交于点G，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：①如图，作，则，
，，
，
故答案为：；
② 过点E作，
由题意可知：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：与所成锐角的度数为．
16．（1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东，如果A、B两地同时开工，直接写出为多少度时，才能使公路准确接通？
（2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东的方向，C处在B处的北偏东的方向，求的度数．

【答案】（1）为时，才能使公路准确接通；（2）
【分析】（1）根据平行线的性质，可求出答案；
（2）利用方向角以及平行线的性质进行计算即可．
【详解】解：（1）如图1，
，
，
，
答：当时，才能使公路准确接通；
（2）如图2，由题意得，，，，
，
，，
，
即：．

【点睛】本题考查方向角，平行线的性质，理解方向角的意义，掌握平行线的性质是正确解答的前提．
17．【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
(2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角为多少度？
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换、平角的概念即可得证；
（2）根据平行线的性质、平角的概念及等量代换即可求得答案．
【详解】（1）证明：由题可知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2），
由题可知，，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了平行线的性质、平角的概念，能够将实际问题转化为我们所学的数学知识是解题的关键．
题型六 利用平移的性质求解
18．如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，），
(1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ；
(2)如图2，当时，求的度数；
(3)在整个运动中，当时，则的度数为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键；
（1）根据平移可得，，进而可得根据阴影部分周长等于的周长，即可求解；
（2）根据平移可得，，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解；
（3）根据，设，则，根据平行线的性质以及平移的性质得出，进而列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，，
∵的周长为，
∴
∴阴影部分的周长为
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
依题意，，
∴，
（3）解： ∵，设，则
如图，连接，
∵，
∴
∴
解得：
即
故答案为：．
19．（1）观察计算：如图1，在的网格中，将线段向右平移，得到线段，连接，，
①线段平移的距离是______，
②四边形的面积为______；
（2）动手操作：如图2，在的网格中，将折线向右平移3个单位长度，得到折线．
①面出平移后的折线；
②连接，，多边形的面积为______；
[说明：在正方形网格中，1个格长为1个单位长度]
（3）类比探索：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），请直接写出小路的面积．
【答案】（1）①3；②6；（2）①见解析；②6；（3）
【分析】本题考查作图－平移变换，解趣的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题
（1）①利用平移变换的性质判断即可；
②利用平行四边形的面积公式求解；
（2）①根据要求画出图形；
②利用分割法求解；
（3）利用平行四边形的面积公式求解；
【详解】解：（1）①线段AB平移的距离是3；
②四边形的面积为．
故答案为：3，6；
（2）①折线即为所求；
②多边形的面积为．
故答案为：6；
（3）小路的面积为．
20．在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）：在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）．
(1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是（图①，图②长方形的长均为个单位，宽均为个单位），则___________，___________，___________（填“”或“”或“”）；
(2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长为___________，宽为___________？
(3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5100元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每平方米路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5100元够吗？并说明理由．
【答案】(1)；；
(2)长：，宽
(3)总预算5100元不够；理由见解析
【分析】本题主要考查了平移的性质，算术平方根的应用，无理数的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质．
（1）根据长方形面积公式进行解答即可；
（2）设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，根据正方形的面积是列出方程，求出x的值即可；
（3）设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，根据这个长方形的面积为，列出方程，解方程得出y的值，然后求出两条小路的总面积，再求出需要的费用，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：；；
∴，
故答案为：；；；
（2）解：设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，则：
，
（负值舍负），
长方形场地的长，
长方形场地的宽．
（3）解：设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，
则，
（负值舍去），
长方形场地的宽，
长方形场地的长，
则两条小路的总面积为：，
将两条小路改铺成鹅卵石路面的总费用元，
∵
，
∴
∴
∴
答：总预算5100元不够．
题型七 与平行线有关的折叠问题
21．如图1是一张长方形纸片，将该纸片沿折叠得到图2．

(1)若，求的度数；
(2)若，则的度数为_______（直接写出结果）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据平行线的性质得出，，求出的度数，最后根据进行计算即可得到答案；
（2）先根据平行线的性质得出，，求出的度数，最后根据进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1，
，，
，
如图2，
，，
，
，
；
（2）解：如图1，
，，
，
如图2，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
22．如图1，将一条对边互相平行的纸条进行两次折叠，第一次折叠的折痕为，且，第二次折叠的折痕为．
(1)如图2，若，则______．
(2)如图3，若，则______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平行线的性质求解即可；
（2）由平行线的性质及折叠的性质求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图3，由折叠的性质，可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由折叠的性质，可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，解题关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
23．如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．

(1)观察发现：如图①所示：，，则______．
(2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明；
(3)迁移应用：如图③，点落在边的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)不成立，数量关系应为：，证明见解析
【分析】（1）根据已知条件，结合平行线的性质，算出，再结合折叠、四边形内角和，算出，最后根据计算即可；
（2）过点作，交于点，交于点，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到，再结合折叠的性质可得数量关系；
（3）过点作，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到得，再结合折叠的性质可得数量关系．
【详解】（1）解：，沿折叠，点落在点的位置，，，
，（两直线平行，同旁内角互补）
，
，
，（四边形内角和为）
，
故答案为：
（2）解：如下图，过点作，交于点，交于点

则，
，
，
，
，
由折叠的性质得，，
（全等三角形对应角相等）
（3）解：如下图，过点作，则，
，
，
，
由折叠的性质得，，
（全等三角形对应角相等）
，即
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．
题型八 平行线与三角板综合
24．如图①所示的是一副三角尺，，，，．
(1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在直角边上，斜边与斜边相交于点，求的度数；
(2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，直角边与斜边相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)直线，三角板和三角板按照图④所示放置，直角顶点与点重合，并且在直线上，直角顶点在直线上，，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒6°的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒．在旋转过程中，当边与三角板的一条边平行时，求出所有满足条件的的值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)所有满足条件的的值为或或或或或．
【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
（1）过点作，则，进而得，，由此可得的度数；
（2）过点作，则，进而得，，再根据可得出答案；
（3）分情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式计算即可得出所有满足条件的的值．
【详解】（1）解：过点作，如图2所示，
依题意得：，，，，
，
，
又，
，，
；
（2）解：，理由如下：
过点作，如图3所示，
，
，
，，
，且，
；
（3）解：设边旋转的角度为，则边旋转的角度为，下面分类讨论：
如图⑤，，则，
所以，解得；
如图⑥，，则，
所以，解得；
如图⑦，，则，
所以，解得；
如图⑧，，则，
因为，所以，
解得；
如图⑨，，则，
因为，所以，
解得；
如图⑩，，则，
所以，解得，
综上，所有满足条件的的值为或或或或或．
25．综合与探究：
将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．
(1)若，求的度数；
(2)求证；
(3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查了平行线的判定，角度的和差计算，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
（1）依据，即可得到的度数，即可求解；
（2）依据，即可得到的度数，即可得证；
（3）依据平行线的判定，分两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）证明：，
；
（3）解：分两种情况：
如图所示，当时，，所以，
如图所示，当时，，所以，
综上所述，的度数等于或时，．
26．在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动．
操作发现：
(1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______；
(2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）；
(3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由．
【答案】(1)3
(2)15
(3)垂直，理由见解析
【分析】本题考查的是平移的性质，平行线的判定与性质，平行公理的应用，旋转的性质，熟练的利用旋转的性质进行证明是解本题的关键．
（1）由平移的性质可得答案；
（2）过A作直线，交于G，而，则，可得，，再利用角的和差关系可得答案；
（3）分两种情况讨论，由平行线的判定与性质的性质可求解．
【详解】（1）解：由平移的性质得，，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：3；
（2）解：过A作直线，交于G，而，
∴，
，
同理，
；
故答案为：15；
（3）解：垂直，理由如下
如图，延长交于H，交于N，延长交于M，交直线a于G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线a，
∵，
∴直线b；
如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H
∵
，
∴，
∴，
．
题型九 与平行线有关的动点问题
27．如图，射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，．
(1)当时，求证：；
(2)用含的式子表示为________（直接写出答案）；
(3)当点在射线上运动时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出它们关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义；理解角平分线的定义，能灵活应用平行线的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质，可得，再结合角平分线的定义，可得，即可求解；
（2）根据平行线的性质，可得，再结合角平分线的定义，可得，即可求解；
（3）根据平行线的性质，可得，，再结合角平分线的定义，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴，
（3）解：与之间的数量关系是：，
理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
28．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足．
(1)试问，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为______________________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为______________________．
(2)如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
【答案】(1)；
(2)①；②．
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）过点作，根据平行线的性质分别求解即可；
（2）①根据角平分线的定义设，，再结合（1）所得数量关系求解即可；
②同①可得，，，……从而推出，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1，当点在的左侧时，过点作，
，
，
，，
；
如图2，当点在的右侧时，
，
，
，，
，
；
（2）解：①，分别平分和，
设，，
，，
由（1）可知，，，
，，
，
，
；
②与的角平分线交于点，
，，
，
同理可得，，，……
则，
，
，
，
．
29．已知，，点在上，点在上，点为一动点．
(1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：．
(2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有．
①当，时，求的度数；
②当平分，，交于点时，若，求的值．
(3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)①；②
(3)
【分析】（1）直接根据平行线的判定和性质证明即可；
（2）①过点作，可得，由，可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，求解即可；
②如图，过点作．可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义可得方程组，求解即可．
（3）过点作，过点作．设，，同理可知，，进而可得，根据规律可得答案.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）①如图，过点作，
∴．
由题意可知：，
故可设，则．
∴，，．
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，解得：，
∴，．
∵，
∴，
∴．
②如图，过点作．
由题意可设，则．
∵，平分，
∴，．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
由（1）可知，
∴，
∴，
即，解得：，
∴．
（3）过点作，过点作．
设，，
同理（2）可得：，，
∴，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，
∴，，
由（2）得，
∴.
∵的角平分线和的角平分线相交于点。
同理可得：
∴，
∴，
∴
题型十 二元一次方程组的特殊解法
30．情境 珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组：
尝试 （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下.
请将下面解题过程补充完整．
解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______；
应用 （2）利用上述方法解方程组
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体换元法是解题的关键．
（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
【详解】解：（1）设，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
∴，
解方程组，得，
故答案为：，；
（2）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
∴，
解方程组，得．
31．阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．
运用以上知识解决下列问题：
(1)求方程组的解．
(2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ．
(3)举一反三：方程组的解为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便．
（1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解；
（2）由已知得，求解即可得答案；
（3）利用换元思想设，，然后解方程组即可得到未知数的值．
【详解】（1）解：（1）设m，n，则原方程组可化为，
解得，，
即，
解得，；
（2）解：根据题意得，
解得，；
（3）设，，则原方程组可化为，
解得，，
∴，
解得，．
题型十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数
32．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值．

(1)按照小云的方法，的值为_________，的值为_________；
(2)请按照小辉的思路求出的值．
【答案】(1)5；
(2)
【分析】（1）将①③联立得到，得，，解得，把代入①求得即可；
（2）得，则，得到，即可得到，求出的值即可．
【详解】（1）解：将①③联立得到
得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴，
故答案为：5；
（2），得，
即,
∴，
∵，
∴，
解得．
即的值为1．
【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
33．若方程组 的解满足，求的值．
【答案】
【分析】根据加减消元法求得的值，根据方程组的解满足，进而得出关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解： ，
② ① 得：，
将代入 ① 得：，
解得：，
∴ ，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
34．如果关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求m的值．
【答案】5
【分析】根据方程组的解互为相反数得出，利用代入消元法分别用m表示出x、y的值，再代入另一个方程求解m即可．
【详解】解：∵的解互为相反数，
∴③，
将③代入①得，
将代入③得，
将，代入②中得，
∴．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是用参数分别表示出未知数．
35．若方程组和方程组有相同的解．
(1)求方程组正确的解．
(2)求a，b的值．
【答案】(1)
(2)a的值是，b的值是
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间解得关系．
（1）由题意得，解方程组即可解答．
（2）首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到一共关于a、b的方程组求解即可．
【详解】（1）∵方程组和方程组有相同的解，
∴，
①+②得，解得，
将代入①得，
∴方程组的解为．
（2）∵方程组和方程组有相同的解，
∴可得新方程组，
解得：，
把，代入，得，
解得．
故a的值是，b的值是．
题型十二 二元一次方程组的应用
36．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元．
(1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案．
(3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元
(2)共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车
(3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列出方程（组）求解是关键．
（1）设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元，根据数量关系列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车，由数量关系列二元一次方程，根据二元一次方程的解的方法代入求值即可；
（3）根据题意，分别算出方案一、二的利润即可．
【详解】（1）解：设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元，
根据题意可列方程组为，解得，
∴、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元．
（2）解：设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车，
根据题意得：，且，均为正整数，
或，
共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车．
（3）解：方案一：获得的利润为：（万元），
方案二：获得的利润为：（万元），
∴第二种方案获得的利润最大，为15.6万元．
37．初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，某校欲购置规格为的甲品牌消毒液和规格为的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元．
(1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格．
(2)若该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请求出所有的购买方案．
(3)若该校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？
【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元
(2)见解析
(3)10天
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．
（1）设每瓶甲品牌消毒液的价格为x元，每瓶乙品牌消毒液的价格为y元，根据“购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需要购买甲消毒液a瓶，购买乙消毒液b瓶，根据该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，可列出关于a、b的二元一次方程，再根据a、b均为正整数，即可得出购买方案；
（3）设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶，设使用t天，根据“校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液”，列出对应的方程，求出t的值即可．
【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，
根据题意得：，
解得，
答： 甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元；
（2）解：设需要购买甲消毒液 a 瓶，购买乙消毒液 b 瓶，
根据题意得：，
整理得，，
当时，，
当时，，
当时，，
共有三种方案：
方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液；
方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；
方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液；
（3）解：设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶，设使用t天，
则 ，
由①得③，
把③代入②得：，
解得，
答：这批消毒液可使用10天．
38．某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品．若种笔记本买20本，本笔记本买30本，则钱还缺40元；若种笔记本买30本，种笔记本买20本，则钱恰好用完．
(1)求，两种笔记本的单价；
(2)由于实际需要，需要增加购买单价为6元的种笔记本若干本．若购买，，三种笔记本共75本（每种笔记本都有购买），钱恰好全部用完，求种笔记本购买了多少本．
【答案】(1)种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为2元
(2)A种笔记本购买了本或本或本或本．
【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键．
（1）设种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买种笔记本本，种笔记本本，则购买种笔记本本，根据题意列出二元一次方程，根据整数解求得的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：设种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
答：种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元．
（2）解：设购买种笔记本本，种笔记本本，则购买种笔记本本，
依题意，得：，
∴，则，
∵，均为正整数，
∴，或，或，或，，
答：A种笔记本购买了本或本或本或本．
39．某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为．
(1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；
(2)求1块板的所有无浪费裁切方案；
(3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切．
【答案】(1)裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块
(2)有三种裁切方案：方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块
(3)需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组．
（1）根据“甲乙广告牌的尺寸”和“用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍”，建立等量关系，列出二元一次方程求解即可；
（2）设一张该板裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，可得，求出非负整数解即可；
（3）根据题意，需裁切甲广告牌500块，乙广告牌块，且板材恰好全部用完，可分三种情况讨论，①单独采用方案3，直接列示求解即可得购买板材数量；②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块，同样的方法求解即可．最后对比即可得出结论．
【详解】（1）解：设裁切甲广告牌x块，乙广告牌y块，
依题意得：
解得
答：裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块．
（2）解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，
根据题意得：
可得，
∵，为非负整数，
∴或或
答：有以下三种裁切方案：
方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；
方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；
方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块．
（3）解：①采用方案3，根据题意，得：
（张）
（张）
（张）
需要购买该型号板材252张，用其中250张板材裁切甲广告牌500块，用2张板材裁切乙广告牌12块．
②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，
根据题意，得：
解得：
（张）
（张）
（张）
（张）
需要购买该型号板材33张，用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张，乙广告牌12块．
③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块
根据题意,得：
解得：
（张）
（张）
（张）
（张）
需要购买该型号板材33张，用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块．
综上，采用②③两种情况购买，需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块．
题型十三 解三元一次方程组及应用
40．解方程组：
【答案】
【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，先消去未知数z，得到关于x、y的方程组，再进一步解答，即可得答案．
【详解】解：，
①②得：④，
①③得：⑤，
⑤④得：，
解得：，
把代入⑤得：，
把，代入③得：，
∴方程组的解为：．
41．某次智力竞赛共有3题：第一题30分，第二题30分，第三题40分．每题只有两种情况：答对得满分，答错得0分．结束后统计如下：
（1）答对3题的有4人，答对2题的有17人，3题全错的有5人；
（2）答对第一题与答对第二题的人数之和是44，答对第二题与答对第三题的人数之和是36，答对第一题与答对第三题的人数之和是40．
求这次智力竞赛的平均成绩．
【答案】49分
【分析】考查三元一次方程组的应用 ，先算出答对第1题，第2题，第3题的人数，等量关系为：答对第1题的人数答对第2题的人数；答对第2题的人数答对第3题的人数；答对第1题的人数答对第3题的人数，把相关数值代入即可求解；进而算出参加竞赛的总人数，让总分数除以总人数即为竞赛的平均成绩．
【详解】解：设答对第1题，第2题，第3题的人数分别为，，．
，
解得，，．
题全答对的只有4人，答对两题的有17人，3题全错的有5人
参赛总人数为：人，
平均得分为：分，
答：这次竞赛的平均得分为49分．
题型十四 整式/分式的化简求值
42．先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查单项式乘多项式法则、整式加减运算及代数式求值；解题关键是准确运用法则展开式子，合并同类项化简后再代入求值．
利用单项式乘多项式法则去括号，合并同类项法则进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：
；
当时，原式．
43．先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查了整式的化简求值，涉及平方差公式的运用，多项式除以单项式，单项式乘以多项式．先利用平方差公式，单项式乘以多项式合并同类项将括号里的式子化简，再根据多项式除以单项式化简，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
44．先化简，再求值：，其中从、、中选一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件确定的值，最后把的值代入化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵，
∴且，
∴，
∴原式．
45．先化简，再求值∶ ，其中 ．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，非负数的性质，利用分式的性质和运算法则先对分式进行化简，再利用非负数的性质求出的值，最后代入化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，，
∴，，
∴原式．
题型十五 整式的乘除与几何图形中的应用
46．如图1，在长方形中放入边长分别为和的两张正方形纸片，，阴影部分面积分别记为．
(1)如图2，当长方形为正方形时，，
①___________，___________，___________（用含，，的式子分别表示）；②若，试证明：；
(2)如图3，若，且，试探究长方形的周长和正方形的周长之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)① ②见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查代数式和等式的基本性质：
（1）①根据，，，即可求得答案；②根据题意可得，化简即可求得答案；
（2）设，，可得，化简可得，进而可求得答案．
【详解】（1）①．
．
．
故答案为：
②．
．
根据题意，得
（2），理由如下：
设，，则，．
根据题意，得
化简，得
因为，可得
根据题意，得
，，，
则
，
则
47．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
(1)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个)
A．
B．
C．
(2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：．
【答案】(1)B
(2)①3；②
【分析】本题考查平方差公式的几何背景．
（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可；
（2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可；
②利用平方差公式将原式变形即可求解．
【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以，
故答案为：B；
（2）解：①∵，
∴，
又∵，
∴，
答：的值为3；
②原式
．
48．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为　 ．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．
(3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据图2中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案；
（2）由（1）的结论，进行应用即可；
（3）设，，得出，，根据完全平方公式计算出的值即可．
【详解】（1）解：由图形面积得，
故答案为：；
（2）由（1）题所得，
∴，
∴当，时，
，
∴或-2；
（3）解：设，，
则，，
又由，得
，
∴图中阴影部分的面积为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的关系是解决问题的前提．
题型十六 配方法的应用
49．阅读材料：在求多项式的最小值时，小明的解法如下：，因为，所以，即的最小值为4．请仿照以上解法，解决以下问题：
(1)求多项式的最小值；
(2)猜想多项式有最大值还是最小值，并求出这个最值．
【答案】(1)
(2)多项式有最大值，最大值为11，理由见解析
【分析】（1）仿照阅读材料，把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
（2）利用完全平方式把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（2）解：多项式有最大值，最大值为11，理由如下：
，
∵，
∴，
∴，
∴多项式有最大值，最大值为11．
【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，正确理解题意把给的多项式变形成一个完全平方式与一个数的和或差的形式是解题的关键．
50．在学习了乘法公式“”的应用后，李老师提出问题：
求代数式的最大值.同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法：
解：
∵，∴
当时，的值最大，最大值为3
∴的最大值是3．
请你根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最大值.
(2)求代数式的最大值．
(3)若，求的最大值．
【答案】(1)的最大值为11
(2)的最大值为5
(3)的最大值为11
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可；
（3）由，可得，再将等式右边利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】（1），
，
．
的最大值是11．
（2），
，
．
的最大值是5．
（3），
，
，
．
的最大值是11．
【点睛】此题考查了运用完全平方公式进行计算，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
题型十七 选用合适的方法分解因式
51．利用分解因式简便运算：．
【答案】4
【分析】本题考查因式分解中的完全平方公式法，掌握公式是解题的关键．
利用完全平方公式，进行因式分解即可解答．
【详解】解：
．
52．因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：
（1）综合提公因式和公式法进行因式分解即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式
．
53．因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是：
（1）根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
题型十八 因式分解的应用
54．（1）已知是三角形的三边长，且满足，求三角形的最长边c的取值范围；
（2）已知是三角形的三边长，且满足，求三角形的周长．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，三角形三边关系，
（1）将原式整理成完全平方公式和的形式，求出a，b，再根据三角形三边关系得出答案；
（2）将原式整理成完全平方公式和的形式，求出a，b，c，可得答案．
【详解】解：（1）因为，
所以，
即，
所以．
因为是三角形的三边长，
所以，
即．
因为c是三角形的最长边，所以．
（2）因为，
所以，
即，
所以，
所以三角形的周长．
55．某串联电路中电流（单位：）、电阻、、（单位：）、时间（单位：）与热量（单位：）有下列关系：，如图，当，，，，时，求电流流经电阻所产生的热量．
【答案】108J
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，先将公式因式分解，然后将已知数据代入求值，即可求解．
【详解】解：由题意得，
答：电流流经电阻所产生的热量为
56．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键．
（1）根据完全平方公式可得，据此计算求解即可；
（2）根据代值计算即可；
（3）根据代值计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴．
57．求证：对于任意整数，多项式的值都能被16整除．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了分解因式，利用平方差公式把式子分解因式得到，据此可证明结论．
【详解】证明：
，
多项式的值都能被16整除．
58．在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式进行因式分解呢？小季同学经过思考后作如下解答：
小戴同学在仔细研读上述解答过程后，获得如下结论：，在代数式中，，即无论取何值，都大于等于0，所以，则有最小值为．
(1)请仿照小季的解答过程，将代数式分解因式；
(2)求代数式的最大值．
【答案】(1)
(2)18
【分析】题目主要考查新定义，理解新定义是解题关键．
（1）根据题中方法进行配方法，分解因式即可；
（2）根据题中的方法进行因式分解，然后即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
因为无论m取何值时，都小于等于0，
所以，则有最大值为18．
题型十九 特殊方法分解因式
59．阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：
将“”看成一个整体，设，
则：原式
再将“”还原为“”即可．
解题过程如下：
解：设，
则：原式
问题：
(1)以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程；
(2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解．
【答案】(1)不彻底；见解析
(2)
【分析】本题考查公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
（1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（2）根据材料，用换元法进行分解因式即可．
【详解】（1）解：分解不彻底；分解过程如下：
设
则：原式
；
（2）解：设，
则
．
60．阅读下列材料：
将分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：，．
②交叉相乘，验中项：
．
③横向写出两因式：．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
试用上述方法分解因式：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分解因式—十字相乘法，
（1）根据十字相乘法分解因式即可；
（2）根据十字相乘法分解因式即可；
掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，，
②交叉相乘，验中项：
，
③横向写出两因式：；
（2）①竖分二次项与常数项：，．
②交叉相乘，验中项：
，
③横向写出两因式：．
61．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．同学们经过小组合作交流，得到了如下的解决方法：
解法一：原式
．
解法二：原式
．
小明由此体会到，对项数较多的多项式进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）．请你也试一试利用分组分解法进行因式分解．
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)因式分解：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了因式分解，用提公因式法因式分解是解题的关键．
（1）先分组，再用提公因式法因式分解即可；
（2）先分组，再用公式法和提公因式法因式分解即可；
（3）先分组，再用公式法和提公因式法因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
题型二十 分式加减的实际应用
62．小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即．
(1)请用含R和的式子表示及．
(2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？
【答案】(1)
(2)①，；②，；③，
【分析】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
（1）先移项再通分得，再取倒数即可；
（2）先将代入，再化简得，再根据，均为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，均为正整数，
∴①当时，则，；
②当时，则，；
③当时，则，．
63．从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为．
(1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？
(2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？
【答案】(1)
(2)走第一条路花费时间少，少
【分析】本题考查了速度，路程，时间之间的关系，异分母分式的加减运算的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握速度，路程，时间之间的关系．
（1）分别表示出上坡路的时间和下坡路的时间，然后相加即可；
（2）表示出走第一条路所用时间，然后作差求解即可．
【详解】（1）解：走第二条路所用时间：；
（2）解：走第一条路所用时间：
∴
∴走第一条路花费时间少，少．
64．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式的大小，作差，若，则；若，则；若，则．
【方法应用】（1）若，试比较与的大小；
【解决问题】（2）嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了该商品，琪琪两次购买该商品均花费n元．已知第一次购买该商品的价格为，第二次购买该商品的价格为（均是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低．
【答案】（1）；（2）嘉嘉两次所购买商品的平均价格高于琪琪两次所购买商品的平均价格
【分析】本题考查分式减法的实际应用：
（1）作差法比较大小即可；
（2）求出两人购买商品的平均价格，作差法比较大小即可．
【详解】解：（1）；
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由题意，嘉嘉两次所购买商品的平均价格为：（元），琪琪两次购买该商品的平均价格为：（元）
，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴嘉嘉两次所购买商品的平均价格高于琪琪两次所购买商品的平均价格
题型二十一 根据分式方程解的情况求解
65．已知，关于的方程：．
(1)若方程无解，求的取值；
(2)若方程的解为整数，求整数的值．
【答案】(1)或或
(2)或
【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．
（）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解；
（）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可．
【详解】（1）解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
当时，得，
解得；
当时，得，
解得，
∴若方程有增根，的取值为或；
∵，
∴当时原分式方程无解，
∴，
∵当或时方程有增根，
∴若方程无解，的取值为或或；
（2）解：∵，
∴，
∵方程的解为整数，
∴，，
当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，；
当时，；
∴或．
66．关于x的分式方程．
(1)当为何值时，分式方程有增根；
(2)当为何值时，分式方程无解．
【答案】(1)或
(2)或或
【分析】本题考查解分式方程、分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的解的定义是解决本题的关键．
(1)根据分式方程的增根的定义解决此题．
(2)根据分式方程的解的定义解决此题．
【详解】（1）解：，
去分母，得)．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得(．
∵分式方程有增根，
∴
∴或．
（2）解：由()得，．
∵分式方程无解，
∴无解或该分式方程有增根．
∴或或．
67．已知关于的分式方程．
(1)若表示的数是2，解这个分式方程；
(2)查询发现正确答案为“原分式方程无解”，请你求出原分式方程中代表的数是多少．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤，正确的计算，是解题的关键：
（1）去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；
（2）去分母，将方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：当时，方程化为：，
去分母，得：，
解得：；
经检验，是原方程的解，
∴方程的解为．
（2），
去分母，得：，
整理，得：，
∵分式方程无解，
∴方程有增根，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型二十二 与分式运算有关的新定义问题
68．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如．
解决下列问题：
(1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）；
(2)将假分式化为带分式；
(3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)真分式
(2)
(3)化简得；当时，该式的值为整数．
【分析】本题考查分式的化简及分式的分离整数法，理解材料并掌握分式的运算是解题关键．
（1）根据真分式的定义判断即可；
（2）根据材料给出的方法运算即可；
（3）先化简，再将分式化为带分式，最后再求解，注意分式有意义的条件．
【详解】（1）解：因为分式的分子次数0小于分母次数1，
所以分式是真分式，
故答案为：真分式；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵是整数，
∴，
解得：或，
∵，，或3时，原分式无意义，
∴，
即当时，该式的值为整数．
69．已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：．
(1)验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明．
(2)计算：．
(3)当时，若，尝试求出x的值．
【答案】(1)满足，推导过程见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了异分母分式加减法，新定义下的实数运算，解分式方程等知识点，弄清题中的新定义是解题的关键．
（1）根据定义的新运算“※”，计算出和，即可得出结论；
（2）根据定义的新运算“※”，直接列式计算即可得出答案；
（3）根据定义的新运算“※”，得出关于的分式方程，解之并检验即可．
【详解】（1）解：新运算“※”满足乘法交换律，理由如下：
，
，
；
（2）解：
；
（3）解：，
当时，，
即：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
的值为．
70．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是______；（只填序号）
①； ②； ③； ④．
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：______；
(3)判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．
【答案】(1)①③
(2)
(3)是，理由见解析
【分析】（1）依据题意，根据和谐分式的意义逐个判断即可得解；
（2）依据题意，分子进而变形可以得解；
（3）依据题意，首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据和谐分式的意义判断即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴①是和谐分式；
∵分式分子的次数低于分母次数，
∴该分式不等化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的性质，
∴②不是和谐分式；
∵，
∴③是和谐分式；
∵，
∴④不是和谐分式；
（2）解：
；
（3）解：的结果是“和谐分式”．
∴该分式是和谐分式．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题时要能熟练掌握并理解．
题型二十三 从统计图中获取信息
71．下面两个统计图反映的是某超市5月份甲、乙两种洗衣粉的销售情况和顾客满意情况．

看图回答以下问题：
(1)从折线统计图看出甲的最大周销售量是_______，在第_______周达到；乙的最大周销量是_______，在第_______周达到．
(2)从折线统计图看出_______的销量在整体提升；从条形统计图看出_______的满意情况不好．
(3)通过观察两个统计图，顾客满意度和洗衣粉的销售量有何关系？
【答案】(1)120袋，四；102袋，二
(2)甲，乙
(3)顾客满意度越高，洗衣粉销量越大
【分析】（1）根据折线统计图的数据即可解答；
（2）根据折线统计图和条形统计图即可解答；
（3）通过观察两个统计图即可解答．
【详解】（1）从折线统计图上看出甲的最大销售量是袋，在第四周达到；乙的最大销售量是 袋，在第二周达到，
故答案为：袋，四；袋，二．
（2）从折线统计图上看出甲的销售量在整体上升；从条形统计图上看出乙的满意情况不好；
故答案为：甲，乙；
（3）通过观察两个统计图，顾客满意度越高，洗衣粉销量就会上升，顾客满意度越低，洗衣粉销量就会降低．
【点睛】本题考查了折线统计图、条形统计图的应用，解此题的关键是利用折线统计图、条形统计图获取信息，解决实际问题．
72．某校为了了解初二学生寒假期间参加体育锻炼的天数，随机抽取了部分初二学生进行调查，并绘制了如下的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)本次调查中，体育锻炼天数的众数为______天，中位数为______天．
(2)请补全条形统计图．
(3)如果该校初二有名学生，请你估计初二约有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于天．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，从不同的统计图中得到必要的信息是解题关键．
（1）先求出本次抽样调查人数、锻炼天的人数，根据众数和中位数的定义即可求解；
（2）根据（1）中所求数据补图即可；
（3）用总人数乘以“活动时间不少于天”的百分比，即可求解．
【详解】（1）解：本次抽样调查人数为（名），
锻炼天的人数是（名），
众数是天，
将体育锻炼天数从小到大排序，排在中间位置的两个数都是天，
中位数为天．
故答案为：，．
（2）解：补图如下：
（3）解：本次抽样调查中，参加体育锻炼的天数不少于天的学生有（名），
（名）．
答：估计初二约有名学生参加体育锻炼的天数不少于天．
73．小聪家准备购买一台电视机，小聪将收集到的某地区A，B，C三种品牌电视机销售情况的有关数据统计如下：

根据上述三个统计图，请解答：
(1)年三种品牌电视机销售总量最多的是______品牌，2021年比2020年A品牌月平均销售量的增长率为______．
(2)年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台？
(3)货比三家后，你建议小聪家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由．
【答案】(1)B，
(2)2021年其他品牌的电视机年销售总量是万台
(3)见解析
【分析】（1）从条形统计图、折线统计图可以得出答案；
（2）求出总销售量及“其它”的所占的百分比，即可得出答案；
（3）从市场占有率、平均销售量、增长率等方面提出建议．
【详解】（1）解：由条形统计图可得，年三种品牌电视机销售总量最多的是B品牌；
由折线统计图可得，2021年比2020年A品牌月平均销售量的增长率为：；
故答案为：B，；
（2）解：（万台），
，
（万台），
答：2020年2021年其他品牌的电视机年销售总量是万台；
（3）解：因为B品牌2021年的市场占有率最高，且5年的月销售量最稳定；建议购买B品牌，
因为A品牌近五年的月平均销售总量逐年稳步上升，建议购买A品牌，答案不唯一
【点睛】考查条形统计图、折线统计图、扇形统计图的意义，理解统计图中各个数量及数量之间的关系是解决问题的关键．
题型二十四 统计图综合
74．国际上常用身体质量指数（）来衡量人体胖瘦程度，计算公式为（表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．其中与胖瘦程度见下表．
的范围
健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖
某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动．
(1)【设计调查方式】
有下列选取样本的方式：随机调查全校的名同学的身高体重；随机调查该校名九年级女同学的身高体重；随机调查该校名九年级同学的身高体重．其中最合理的方式是_____________（填写序号）．
(2)【数据收集与整理】
该小组同学计算并整理了名同学的值，制作了相应的频率表如下：
的范围
人数
频率
求表中的值．
(3)【数据应用】
若该校九年级共有名同学，根据（）中的数据估算该校九年级健康类型为正常的人数．
【答案】(1)；
(2)；
(3)估计该校九年级健康类型为正常的人数有人．
【分析】本题考查了调查方式，样本估计总体，频率与频数等知识，掌握知识点的应用是解题的关键
（）根据调查方式的特征逐一判断即可；
（）根据减去其他频数求出九年级健康类型人数，然后除以即可求解；
（）通过乘以九年级健康类型频率即可求解．
【详解】（1）解：随机调查全校的名同学的身高体重，包含全校学生，可能包含非九年级学生代表性不足，不符合题意；
随机调查该校名九年级女同学的身高体重，仅调查女生，忽略男生，样本不全面，不符合题意；
随机调查该校名九年级同学的身高体重，调查九年级学生，覆盖全体，且有随机性，最合理，符合题意；
故选：；
（2）解：（人），
∴；
（3）解：（人），
答：估计该校九年级健康类型为正常的人数有人．
75．某学校从九年级500名学生中随机抽取部分学生进行英语听力测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：，，制作了如图统计图（部分信息来给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
(1)求测试成绩属C等级的学生人数，并补全频数分布直方图．
(2)求扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数．
(3)如果该校九年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有多少人？
【答案】(1)60，图见解析
(2)扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为
(3)估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有75人
【分析】本题考查直方图和扇形图，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）求出其它等级的人数之和以及所占的总的百分比，进而求出抽取的总人数，再求出等级的学生人数，补全直方图即可；
（2）360度乘以等级的学生人数所占的比例，求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：（人）；
等级的学生人数为：（人）；
补全直方图如图：
（2）；
答：扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为；
（3）（人）；
答：估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有75人．
76．学习二十大，争做新少年，某初中学校团委为加强对“二十大”知识的宣传与学习，从七、八、九三个年级随机抽取若干名学生进行关于“二十大”相关知识的考查，并将成绩（百分制）汇总，制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
关于“二十大”相关知识考查成绩的频数分布直方图 关于“二十大”相关知识考查成绩的扇形统计图

(1)填空：_______，_______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩70～100分为合格，求该校3000名学生中成绩合格的人数．
【答案】(1)；
(2)画图见解析
(3)该校3000名学生中成绩合格的人数为1920人．
【分析】（1）先求解总人数，再分别求解m，n即可；
（2）先求解80至90分的人数，90分至100分的人数，再补全图形即可；
（3）由总人数乘以成绩70～100分的百分率即可得到答案．
【详解】（1）解：总人数为：（人），
∴，则，
∴，
∴；
（2）∵（人），（人），
补全图形如下：
（3）∵（人），
∴该校3000名学生中成绩合格的人数为1920人．
【点睛】本题考查的是频数分布直方图与扇形统计图，利用样本估计总体，掌握基础的统计知识是解本题的关键．期末必刷题02 热考题与压轴题（24题型76题）
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题型一 几何图形的角度计算问题
题型二 根据平行线的性质与判定求解
题型三 根据平行线的性质求角的度数
题型四 根据平行线的性质探究角的关系
题型五 平行线的性质在生活中的应用
题型六 利用平移的性质求解
题型七 与平行线有关的折叠问题
题型八 平行线与三角板综合
题型九 与平行线有关的动点问题
题型十 二元一次方程组的特殊解法
题型十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数
题型十二 二元一次方程组的应用
题型十三 解三元一次方程组及应用
题型十四 整式/分式的化简求值
题型十五 整式的乘除与几何图形中的应用
题型十六 配方法的应用
题型十七 选用合适的方法分解因式
题型十八 因式分解的应用
题型十九 特殊方法分解因式
题型二十 分式加减的实际应用
题型二十一 根据分式方程解的情况求解
题型二十二 与分式运算有关的新定义问题
题型二十三 从统计图中获取信息
题型二十四 统计图综合
题型一 几何图形的角度计算问题
1．“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且．
(1)如图2，当时，求的度数．
(2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？
2．如图，已知点在同一直线上，，平分．
(1)若，求和的度数．
(2)若恰好平分，求的度数．
3．如图，点是直线上一点，射线，，在直线的上方，射线在直线的下方，且平分，，．
(1)若，求的度数；
(2)若平分，求的度数．
题型二 根据平行线的性质与判定求解
4．如图，已知于点A，．
(1)试说明．（填空）
已知，得，所以______，
又已知，根据______，得，根据______，
得，根据______，得．
(2)若，求的度数．
5．如图，在三角形中，是上一点，，交于点，是上一点，．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)若，求的度数．
6．如图，已知，．

(1)试问与相等吗？请说明理由；
(2)若，，求的度数．
题型三 根据平行线的性质求角的度数
7．如图，点在的延长线上，连接，作的角平分线分别交线段，于点，点，已知，．

(1)试说明；
(2)若，，求的度数．
8．如图，，，分别是，上的点，平分交于点，平分交于点．

(1)当时，求的度数；
(2)当时，求的度数．
9．如图，已知，．

(1)如图①，求证：；
(2)如图②，连接，若点E，F在线段上，且满足，并且平分，求的度数；（用含m的代数式表示）
(3)如图③，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，求的度数．（用含的代数式表示）
题型四 根据平行线的性质探究角的关系
10．已知：如图，直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点．
(1)若，，则______度；
(2)若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，间满足的数量关系并说明理由：
(3)若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系．
11．【课题学行线的“等角转化”．
如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数．
解：过点A作，
∴_____，______，
又∵．
∴______．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数．
（3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系．
12．如图，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系．

(1)如图①，_______；如图②，_______；
如图③，______；如图④，______．
(2)得到图②结论的过程如下：（补足理由）
过P点作，又∵，∴（同平行于第三条直线的两直线平行）
∵，
∴_______，________（ ）
∵（图形性质）
∴_______（等量代换）
(3)仿照（2），在图③、④中，选一个写出得到结论的过程（给出理由）．
13．如图，，点、分别在直线，上，为直线和之间的一个动点，且满足．
(1)如图1，、、之间的数量关系为 ．
(2)如图2，、、之间的数量关系为 ．
(3)如图3，，分别平分和，点在左侧，点在右侧．
①若，求的度数．
②猜想规律：与的数量关系可表示为 ．
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，……依此类推，则与的数量关系是 ．
题型五 平行线的性质在生活中的应用
14．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数．
15．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)【问题初探】如图1，，，求证：．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】
① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ；
② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．
16．（1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东，如果A、B两地同时开工，直接写出为多少度时，才能使公路准确接通？
（2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东的方向，C处在B处的北偏东的方向，求的度数．

17．【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
(2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角为多少度？
题型六 利用平移的性质求解
18．如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，），
(1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ；
(2)如图2，当时，求的度数；
(3)在整个运动中，当时，则的度数为 ．
19．（1）观察计算：如图1，在的网格中，将线段向右平移，得到线段，连接，，
①线段平移的距离是______，
②四边形的面积为______；
（2）动手操作：如图2，在的网格中，将折线向右平移3个单位长度，得到折线．
①面出平移后的折线；
②连接，，多边形的面积为______；
[说明：在正方形网格中，1个格长为1个单位长度]
（3）类比探索：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），请直接写出小路的面积．
20．在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）：在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）．
(1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是（图①，图②长方形的长均为个单位，宽均为个单位），则___________，___________，___________（填“”或“”或“”）；
(2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长为___________，宽为___________？
(3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5100元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每平方米路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5100元够吗？并说明理由．
题型七 与平行线有关的折叠问题
21．如图1是一张长方形纸片，将该纸片沿折叠得到图2．

(1)若，求的度数；
(2)若，则的度数为_______（直接写出结果）．
22．如图1，将一条对边互相平行的纸条进行两次折叠，第一次折叠的折痕为，且，第二次折叠的折痕为．
(1)如图2，若，则______．
(2)如图3，若，则______．
23．如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．

(1)观察发现：如图①所示：，，则______．
(2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明；
(3)迁移应用：如图③，点落在边的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明．
题型八 平行线与三角板综合
24．如图①所示的是一副三角尺，，，，．
(1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在直角边上，斜边与斜边相交于点，求的度数；
(2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，直角边与斜边相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)直线，三角板和三角板按照图④所示放置，直角顶点与点重合，并且在直线上，直角顶点在直线上，，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒6°的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒．在旋转过程中，当边与三角板的一条边平行时，求出所有满足条件的的值．
25．综合与探究：
将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．
(1)若，求的度数；
(2)求证；
(3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，直接写出的度数．
26．在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动．
操作发现：
(1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______；
(2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）；
(3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由．
题型九 与平行线有关的动点问题
27．如图，射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，．
(1)当时，求证：；
(2)用含的式子表示为________（直接写出答案）；
(3)当点在射线上运动时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出它们关系，并说明理由．
28．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足．
(1)试问，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为______________________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为______________________．
(2)如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
29．已知，，点在上，点在上，点为一动点．
(1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：．
(2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有．
①当，时，求的度数；
②当平分，，交于点时，若，求的值．
(3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示）
题型十 二元一次方程组的特殊解法
30．情境 珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组：
尝试 （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下.
请将下面解题过程补充完整．
解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______；
应用 （2）利用上述方法解方程组
31．阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．
运用以上知识解决下列问题：
(1)求方程组的解．
(2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ．
(3)举一反三：方程组的解为 ．
题型十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数
32．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值．

(1)按照小云的方法，的值为_________，的值为_________；
(2)请按照小辉的思路求出的值．
33．若方程组 的解满足，求的值．
34．如果关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求m的值．
35．若方程组和方程组有相同的解．
(1)求方程组正确的解．
(2)求a，b的值．
题型十二 二元一次方程组的应用
36．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元．
(1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案．
(3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
37．初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，某校欲购置规格为的甲品牌消毒液和规格为的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元．
(1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格．
(2)若该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请求出所有的购买方案．
(3)若该校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？
38．某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品．若种笔记本买20本，本笔记本买30本，则钱还缺40元；若种笔记本买30本，种笔记本买20本，则钱恰好用完．
(1)求，两种笔记本的单价；
(2)由于实际需要，需要增加购买单价为6元的种笔记本若干本．若购买，，三种笔记本共75本（每种笔记本都有购买），钱恰好全部用完，求种笔记本购买了多少本．
39．某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为．
(1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；
(2)求1块板的所有无浪费裁切方案；
(3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切．
题型十三 解三元一次方程组及应用
40．解方程组：
41．某次智力竞赛共有3题：第一题30分，第二题30分，第三题40分．每题只有两种情况：答对得满分，答错得0分．结束后统计如下：
（1）答对3题的有4人，答对2题的有17人，3题全错的有5人；
（2）答对第一题与答对第二题的人数之和是44，答对第二题与答对第三题的人数之和是36，答对第一题与答对第三题的人数之和是40．
求这次智力竞赛的平均成绩．
题型十四 整式/分式的化简求值
42．先化简，再求值：，其中
43．先化简，再求值：，其中
44．先化简，再求值：，其中从、、中选一个合适的数作为的值代入求值．
45．先化简，再求值∶ ，其中 ．
题型十五 整式的乘除与几何图形中的应用
46．如图1，在长方形中放入边长分别为和的两张正方形纸片，，阴影部分面积分别记为．
(1)如图2，当长方形为正方形时，，
①___________，___________，___________（用含，，的式子分别表示）；②若，试证明：；
(2)如图3，若，且，试探究长方形的周长和正方形的周长之间的数量关系，并说明理由．
47．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
(1)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个)
A．
B．
C．
(2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：．
48．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为　 ．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．
(3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
题型十六 配方法的应用
49．阅读材料：在求多项式的最小值时，小明的解法如下：，因为，所以，即的最小值为4．请仿照以上解法，解决以下问题：
(1)求多项式的最小值；
(2)猜想多项式有最大值还是最小值，并求出这个最值．
50．在学习了乘法公式“”的应用后，李老师提出问题：
求代数式的最大值.同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法：
解：
∵，∴
当时，的值最大，最大值为3
∴的最大值是3．
请你根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最大值.
(2)求代数式的最大值．
(3)若，求的最大值．
题型十七 选用合适的方法分解因式
51．利用分解因式简便运算：．
52．因式分解：
(1)；
(2)．
53．因式分解：
(1)；
(2)．
题型十八 因式分解的应用
54．（1）已知是三角形的三边长，且满足，求三角形的最长边c的取值范围；
（2）已知是三角形的三边长，且满足，求三角形的周长．
55．某串联电路中电流（单位：）、电阻、、（单位：）、时间（单位：）与热量（单位：）有下列关系：，如图，当，，，，时，求电流流经电阻所产生的热量．
56．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值
57．求证：对于任意整数，多项式的值都能被16整除．
58．在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式进行因式分解呢？小季同学经过思考后作如下解答：
小戴同学在仔细研读上述解答过程后，获得如下结论：，在代数式中，，即无论取何值，都大于等于0，所以，则有最小值为．
(1)请仿照小季的解答过程，将代数式分解因式；
(2)求代数式的最大值．
题型十九 特殊方法分解因式
59．阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：
将“”看成一个整体，设，
则：原式
再将“”还原为“”即可．
解题过程如下：
解：设，
则：原式
问题：
(1)以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程；
(2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解．
60．阅读下列材料：
将分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：，．
②交叉相乘，验中项：
．
③横向写出两因式：．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
试用上述方法分解因式：
(1)；
(2)；
61．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．同学们经过小组合作交流，得到了如下的解决方法：
解法一：原式
．
解法二：原式
．
小明由此体会到，对项数较多的多项式进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）．请你也试一试利用分组分解法进行因式分解．
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)因式分解：．
题型二十 分式加减的实际应用
62．小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即．
(1)请用含R和的式子表示及．
(2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？
63．从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为．
(1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？
(2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？
64．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式的大小，作差，若，则；若，则；若，则．
【方法应用】（1）若，试比较与的大小；
【解决问题】（2）嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了该商品，琪琪两次购买该商品均花费n元．已知第一次购买该商品的价格为，第二次购买该商品的价格为（均是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低．
题型二十一 根据分式方程解的情况求解
65．已知，关于的方程：．
(1)若方程无解，求的取值；
(2)若方程的解为整数，求整数的值．
66．关于x的分式方程．
(1)当为何值时，分式方程有增根；
(2)当为何值时，分式方程无解．
67．已知关于的分式方程．
(1)若表示的数是2，解这个分式方程；
(2)查询发现正确答案为“原分式方程无解”，请你求出原分式方程中代表的数是多少．
题型二十二 与分式运算有关的新定义问题
68．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如．
解决下列问题：
(1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）；
(2)将假分式化为带分式；
(3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
69．已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：．
(1)验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明．
(2)计算：．
(3)当时，若，尝试求出x的值．
70．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是______；（只填序号）
①； ②； ③； ④．
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：______；
(3)判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．
题型二十三 从统计图中获取信息
71．下面两个统计图反映的是某超市5月份甲、乙两种洗衣粉的销售情况和顾客满意情况．

看图回答以下问题：
(1)从折线统计图看出甲的最大周销售量是_______，在第_______周达到；乙的最大周销量是_______，在第_______周达到．
(2)从折线统计图看出_______的销量在整体提升；从条形统计图看出_______的满意情况不好．
(3)通过观察两个统计图，顾客满意度和洗衣粉的销售量有何关系？
72．某校为了了解初二学生寒假期间参加体育锻炼的天数，随机抽取了部分初二学生进行调查，并绘制了如下的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)本次调查中，体育锻炼天数的众数为______天，中位数为______天．
(2)请补全条形统计图．
(3)如果该校初二有名学生，请你估计初二约有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于天．
73．小聪家准备购买一台电视机，小聪将收集到的某地区A，B，C三种品牌电视机销售情况的有关数据统计如下：

根据上述三个统计图，请解答：
(1)年三种品牌电视机销售总量最多的是______品牌，2021年比2020年A品牌月平均销售量的增长率为______．
(2)年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台？
(3)货比三家后，你建议小聪家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由．
题型二十四 统计图综合
74．国际上常用身体质量指数（）来衡量人体胖瘦程度，计算公式为（表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．其中与胖瘦程度见下表．
的范围
健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖
某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动．
(1)【设计调查方式】
有下列选取样本的方式：随机调查全校的名同学的身高体重；随机调查该校名九年级女同学的身高体重；随机调查该校名九年级同学的身高体重．其中最合理的方式是_____________（填写序号）．
(2)【数据收集与整理】
该小组同学计算并整理了名同学的值，制作了相应的频率表如下：
的范围
人数
频率
求表中的值．
(3)【数据应用】
若该校九年级共有名同学，根据（）中的数据估算该校九年级健康类型为正常的人数．
75．某学校从九年级500名学生中随机抽取部分学生进行英语听力测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：，，制作了如图统计图（部分信息来给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
(1)求测试成绩属C等级的学生人数，并补全频数分布直方图．
(2)求扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数．
(3)如果该校九年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有多少人？
76．学习二十大，争做新少年，某初中学校团委为加强对“二十大”知识的宣传与学习，从七、八、九三个年级随机抽取若干名学生进行关于“二十大”相关知识的考查，并将成绩（百分制）汇总，制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
关于“二十大”相关知识考查成绩的频数分布直方图 关于“二十大”相关知识考查成绩的扇形统计图

(1)填空：_______，_______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩70～100分为合格，求该校3000名学生中成绩合格的人数．

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