资源简介

专题03 整式的乘除（11大题型）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
题型一 幂的混合运算
题型二 与幂有关的新定义问题
题型三 比较幂的大小
题型四 整式的混合运算
题型五 整式化简问题
题型六 与整式乘法有关的不含/无关型问题
题型七 多项式乘多项式与图形面积
题型八 多项式乘法中的规律性问题
题型九 用乘法公式简便运算
题型十 平方差公式与几何图形的应用
题型十一 完全平方公式在几何图形中的应用
题型一 幂的混合运算
1．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键．
（1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法；
（2）先算幂的乘方，再合并同类项；
（3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项；
（4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
2．（2022七年级下·江苏·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)0
(2)
(3)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方以及合并同类项的计算法则求解即可；
（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算法则求解即可；
（3）根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，6
【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答．
【详解】解：
把代入，
得
题型二 与幂有关的新定义问题
4．（22-23七年级下·浙江金华·期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作．
(1）根据题意，，则 ．
(2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ．
【答案】 3
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法公式的应用，
（1）根据定义可得，由即可得出．
（2）由得，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式．
【详解】解：（1）由定义可知即，
∵，
∴，
（2）由定义可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为3；．
5．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）对正整数 ，规定 ，记 对正整数 n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值：
【答案】12（答案不唯一）
【分析】本题考查完全平方数的知识，积的乘方逆用法则，根据题意把S分解成的形式，再根据完全平方数的定义即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
都为完全平方数，
为完全平方数，
的值可以是，
故答案为：12（答案不唯一）．
6．（20-21七年级下·浙江·期末）下列有四个结论:
①若，则；
②若，则的值为；
③若规定:当时，，若，则；
④若，则可表示为，⑤已知多项式是完全平方式，则常数．
其中正确的是 （填序号）
【答案】③⑤
【分析】①可以是零指数幂，可以是1的任何次幂，可以是-1的偶数次幂；②先求出ab的值，再求出a+b的值，最后代入代数式求值即可；③根据新定义列出方程求解即可；④把a，b先化成底数为2的式子，然后再求值；⑤根据完全平方公式判断即可．
【详解】解：①可以分为三种情况：
当时，；
当时，；
当，为偶数时，，但不是偶数，舍去；
综上所述，或0．
①不符合题意；
②
，
，
，
，
，
，
，
当时，原式；
当时，原式，
．
②不符合题意；
③根据定义得：，
解得：，
③符合题意；
④，，
，
④不符合题意；
⑤是完全平方式，
，
⑤符合题意，
故答案为：③⑤．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，完全平方公式，幂的运算，综合性比较强，解题时注意分类讨论．
题型三 比较幂的大小
7．（22-23七年级下·浙江金华·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)若，求m的值；
(2)比较大小：若，，，则a，b，c的大小关系是什么？
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方及其逆用，有理数大小比较，掌握相应的运算法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算；
（2）把、、换算成同指数幂，再按照有理数大小比较方法进行比较．
【详解】（1）解： ，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
8．（21-22七年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题．
(1)比较大小： （填写>、<或=）；
(2)比较与的大小（写出比较的具体过程）；
(3)计算．
【答案】(1)>
(2)
(3)4
【分析】（1）根据所给的材料的方法进行求解即可；
（2）把指数转为相同，再比较底数即可；
（3）利用积的乘方的法则的逆运用，进行运算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：>；
（2）解：∵233=（23）11=811，322=（32）11=911，
∴811＜911，
即233＜322；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查积的乘方法则，幂的大小的比较，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
9．（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读下面的材料：
材料一：比较和的大小
解：因为，且，
所以，即」
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小，
材料二：比较和的大小．
解：因为，且，
所以，即，
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
解决下列问题：
(1)比较、、的大小：
(2)比较的大小：
(3)比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，，，再比较底数的大小即可；
（2）根据，，，再比较底数的大小即可；
（3）根据，，再由，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
，
，
∵，
∴，
即；
（2）解：∵，
，
，
∵，
∴，
即；
（3）解：∵，
，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．
题型四 整式的混合运算
10．（22-23七年级下·浙江·期末）计算题．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据积的乘方和合并同类项的方法可以解答本题；
（2）根据平方差公式将式子展开，然后合并同类项即可；
（3）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题；
（4）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
11．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了平方根、立方根、零次幂、负整指数幂以及整式的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
（1）根据零次幂以及负整指数幂、乘方的运算求解即可；
（2）根据积的乘方以及整式的运算法则，求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
12．（22-23八年级上·内蒙古乌海·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，再合并同类项即可得到答案；
（2）先算乘方，再算乘法，最后再合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了整式的乘法，乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算、单项式乘多项式、多项式乘多项式，掌握以上知识是解答本题的关键．
（1）先化简各式，再进行加减计算即可；
（2）先算多项式乘多项式、单项式乘单项式、去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
题型五 整式化简问题
14．（23-24七年级下·浙江金华·期末）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）先化简代数式，若是满足的整数，从中选一个恰当的的值代入求出代数式的值．
【答案】（1）；；（2）；当时，原式或当时，原式．（选其中一个作答即可）
【分析】本题考查了整式的化简求值，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先根据完全平方公式、平方差公式、多项式与单项式的乘法计算，然后去括号合并同类项，最后把代入求值即可；
（2）先把括号内通分，根据完全平方公式和平方差公式化简第二项，再进行除法计算，化简后取一个使分式有意义的数代入计算即可．
【详解】解：（1）原式
，即
原式
（2）原式
是满足的整数
，，0
当，时，分式无意义
当时，原式或当时，原式．（选其中一个作答即可）
15．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，2
【分析】利用单项式乘多项式，幂的乘方和积的乘方以及单项式除以单项式法则计算，再将a，b代入计算即可．
【详解】解：原式
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
16．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据整式运算法则进行化简，再代入数值计算即可．
【详解】解：
，
把代入得，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算－求值，解题关键是熟练运用整式运算法则和乘法公式进行化简，代入数值后准确计算．
题型六 与整式乘法有关的不含/无关型问题
17．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）已知的结果中不含的一次项．
(1)求的值；
(2)化简：，并在（1）的条件下求值．
【答案】(1)
(2)4a+5，17
【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算，然后结合结果中不含x的一次项可进行求解；
（2）先对整式进行计算，然后再代值求解即可．
【详解】（1）解：，
∵不含的一次项
，
∴；
（2）解：
=
=；
∴当时，原式．
【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式及乘法公式，熟练掌握多项式乘以多项式及乘法公式是解题的关键．
18．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）已知的展开式中不含的二次项， ，求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项，因式分解，以及非负性．
（1）根据多项式乘多项式的法则，进行化简后，根据展开式中不含的二次项，得到的二次项的系数为0，求出的值，即可；
（2）将等式的左边进行因式分解后，利用非负性求出的值，再将的值代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：，
∵展开式不含的二次项，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．（23-24七年级上·四川成都·期末）若的积中不含x项与项．
(1)求p、q的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)36．
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．
（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与项可知x项与项的系数均等于0，可得关于p、q的方程组，解方程组即可；
（2）由（1）中p、q的值得，将原式整理变形成再将p、q、的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
∵积中不含x项与项，
∴，
解得：，；
（2）解：∵，
∴，
∴
．
20．（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题：
(1)绿化的面积是多少？
(2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值．
【答案】(1)（平方米）
(2)
【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）用大长方形面积减去小正方形面积即可得到绿化的面积；
（2）根据题意求出，再代入计算即可．
【详解】（1）解：
（平方米）；
（2）解：原式
，
代数式的值与的取值无关，
，，
，
（平方米），
绿化面积的值为．
题型七 多项式乘多项式与图形面积
21．（23-24七年级下·浙江金华·期末）一个长方形的长、宽分别为，如果将长方形的长和宽分别增加和．
(1)新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？
(2)若，求长方形增加的面积．
(3)如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)12．
【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，求解代数式的值；
（1）先分别计算新的长方形与原长方形的面积，再作差即可；
（2）把代入（1）中的代数式，再计算即可；
（3）由条件可得，再计算，最后整体代入即可；
【详解】（1）解：依据面积公式得，新长方形的面积为；
原长方形的面积为
所以；
（2）解：当时，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴
；
22．（23-24七年级下·浙江金华·期末）根据素材，完成任务．
利用现有木板制作长方体木箱问题
素材1 如图长方体木箱的长、宽、高分别是厘米、厘米、b厘米．
素材2 现有甲、乙、丙三块木板，甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做成箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）．
问题解决
任务1 请用含a，b的代数式表示这三块木板的面积．
任务2 若长方体长侧面周长和短侧面周长差为3厘米，长侧面周长和短侧面周长之和为23厘米，则甲、乙、丙三块木板的面积和是多少？
任务3 若甲木板面积是乙木板面积的3倍，求箱子侧面积与表面积的比值．
【答案】任务一：甲木板面积：平方厘米，乙木板面积：平方厘米，丙木板面积： 平方厘米；任务二：；任务三：
【分析】任务一：根据题意结合长方形的面积公式列式整理即可；
任务二：由长方体长侧面周长和短侧面周长差为3厘米，长侧面周长和短侧面周长之和为23厘米，再建立方程组求解的值，再列式计算即可．
任务三：由题意可得：，可得，再列式计算比值即可；
【详解】任务一：
解：由题意得：甲木板面积：平方厘米，
乙木板面积：平方厘米，
丙木板面积： 平方厘米；
任务二：由题意可得：
，
解得：，
∴甲、乙、丙三块木板的面积和为
；
任务三：由题意可得：，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
箱子侧面积为：，
箱子表面积为：；
∴箱子侧面积与表面积的比值为
；
【点睛】本题考查了整式混合运算的实际应用，因式分解的应用，二元一次方程组的应用，根据题意列出甲、乙、丙三块木板面积的式子是解题的关键．
23．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形（）．
(1)观察图形，代数式可因式分解为______；
(2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作．
①用含的代数式表示；
②若，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②1
【分析】本题主要考查了整式的乘法运算与图形，完全平方公式的应用，分式的约分：
（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解；
（2）①直接观察图形，即可求解；②根据，可得，从而得到，再代入，即可求解．
【详解】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形，
所以长方形纸片的面积为，
∵长方形纸片的长为，宽为，
∴长方形纸片的面积为，
∴，
即代数式可因式分解为；
故答案为：
（2）解：①根据题意得：；
②∵，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴
24．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）如图为某社区的一块方形空地，由四块长为，究为的长方形空地与一块小正方形水池拼接而成，为创建生态社区、小明为空地设计了甲、乙两种绿化方案，其中阴影部分都用于绿化，已知分别表示图甲、乙中绿化的面积．

(1)_______________，_______________（用的代数式表示）；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）为四个直角三角形的面积和；为大正方形的面积减四个小直角三角形的面积减小正方形的面积；
（2）根据已知以及（1）的结论求得，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：；
，
故答案为：；；
（2）解：∵，
∴，
解得（负值已舍），
∴．
【点睛】本题考查了整式运算的应用，分式的约分化简，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
题型八 多项式乘法中的规律性问题
25．（23-24七年级下·浙江金华·期末）材料阅读：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”．
根据上面的材料，解决下列问题：
(1)请直接写出一个不大于5的“完美数”，这个“完美数”是______．
(2)试判断（是整数）是否为“完美数”，并说明理由．
(3)已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由．
【答案】(1)2（答案不唯一）
(2)是完美数，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据新定义，判断，并写出一个小于10的“完美数”即可求解；
（2）根据新定义根据多项式乘以单项式进行计算，然后因式分解成两个平方和的形式即可求解；
（3）先运用完全平方公式将进行化简，再根据“完美数”的定义计算即可．
【详解】（1）解：，
是“完美数”，
故答案为：2（答案不唯一）．
（2）解：
，
是“完美数”．
（3）解：
，
为“完美数”，
，
．
26．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】和【项目成效】．
【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘
【核心概念】：
素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”．
素材2：我们知道，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：

【任务规划】
（1）任务1：请根据素材1和素材2直接写出的计算结果；
（2）任务2：将（其中）的计算结果以a降次排序后，请推导出第三项的系数m（用含n的代数式表示）．
【项目成效】
（3）成果展示：请计算中含的项的系数是多少．
【答案】（1）；（2）；（3）系数为80
【分析】本题考查了图形的数字规律：
（1）根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和计算求值即可；
（2）求出n取2，3，4，5时计算结果中第三项的系数，由此得出规律，即可求解；
（3）由（2）得：中含的项的系数即为计算结果中第三项的系数，即可求解．
【详解】解：（1）；
（2），第三项的系数为；
，第三项的系数为；
，第三项的系数为，
，第三项的系数为，
……，
，第三项的系数为；
（3）由（2）得：中含的项的系数是．
27．（20-21七年级下·浙江·期末）回答下列问题：
（1）填空：
________；________；_________．
（2）猜想：____________．（其中为正整数，且）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：（结果保留乘方）
①；
②．
【答案】（1）a2-b2；a3-b3；a4-b4；（2）an-bn；（3）①211-2；②
【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值．
【详解】解：（1）（a-b）（a+b）=a2-b2；
（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；
（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4；
（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=an-bn；
（3）①原式=210+29+28+…+23+22+2
=（2-1） （210+29 1+28 12+…+23 16+22 18+2 19+110）-110
=211-111-1
=211-2；
②
=
=
=
=
=
【点睛】此题考查了数字的规律和多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
.
28．（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值．
①
②
③
…
(1)由此我们可以得到：= ．
(2)请你利用上面的结论，再完成下面两题：
①若，求的值；
②计算：．
【答案】(1)
(2)①-1；②
【分析】（1）观察已知等式得到一般性规律，写出即可；
（2）①原式变形后，利用得出的规律化简，计算即可求出值；
②式子转化为-(-4-1)×[]，再计算即可．
【详解】（1）解：由此我们可以得到：=；
故答案为：；
（2）解：①∵，=0，
∴=1，
则x=±1，
∵=0，
∴x＜0，
∴x=-1，
∴ =-1；
②原式=-(-4-1)×[]
=-[-1]
=．
【点睛】此题考查了平方差公式和数字的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键．
题型九 用乘法公式简便运算
29．（21-22八年级上·河北保定·期末）计算：
利用平方差公式可以进行简便计算：
例如：
请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，把第一个括号内提，然后利用平方差公式计算．
【详解】解：
．
30．（23-24六年级下·山东东营·期末）（1）先化简，再求值：，其中，；
（2）用乘法公式简便计算：．
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查了整式的化简求值，乘法公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
（1）括号内根据完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式展开化简，再计算除法，然后将、的值代入计算即可；
（2）利用平方差公式简便计算即可．
【详解】（1）解：
，
当，时，原式．
（2）解：
．
31．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A． B． C．
(2)应用你从 （1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 求的值；
②简便计算：．
【答案】(1)B
(2)①3 ②
【分析】（1）根据题意，得剪去小正方形后余下图形的面积为；重新拼图后得到一个长为，宽为得长方形，根据面积不变性质，建立等式解答即可．
（2）①根据，结合已知 求的值即可．
②根据题意，得，解答即可．
本题考查了平方差公式的几何意义，及其应用，正确理解意义，灵活应用是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得剪去小正方形后余下图形的面积为；
重新拼图后得到一个长为，宽为得长方形，
根据面积不变性质，建立等式得．
故选B．
（2）①根据，且
故．
②根据题意，得．
32．（22-23八年级下·山东枣庄·期末）（1）已知：，，求的值.
（2）用简便方法计算：
①；
②.
【答案】（1）30；（2）①10000；②33000
【分析】（1）由，相加减可得，，即可求解；
（2）①利用完全平方公式进行计算即可；
②利用乘法分配律及平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，即：，
，即：，
∴；
（2）①
；
②
．
【点睛】本题考查平方差公式及完全平方公式，熟记平方差公式及完全平方公式是解决问题的关键．
题型十 平方差公式与几何图形的应用
33．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）若图1正方形框中阴影部分（由边长为a和b的正方形围成）的面积与图2平行四边形的面积相等，求平行四边形的高h（结果用含，b的代数式表示）．
【答案】
【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形准确列式．由题意得，图①中阴影部分面积为：，图②平行四边形的面积是，进而列出等式即可解决问题．
【详解】解：∵

∴
∴
34．（20-21七年级下·浙江·期末）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是_________（请选择正确的一个）；
A． B． C．
（2）若，求的值；
（3）计算：
【答案】（1）B；（2）3；（3）
【分析】（1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可．
（2）利用平方差公式计算即可．
（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值．
【详解】解：（1）边长为的正方形面积是，边长为的正方形面积是，剩余部分面积为；图（2）长方形面积为；
验证的等式是，
故答案为：B．
（2），且，
；
（3）
【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
35．（24-25八年级上·浙江·期末）通常情况下，用两种不同的方法计算一个图形的面积，可以得到一个数学等式．如图1，在①中边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，可拼成②中的长方形．
（1）写出图1所表示的数学等式：__________；如图2，大正方形的面积有两种表示方法，由此可以说明__________（填公式）
【问题探究】
（2）①已知，则的值为__________；
②如图2，若，则__________．
【拓展计算】
（3）．
【答案】（1），；（2）①12②74；（3）
【分析】本题考查乘法公式与几何图形的面积，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键：
（1）利用两种方法表示出阴影部分的面积，写出图1的等式，利用正方形的面积公式以及分割法求图形的面积，表示出数学公式即可；
（2）①利用平方差公式进行计算即可；②利用完全平方公式的变形进行求解即可；
（3）利用平方差公式进行展开，再进行约分化简即可．
【详解】解：（1）阴影部分的面积可以用：，也可以用来表示，
∴图1所表示的数学等式为：；
大正方形的面积可以用：，也可以用表示，
∴可以说明；
（2）①∵，
∴；
故答案为：12；
②∵，
∵，
∴
；
故答案为：74；
（3）原式
．
题型十一 完全平方公式在几何图形中的应用
36．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）某小区要修建一个长为米，宽为米的长方形休闲场所．长方形内建一个正方形活动区和连结活动区到长方形四边的四条笔直小路（如下图），正方形活动区的边长为米，小路的宽均为米．活动区与小路铺设鹅卵石，其他地方铺设草坪．
(1)求四条小路的面积；（用含a，b的代数式表示）
(2)求铺设草坪的面积．（用含a，b的代数式表示）
【答案】(1)平方米
(2)平方米
【分析】本题考查列代数式，整式运算的实际应用：
（1）长方形的长减去正方形的边长，乘以小路的宽，加上长方形的宽减去正方形的边长，乘以小路的宽，即可；
（2）用长方形的面积减去正方形的面积再减去小路的面积即可．
【详解】（1）解：
四条小路的面积为平方米．
（2）
铺设草坪的面积为平方米．
37．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）【综合与实践】制作靠垫面子．
材料准备：两块完全相同的长方形布料（），其它若干布料．
【操作1】小江把长方形布料裁成形状、大小都相同的四块（如图①），拼成如图②的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得．求从其它布料处裁得的正中部分的小正方形布料的面积．（裁剪、接缝处布料忽略不计，结果用a，b表示）
【操作2】小滨把长方形布料裁成如图③形状的四块，每一块形状、大小都相同，拼成如图④的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得（裁剪、接缝处布料忽略不计）．若原长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方分米，试求图④中的大正方形靠垫面子的面积．
【答案】操作1：小正方形布料的面积为，详见解析；操作2：图④中的大正方形靠垫面子的面积为平方分米，详见解析
【分析】本题主要考查了代数式的应用，勾股定理，完全平方公式应用等知识点，
操作1：根据图形和数据求出大正方形的面积和四个直角三角形的面积，再作差即可；
操作2：根据长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方分米列出方程组，求出的值，再根据图④求正方形的面积；
关键是掌握矩形的面积、正方形的面积和直角三角形的面积公式．
【详解】操作1：∵图②大正方形的边长为，
∴图②大正方形的面积为，
∴图②中间小正方形的面积为；
操作2：根据题意得：
，
得：，
解得（负值已舍去），
∴③，
把③代入①得：，
解得或，
当时，；当时，，
∵，
∴，，
∴图④大正方形面积为（平方分米）．
38．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．
(1)用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______；
(2)用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________；
根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
(3)直接写出下列问题答案：
①若，，则________；
②若，则________．
(4)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②13
(4)
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用．
（1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；
（2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
（3）①利用，代入求值即可，②利用代入求值即可；
（4），，，，可以利用代入求值即可．
【详解】（1）解：图1中，由图可知，
，
由题意得，，
即，
故答案为：．
（2）图2中，由图可知，，，
由题图可知，，
即，
故答案为：．
（3）解：①由图2可得，
，，
，
．
故答案为：．
②由图1可得，
，
，
原式．
故答案为：13．
（4）解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
∴．
即图中阴影部分的面积为．
39．（22-23八年级上·浙江台州·期末）阅读材料：若满足，求的值．
解：设，，则，，
．
请仿照上面的方法解决下面问题：
(1)若满足，求的值；
(2)正方形和正方形如图放置，分别延长，，交和于，两点，四边形和都是正方形．若正方形的边长为，
①，长方形的面积为，求阴影部分的面积；
②，，长方形的面积是，求阴影部分的面积．
【答案】(1)；
(2)①；②
【分析】（1）本题考查有关完全平方公式的运算，根据直接求解即可得到答案；
（2）①本题考查完全平方公式在图形面积中的应用，根据题意得到，，根据面积及求解即可得到答案；②根据题意得到，，结合面积列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设，，
，
，
，
，
；
（2）解：①由题意知：，，
，
令，
，，
；
②由题意知：，，
令，，
，，
．
40．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图，边长为a、b的正方形紧贴摆放．设阴影面积为S．
(1)如图1，S的值是否与a有关？请说明理由；
(2)如图2，若，求S的值；
(3)如图3，若，求的值．
【答案】(1)无关，理由见解析；
(2)；
(3)10．
【分析】此题考查列代数式，整式的混合运算，以及因式分解的实际运用，求得两个阴影部分的面积是解决问题的关键．
(1)利用两个正方形的面积减去空白部分的面积列式即可；
(2)把，整体代入S的代数式求得数值即可；
(3)首先将S进行平方，然后根据完全平方公式得出各式的值代入即可得出答案．
【详解】（1）解：S的值与a无关，理由如下：由题意知：
，
∴S的值与a无关．
（2）（2）∵，
∴
（3）解：，
∴，
，
，
，
，
∴．专题03 整式的乘除（11大题型）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
题型一 幂的混合运算
题型二 与幂有关的新定义问题
题型三 比较幂的大小
题型四 整式的混合运算
题型五 整式化简问题
题型六 与整式乘法有关的不含/无关型问题
题型七 多项式乘多项式与图形面积
题型八 多项式乘法中的规律性问题
题型九 用乘法公式简便运算
题型十 平方差公式与几何图形的应用
题型十一 完全平方公式在几何图形中的应用
题型一 幂的混合运算
1．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（2022七年级下·江苏·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
3．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中．
题型二 与幂有关的新定义问题
4．（22-23七年级下·浙江金华·期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作．
(1）根据题意，，则 ．
(2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ．
5．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）对正整数 ，规定 ，记 对正整数 n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值：
6．（20-21七年级下·浙江·期末）下列有四个结论:
①若，则；
②若，则的值为；
③若规定:当时，，若，则；
④若，则可表示为，⑤已知多项式是完全平方式，则常数．
其中正确的是 （填序号）
题型三 比较幂的大小
7．（22-23七年级下·浙江金华·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)若，求m的值；
(2)比较大小：若，，，则a，b，c的大小关系是什么？
8．（21-22七年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题．
(1)比较大小： （填写>、<或=）；
(2)比较与的大小（写出比较的具体过程）；
(3)计算．
9．（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读下面的材料：
材料一：比较和的大小
解：因为，且，
所以，即」
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小，
材料二：比较和的大小．
解：因为，且，
所以，即，
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
解决下列问题：
(1)比较、、的大小：
(2)比较的大小：
(3)比较与的大小．
题型四 整式的混合运算
10．（22-23七年级下·浙江·期末）计算题．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
11．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）计算：
(1)；
(2)
12．（22-23八年级上·内蒙古乌海·阶段练习）计算：
(1)
(2)
13．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）计算：
(1)；
(2)．
题型五 整式化简问题
14．（23-24七年级下·浙江金华·期末）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）先化简代数式，若是满足的整数，从中选一个恰当的的值代入求出代数式的值．
15．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）先化简，再求值：，其中，．
16．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）先化简，再求值：，其中．
题型六 与整式乘法有关的不含/无关型问题
17．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）已知的结果中不含的一次项．
(1)求的值；
(2)化简：，并在（1）的条件下求值．
18．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）已知的展开式中不含的二次项， ，求：
(1)的值；
(2)的值．
19．（23-24七年级上·四川成都·期末）若的积中不含x项与项．
(1)求p、q的值；
(2)求代数式的值．
20．（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题：
(1)绿化的面积是多少？
(2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值．
题型七 多项式乘多项式与图形面积
21．（23-24七年级下·浙江金华·期末）一个长方形的长、宽分别为，如果将长方形的长和宽分别增加和．
(1)新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？
(2)若，求长方形增加的面积．
(3)如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求的值．
22．（23-24七年级下·浙江金华·期末）根据素材，完成任务．
利用现有木板制作长方体木箱问题
素材1 如图长方体木箱的长、宽、高分别是厘米、厘米、b厘米．
素材2 现有甲、乙、丙三块木板，甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做成箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）．
问题解决
任务1 请用含a，b的代数式表示这三块木板的面积．
任务2 若长方体长侧面周长和短侧面周长差为3厘米，长侧面周长和短侧面周长之和为23厘米，则甲、乙、丙三块木板的面积和是多少？
任务3 若甲木板面积是乙木板面积的3倍，求箱子侧面积与表面积的比值．
23．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形（）．
(1)观察图形，代数式可因式分解为______；
(2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作．
①用含的代数式表示；
②若，求的值．
24．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）如图为某社区的一块方形空地，由四块长为，究为的长方形空地与一块小正方形水池拼接而成，为创建生态社区、小明为空地设计了甲、乙两种绿化方案，其中阴影部分都用于绿化，已知分别表示图甲、乙中绿化的面积．

(1)_______________，_______________（用的代数式表示）；
(2)当时，求的值．
题型八 多项式乘法中的规律性问题
25．（23-24七年级下·浙江金华·期末）材料阅读：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”．
根据上面的材料，解决下列问题：
(1)请直接写出一个不大于5的“完美数”，这个“完美数”是______．
(2)试判断（是整数）是否为“完美数”，并说明理由．
(3)已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由．
26．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】和【项目成效】．
【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘
【核心概念】：
素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”．
素材2：我们知道，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：

【任务规划】
（1）任务1：请根据素材1和素材2直接写出的计算结果；
（2）任务2：将（其中）的计算结果以a降次排序后，请推导出第三项的系数m（用含n的代数式表示）．
【项目成效】
（3）成果展示：请计算中含的项的系数是多少．
27．（20-21七年级下·浙江·期末）回答下列问题：
（1）填空：
________；________；_________．
（2）猜想：____________．（其中为正整数，且）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：（结果保留乘方）
①；
②．
28．（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值．
①
②
③
…
(1)由此我们可以得到：= ．
(2)请你利用上面的结论，再完成下面两题：
①若，求的值；
②计算：．
题型九 用乘法公式简便运算
29．（21-22八年级上·河北保定·期末）计算：
利用平方差公式可以进行简便计算：
例如：
请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算：
30．（23-24六年级下·山东东营·期末）（1）先化简，再求值：，其中，；
（2）用乘法公式简便计算：．
31．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A． B． C．
(2)应用你从 （1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 求的值；
②简便计算：．
32．（22-23八年级下·山东枣庄·期末）（1）已知：，，求的值.
（2）用简便方法计算：
①；
②.
题型十 平方差公式与几何图形的应用
33．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）若图1正方形框中阴影部分（由边长为a和b的正方形围成）的面积与图2平行四边形的面积相等，求平行四边形的高h（结果用含，b的代数式表示）．
34．（20-21七年级下·浙江·期末）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是_________（请选择正确的一个）；
A． B． C．
（2）若，求的值；
（3）计算：
35．（24-25八年级上·浙江·期末）通常情况下，用两种不同的方法计算一个图形的面积，可以得到一个数学等式．如图1，在①中边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，可拼成②中的长方形．
（1）写出图1所表示的数学等式：__________；如图2，大正方形的面积有两种表示方法，由此可以说明__________（填公式）
【问题探究】
（2）①已知，则的值为__________；
②如图2，若，则__________．
【拓展计算】
（3）．
题型十一 完全平方公式在几何图形中的应用
36．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）某小区要修建一个长为米，宽为米的长方形休闲场所．长方形内建一个正方形活动区和连结活动区到长方形四边的四条笔直小路（如下图），正方形活动区的边长为米，小路的宽均为米．活动区与小路铺设鹅卵石，其他地方铺设草坪．
(1)求四条小路的面积；（用含a，b的代数式表示）
(2)求铺设草坪的面积．（用含a，b的代数式表示）
37．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）【综合与实践】制作靠垫面子．
材料准备：两块完全相同的长方形布料（），其它若干布料．
【操作1】小江把长方形布料裁成形状、大小都相同的四块（如图①），拼成如图②的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得．求从其它布料处裁得的正中部分的小正方形布料的面积．（裁剪、接缝处布料忽略不计，结果用a，b表示）
【操作2】小滨把长方形布料裁成如图③形状的四块，每一块形状、大小都相同，拼成如图④的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得（裁剪、接缝处布料忽略不计）．若原长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方分米，试求图④中的大正方形靠垫面子的面积．
38．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．
(1)用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______；
(2)用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________；
根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
(3)直接写出下列问题答案：
①若，，则________；
②若，则________．
(4)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积．
39．（22-23八年级上·浙江台州·期末）阅读材料：若满足，求的值．
解：设，，则，，
．
请仿照上面的方法解决下面问题：
(1)若满足，求的值；
(2)正方形和正方形如图放置，分别延长，，交和于，两点，四边形和都是正方形．若正方形的边长为，
①，长方形的面积为，求阴影部分的面积；
②，，长方形的面积是，求阴影部分的面积．
40．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图，边长为a、b的正方形紧贴摆放．设阴影面积为S．
(1)如图1，S的值是否与a有关？请说明理由；
(2)如图2，若，求S的值；
(3)如图3，若，求的值．

展开更多......

收起↑