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清单04 因式分解
（4个考点梳理+6种题型解读+提升训练）
清单01 因式分解的定义
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
【补充说明】
1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可.
2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
清单02 提公因式法分解因式
公因式的定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式.
注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
公因式的确定：
解题模板 说明 举例：
一看系数 系数为整数时，公因式的系数的绝对值是各项系数绝对值的最大公约数 6,4,2的最大公约数是2, 故公因式的系数是2
二看字母 公因式中的字母应是各项中都含有的字母 式子中各项都含有a,b, 所以公因式中必含字母a,b
三看字母次数 公因式中字母的次数是相同字母的最低次数 a的最低次数是1，b的最低次数是2， 所以这个多项式的公因式是
提公因式法分解因式：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：.
实质：乘法分配律的逆用.
关键：准确找出多项式各项的公因式.
提公因式法分解因式的步骤及方法如下：
解题模板 说明 举例：
确定公因式 可按照确定公因式的方法先确定系数， 再确定字母，最后确定字母次数 公因式是
提取公因式并确定另一个因式 用原多项式除以公因式所得的商就是提取公因式后剩下的另一个因式
【注意】
1）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
2）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”,不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
3）不能漏项,提出公因式后,每一项都有剩余部分,它们组成的新多项式的项数与原多项式的项数相同.
4）最后要检查是否分解彻底了.
清单03 公式法分解因式
定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法.
逆用平方差法分解因式：
速记口诀：首平方减尾平方，等于首加尾乘首减尾(首:第一项的底数；尾:第二项的底数).
逆用完全平方公式分解因式：
速记口诀：首平方加尾平方，2倍首尾积，加减放中央，等于首加(减)尾的平方.
清单04 因式分解的一般步骤
【考点题型一】判断是否因式分解（）
1．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、是单项式乘多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、，原分解不彻底，故此选项不符合题意；
C、，是把一个多项式化为几个整式的积的形式，是因式分解，故此选项正确，符合题意；
D、，不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫多项式的因式分解，熟练掌握此定义是解题的关键，注意因式分解要分解到不能分解为止．
2．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可．
【详解】，属于因式分解，故A选项符合题意；
，属于多项式乘法，故B选项不符合题意；
，等式右面不是几个整式积的形式，不属于因式分解，故C选项不符合题意；
，不属于因式分解，故D选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查判断因式分解．掌握因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键．
3．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)．
【答案】(1)是整式的乘法，不是因式分解
(2)一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分解
(3)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解
(4)等式的左边不是多项式，不是因式分解
【分析】（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此即可作答；
（2）根据因式分解的定义判断即可得答案；
（3）根据因式分解的定义判断即可得答案；
（4）根据因式分解的定义判断即可得答案．
【详解】（1）是整式的乘法，故（1）不是因式分解；
（2），一个多项式转化成几个整式积的形式，故（2）是因式分解；
（3），没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（3）不是因式分解；
（4），等式的左边不是多项式，故（4）不是因式分解．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
4．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)不是因式分解
(2)不是因式分解
(3)是因式分解
(4)是因式分解
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
【详解】（1）解：，是整式的乘法，不是因式分解；
（2）解：，最后结果不是几个整式的积，不是因式分解；
（3）解：，是因式分解；
（4）解：，是因式分解．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键．
【考点题型二】判断公因式（）
5．（24-25七年级下·浙江·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键．
根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可．
【详解】解：，
∴应提取的公因式是，
故选：D．
6．（23-24八年级上·浙江台州·期末）单项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．
【详解】解：单项式与的公因式是．
故选：C．
7．（2023·湖南永州·中考真题）与的公因式为 ．
【答案】
【分析】根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可解答．
【详解】解：根据确定公因式的方法，可得与的公因式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键．
8．（22-23八年级下·四川巴中·阶段练习）多项式与的公因式是 ．
【答案】/
【分析】根据“公因式的系数为各项系数的最大公约数，各项相同字母的最低次幂是公因式的因式”求出公因式即可．
【详解】解：∵，，
∴该多项式的公因式为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查公因式，熟练掌握公因式的确定方法，是解决问题的关键．
【考点题型三】提公因式法分解因式（）
9．（22-23八年级上·贵州遵义·期中）把分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法方法和步骤是解题关键，注意提取符号时，各项符号得变化．
将变形为，再提公因式即可．
【详解】解：
故选：B．
10．（2023八年级上·全国·专题练习）把提取公因式后，另一个因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了因式分解的方法，利用提公因式法分解因式即可．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
【详解】解：
∴把提取公因式后，另一个因式是．
故选：C．
11．（22-23七年级下·浙江·期中）若多项式，则是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】提取公因式后剩下的各项的和就是所要求的的值．
【详解】解：
，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式的解答过程，要灵活运用符号的变换．
12．（23-24八年级下·全国·课后作业）分解因式＝ ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式．先将原式变形为，再提取公因式即可求解．
【详解】解：
．
【考点题型四】判断能否用公式法分解因式（）
13．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式因式分解逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意；
B、，不能用平方差公式进行因式分解，该选项符合题意；
C、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意；
D、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键．
14．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方式的结构逐项分析判断即可
【详解】解：A. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，能用完全平方公式因式分解，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握完全平方式的结构熟练掌握是解题的关键．
15．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据完全平方公式进行判断，即可．
【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式；
②；
③，不能用完全平方公式分解因式；
④；
⑤．，
所以能用完全平方公式分解因式的有3个．
故选：C
【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：．
16．（22-23八年级上·河南南阳·期中）下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　）个．
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据完全平方公式，平方差公式进行判断即可．
【详解】解：①不能用公式法分解因式，不符合题意；
②，可以用平方差公式分解因式，符合题意；
③不能用公式法分解因式，不符合题意；
④不能用公式法分解因式，不符合题意；
⑤不能用公式法分解因式，不符合题意；
⑥，可以用完全平方公式分解因式，符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知公式法分解因式是解题的关键．
17．（2023七年级下·浙江·专题练习）在多项式，，，中，能用平方差公式因式分解的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：，能利用平方差公式分解；；
，能利用平方差公式分解；；
，不能利用平方差公式分解；
，不能利用平方差公式分解，
则能用平方差公式因式分解的有2个．
故选：B．
【考点题型五】公式法分解因式（）
18．（2025·浙江·二模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．利用平方差公式计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
19．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）已知，，则 ， ．
【答案】 2
【分析】本题考查了因式分解及代数式求值，即二元一次方程组，利用平方差公式法可得，把代入计算即可得到，然后联立得，，解方程组求出x，y得值，然后代入求解即可．正确利用因式分解对原式进行转化是解题的关键．
【详解】解：∵
∴
∵
∴；
联立得，
得，
解得；
得，
解得；
∴．
故答案为：，2．
20．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）因式分解：=
【答案】
【分析】根据完全平方公式直接求解即可得到答案；
【详解】解：原式，
故答案为：；
【点睛】本题考查公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握．
21．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）若有理数使得二次三项式能用完全平方公式因式分解，则 ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用完全平方公式进行因式分解．解题的关键在于对完全平方公式的熟练掌握．
22．（22-23八年级下·全国·单元测试）将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，添加的单项式可以是
【答案】、、
【分析】根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，进行求解即可．
【详解】解：∵将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，
即：加上一个单项式后，多项式变为完全平方式，
∵，
∴可以添加：，
当为首尾的2倍时，即：，首项可以是：；
综上：可以添加的是：、、
故答案为：、、．
【点睛】本题考查的是完全平方式，利用完全平方公式分解因式，理解完全平方式是解题的关键．
【考点题型六】选用合适的方法分解因式（）
23．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．
（1）提公因式即可；
（2）先变形，再提公因式即可；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（4）先利用平方差形式分解因式，再分别提公因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
24．（23-24八年级上·甘肃平凉·期末）分解因式：．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，综合提公因式和公式法分解因式即可求解．
【详解】解：原式
25．（2023·浙江嘉兴·一模）因式分解．小禾通过代入特殊值检验的方法，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务．
小禾的解法： ① ② ③ 小禾的检验： 当，时， ∵ ∴分解因式错误
任务：
(1)小禾的解答是从第______步开始出错的，错误的原因是____________．
(2)请尝试写出正确的因式分解过程．
【答案】(1)②，y与合并同类项计算错误
(2)，过程见解析
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）根据平方差公式因式分解时，减去时，合并同类项出错；
（2）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可求解．
【详解】（1）解：小禾的解答是从第②步开始出错的，错误的原因是y与合并同类项计算错误；
故答案为：②，y与合并同类项计算错误；
（2）解：正确的因式分解过程如下：
．
26．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）因式分解：
(1) ；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）此多项式有公因式，直接提取公因式即可分解；
（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用完全平方公式继续分解．
【详解】（1）解：
（2）
．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)清单04 因式分解
（4个考点梳理+6种题型解读+提升训练）
清单01 因式分解的定义
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
【补充说明】
1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可.
2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
清单02 提公因式法分解因式
公因式的定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式.
注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
公因式的确定：
解题模板 说明 举例：
一看系数 系数为整数时，公因式的系数的绝对值是各项系数绝对值的最大公约数 6,4,2的最大公约数是2, 故公因式的系数是2
二看字母 公因式中的字母应是各项中都含有的字母 式子中各项都含有a,b, 所以公因式中必含字母a,b
三看字母次数 公因式中字母的次数是相同字母的最低次数 a的最低次数是1，b的最低次数是2， 所以这个多项式的公因式是
提公因式法分解因式：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：.
实质：乘法分配律的逆用.
关键：准确找出多项式各项的公因式.
提公因式法分解因式的步骤及方法如下：
解题模板 说明 举例：
确定公因式 可按照确定公因式的方法先确定系数， 再确定字母，最后确定字母次数 公因式是
提取公因式并确定另一个因式 用原多项式除以公因式所得的商就是提取公因式后剩下的另一个因式
【注意】
1）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
2）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”,不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
3）不能漏项,提出公因式后,每一项都有剩余部分,它们组成的新多项式的项数与原多项式的项数相同.
4）最后要检查是否分解彻底了.
清单03 公式法分解因式
定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法.
逆用平方差法分解因式：
速记口诀：首平方减尾平方，等于首加尾乘首减尾(首:第一项的底数；尾:第二项的底数).
逆用完全平方公式分解因式：
速记口诀：首平方加尾平方，2倍首尾积，加减放中央，等于首加(减)尾的平方.
清单04 因式分解的一般步骤
【考点题型一】判断是否因式分解（）
1．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)．
4．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【考点题型二】判断公因式（）
5．（24-25七年级下·浙江·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级上·浙江台州·期末）单项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖南永州·中考真题）与的公因式为 ．
8．（22-23八年级下·四川巴中·阶段练习）多项式与的公因式是 ．
【考点题型三】提公因式法分解因式（）
9．（22-23八年级上·贵州遵义·期中）把分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023八年级上·全国·专题练习）把提取公因式后，另一个因式是（　　）
A． B． C． D．
11．（22-23七年级下·浙江·期中）若多项式，则是（　　）
A． B． C． D．
12．（23-24八年级下·全国·课后作业）分解因式＝ ．
【考点题型四】判断能否用公式法分解因式（）
13．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
14．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A． B． C． D．
15．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（22-23八年级上·河南南阳·期中）下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　）个．
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A．2 B．3 C．4 D．5
17．（2023七年级下·浙江·专题练习）在多项式，，，中，能用平方差公式因式分解的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点题型五】公式法分解因式（）
18．（2025·浙江·二模）因式分解： ．
19．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）已知，，则 ， ．
20．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）因式分解：=
21．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）若有理数使得二次三项式能用完全平方公式因式分解，则 ．
22．（22-23八年级下·全国·单元测试）将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，添加的单项式可以是
【考点题型六】选用合适的方法分解因式（）
23．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
24．（23-24八年级上·甘肃平凉·期末）分解因式：．
25．（2023·浙江嘉兴·一模）因式分解．小禾通过代入特殊值检验的方法，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务．
小禾的解法： ① ② ③ 小禾的检验： 当，时， ∵ ∴分解因式错误
任务：
(1)小禾的解答是从第______步开始出错的，错误的原因是____________．
(2)请尝试写出正确的因式分解过程．
26．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）因式分解：
(1) ；
(2)．
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