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山西省2025年初中学业水平考试——模拟测评（四）
数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共10页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 下列各数中是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合璧，带来事事如意的吉祥．下列关于该标识的说法正确的是（ ）
A. 是轴对称图形不是中心对称图形
B. 是中心对称图形不是轴对称图形
C. 既轴对称图形又是中心对称图形
D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形
3. 下列运算正确的是（　　）
A. B.
C. D.
4. 空心六角砖具有轻质、高强、隔音和保温的特点，主要用于河道、水库的护坡工程，防止水土流失，同时美化环境．如图是竖直放置的空心六角砖的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列各选项的图形中与不一定相等的是（ ）
A.
B. 四边形为平行四边形
C. 四边形为矩形，对角线交于点
D. 在中，是边上中线
6. 晋祠，这座承载着厚重历史文化的园林胜境，已成为海内外游客心驰神往的旅游地标．晋祠旺季每张门票的价格比淡季每张门票的价格多30元，旺季3张门票的总费用和淡季4张门票的总费用相同，求晋祠旺季每张门票的价格和淡季每张门票的价格分别是多少元．若设晋祠旺季每张门票的价格是元，淡季每张门票的价格是元，则下列方程组正确的是（ ）
A. B.
C D.
7. 如图，点都在⊙O上，且四边形为菱形，连接并延长，交⊙O于点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
9. 太阳能路灯以太阳能为动力源，白天通过太阳能电池板收集太阳光，将其转化为电能并储存起来，晚上释放电能用于照明．如图记录了某型号太阳能电池板某天从6时到18时之间，发电功率（）随时间（）变化的函数图象，下列说法正确的是（ ）
A. 最大发电功率和最小发电功率相差
B. 8时和16时太阳能电池板的发电功率相同
C. 从10时到14时太阳能电池板的发电功率逐渐增大
D. 当天发电功率超过的时长为
10. 如图，在正六边形的边处放置一块平面镜，一束光线从点发出，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过边上的点．若正六边形的边长为，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11. 化简的结果为______．
12. 七巧板，又称智慧板，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是由七巧板拼成的小船，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______．
13. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是_____．
14. 山西四大梆子是指蒲剧、晋剧、北路梆子和上党梆子．这四大梆子是山西省传统戏曲剧种中的代表，具有深厚的群众基础和独特的艺术风格．四张正面印有四大梆子剧目人物的卡片如图所示，它们除正面图案外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为______．
15. 如图，在四边形中，，对角线相交于点是线段上一点，且，连接并延长，交于点．若为的中点，则四边形的面积为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
17. 2025年春节档上映的《哪吒之魔童闹海》一经播出，便引起了极大的反响，票房数据节节攀升，不断刷新记录．为满足消费者需求，某商店用800元购进了一批敖丙手办，用1560元购进了一批哪吒手办，且所购哪吒手办的数量是敖丙手办数量的2倍，单价比敖丙手办低2元．求该商店购进了多少个哪吒手办．
18. 如图，四边形为菱形．
（1）过点作直线的垂线为垂足．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）若，试探究与的数量关系，并说明理由．
19. 2025年2月22日，太原地铁1号线一期工程正式开通运营，与太原地铁2号线横向穿行构成“力”字型地铁线网骨架，方便了市民的出行．家住地铁站附近的张老师早上到学校上班除了开私家车以外，又有了新的选择．为了解不同出行方式上班路上所用时间，张老师记录并整理了16个工作日上班路上所用的时间，其中8个工作日选择乘坐地铁，另外8个工作日选择开私家车．
数据整理：
张老师将记录的数据绘制成如下统计图：
数据分析：
张老师对不同出行方式上班路上所用时间数据进行了如下分析：
平均数 中位数 众数 方差
乘坐地铁 32 32
开私家车 40 50.75
请根据上述信息回答下列问题：
（1）填空： ， ， ， ．
（2）请你帮助张老师选择其中一种上班出行方式，并利用以上至少2个统计量说明理由．
20. 阅读与思考
下面是小飞同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
类比分式方程的解法求解简单的分式不等式 我们知道，求解分式方程的关键是根据等式的基本性质将分式方程转化为整式方程，求整式方程的解，并检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解．那么，能不能类比求解分式方程的思路，对分式不等式进行求解呢？可以进行如下尝试： 当时，不等式两边都乘，得，即 解得． 当时，不等式两边都乘，得，即 该不等式组无解． 综上所述，分式不等式的解集为． 总结：求解分式不等式的关键，是将分式不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解这两个一元一次不等式组，所得两组解集共同组成了原分式不等式的解集．
任务：
（1）上面小论文中尝试过程，主要运用的数学思想是 ．（从下列选项中选出两个即可）
A．类比思想 B．统计思想 C．分类讨论思想 D．转化思想
（2）请根据论文中的思路方法解分式不等式．
21. 某校园内的假山上刻着学校的校训，四周喷泉环绕，九年级“综合与实践”活动小组的同学想要测量此假山的高度，活动报告整理如下：
活动目的 测量校园内假山的高度
测量工具 测角仪，卷尺等
测量示意图 说明：小旭站在水平地面上的点处测出假山顶端的仰角的度数，小华在教学楼某一层的窗口处测出假山顶端的俯角的度数，图中各点均在同一竖直平面内，三点在同一直线上
测量数据
参考数据
计算结果 …
请根据报告内容计算假山的高度．（结果精确到）
22. 综合与实践
问题背景：
如图为一汽车停车棚及它的侧面示意图，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．
数据收集：
车棚与支柱交点到地面的距离为，棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是，棚顶右端点距离支柱的水平距离是，车位的长为．已知棚顶的边缘与车位的边缘平齐．
问题解决：
以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求点到地面的距离．
（2）若一辆货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长为，高为的矩形，为了安全，矩形上侧顶点距离棚顶的铅垂高度应不小于．试判断该货车能否完全停到车棚内，并说明理由．
23. 综合与探究
问题情境：
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）沿所在直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别交于点．再将该纸片沿所在直线折叠，使点的对应点落在的延长线上，折痕分别交于点，如图2所示，试判断四边形的形状，并说明理由．
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究：
（2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若为的中点，试猜想线段与的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）“智慧小组”提出问题：若点的对应点落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长．数学参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
0
B
C
A
B
C
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）】
1.-112.(-2,-3)13.80144
15.192
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.(1)解：原式=-8÷4+(-3)×1…
(3分)
=-2-3…
(4分)
=-5.
(5分)
(2)解：移项，得x2-9-2(x-3)=0.
(1分)
因式分解，得(x+3)(x-3)-2(x-3)=0.…
(2分)
(x-3)(x+3-2)=0.…
(3分)
于是得x-3=0,或花+3-2=0.…
(4分)
x1=3,x2=-1.
(5分)
17.解：设该商店购进了x个敖丙手办，则购进了2x个哪吒手办.
(1分)
根据题意，得560+2-800
2x
(3分)
解得x=10.
(4分)
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意。
(5分)
2×10=20(个).
(6分)
答：该商店购进了20个哪吒手办.…
(7分)
18.解：(1)如解图所示，直线DE即为所求
(2分)
数学（四）答案第1页（共5页）》
(2)AB=2CE,
(3分)
理由：四边形ABCD为菱形，
∴.AB∥CD,AB=CD
又.∠B=60°，
.∠DCE=60°.
*44+44…4+44…44444444…44444044444444444044+0…44+444…4+444
(5分)
DE⊥BC,垂足为E,
.∠DEC=90
.CDE=30°.
∴.CD=2CE.
(7分)》
AB=2CE。…
(8分)
19.解：(1)a=34,b=35.5,c=32或33，d=1
(8分)（每空2分）
【提示】乘坐地铁8天的用时数据分别为31,33,32,33,32,30,32,33.
众数为32或33，
方差为g×[(31-32)2+3×(33-32)2+3×(32-32)2+(30-32)2]=1.
开私家车8天的用时数据分别为38,25,40,40,28,24,44,33
平均数为日×(38+25+40+40+28+24+44+33)=34，将这8个数据大小排序后位于中
间位置的两个数是3和38，所以中位数为7×(3+38)=35.5
(2)选择乘坐地铁上班。…
(9分)
理由：从平均数和中位数来看，乘坐地铁上班所用时间均少于开私家车，所以选择乘坐地铁
上班.（合理即可）
(10分)
20.解：(1)AC(或AD或CD)…(2分)》
rx-2>0,
(2)当x-2>0时，不等式两边都乘(x-2),得4x+1<3(x-2),即
4x+1<3(x-2).
年0：年0”4年044年年00+4440+40044444404000g40”g”0年0000+0”
(3分)
该不等式组无解…(4分）
rx-2<0,
当x-2<0时，不等式两边都乘(x-2),得4x+1>3(x-2),即
…(5分)
4x+1>3(x-2).
解懈得-7(6分)
综上所述，分式不等式}<3的解集为-7(7分)
数学（四）答案第2页（共5页）

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