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2.4一元二次方程根与系数的关系(选学)
一、单选题
1．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是( )
A． B． C．0 D．2
2．以2和为根的一元二次方程是( )
A． B．
C． D．
3．已知关于的一元二次方程的一个根是，则该方程两个根的和等于( )
A． B． C．3 D．10
4．一个等腰三角形的底边长是3，两腰长是关于x的方程的两个根，则该等腰三角形的周长为( )
A．6 B．7 C．8 D．15
5．关于的一元二次方程中，若，，，则这个方程的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有一个正根和一个负根 D．有两个正的实数根
6．已知一元二次方程的两根分别为a，b，则的值( )
A．2 B． C． D．
7．若m，n是方程的两个根，则代数式的值为( )
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．已知关于x的一元二次方程的两实数根为，若，则m的值为(　　)
A． B．2 C．2或 D．
二、填空题
9．若方程有两个不相等的正实数根，则常数的取值范围为 ．
10．已知m、n是方程的两根，则 ．
11．已知a，b是方程的两根，则 ．
12．设，是方程的两个实数根，则的值是 ．
13．已知a、b是方程的根，则式子的值为 ．
14．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则 ．
三、解答题
15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程的两个实数根互为倒数，求的值．
16．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若时，求方程两根的值．
17．已知m，n是一元二次方程的两个实数根．
(1)求的值．
(2)求的值．
18．已知关于x的方程．
(1)求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若斜边长，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
19．已知关于的方程．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求k的值．
20．(1)用适当方程解一元二次方程：；
(2)已知关于的一元二次方程有两个实数根，．若时，求k值及方程的解．
21.关于的一元二次方程的两根为．
(1)设，请用含的代数式表示；
(2)当时，求此时方程的根．
参考答案
一、单选题
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知关于的一元二次方程：，是解本题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，即可得出答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，即，
解得：，
∴方程的另一个根是，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系可得出，，取找出b、c的值，由此即可得出以2、为根的一元二次方程，理解根与系数的关系是解决问题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的根为2和
则，，
∴当时，，，
∴该一元二次方程可以为．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得出即可．
【详解】解：设方程的两个根为，，
．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系求出两腰的和，进而求出周长
【详解】解：∵底边为3，
又两腰长是关于x的方程的两个根，
∴两腰的和为4，
所以该等腰三角形的周长是．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据根的判别式判断根的情况，再根据判断根的符号情况．
【详解】解：，，，
，即
，
方程有两个不相等的实数根，
方程有一个正根和一个负根，
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由，代值计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为a，b，
∴，
∴，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数关系， 把代入，得出，再根据根与系数关系求出，整体代入计算即可解答．
【详解】解：是方程的两个根，
，
把代入得：，
∴，
∴，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系:是一元二次方程的两根时,.据此即可求解.
【详解】解：因为一元二次方程的两实数根为，
所以，
所以m的值为2或，
当m的值为2时，原方程为，
，原方程无实数根，
故m的值为
故选：A.
二、填空题
9．
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．由方程有两个不相等的正实数根，可得且即可求解．
【详解】解：由题可知有两个不相等的正实数根，
且，
解得：且，
常数的取值范围为．
10.2020
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值．根据根与系数的关系和方程的解得到，将原式变形为，再代入求值即可．
【详解】解：∵m、n是方程的两根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2020
11．0
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：0．
12．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．再利用整体代入法是本题的关键．
【详解】解：∵，是的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解答本题的关键在于熟练掌握根与系数的关系，将原式通分化简，利用，．根据根与系数的关系得出，，代入求解即可．
【详解】解：∵a、b是方程的根，
∴根据根与系数的关系，得
，，
∴．
故答案为： ．
14．或
【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键；
通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可．
【详解】解：
，，
又是倍根方程，
当是的2倍时，
则，
解得：，
当是的2倍时，
则，
解得：，
故答案为：或．
三、解答题
15．(1)解： 方程有两个不相等的实数根，
，
解得：；
的取值范围为：；
(2)解：方程的两个实数根互为倒数，
又，
，
．
16．(1)解：，
∵，
∴，
∴总有两个实数根；
(2)解：由一元二次方程根与系数的关系知：，
而，
∴．
17．(1)解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴；
(2)解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
18．(1)证明：∵，
∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴，，()
∵斜边长，
∴，
∴，即，
整理得，即，
(负值已舍)，
∴，
∴的周长为；
∴的周长为．
19．(1)证明：，，
∵，
∴
∴此方程总有实数根．
(2)方法一：，
，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
方法二：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
20．解：(1)∵，
∴，
∴或，
解得；
(2)∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得或；
21.(1)解：∵方程的两根为，
∴，
∴；
(2)解：当时，，
解得：，
经检验，是原方程的解，
此时原方程为，
解得：．

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