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2025年全国普通高校招生全国统一考试
数学试卷（新高考Ⅰ卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的虚部为( )
A. B. C. D.
2.设全集是小于的正整数，集合，则中元素个数为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反图给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图风速的大小和向量的大小相同，单位：，则真风为( )
等级 风速大小 名称
轻风
微风
和风
劲风
图 图
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
7.已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知实数，，满足，则，，的大小关系不可能是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正三棱柱中，为中点，则( )
A. B. 平面
C. D. 平面
10.已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于，两点，过作直线的垂线，垂足为，过且与直线垂直的直线交于点，则( )
A. B. C. D.
11.已知的面积为，若，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线是曲线的切线，则 ．
13.若一个正项等比数列的前项和为，前项和为，则该等比数列的公比为 ．
14.有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了人，得到如下列联表：
记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值
根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．
附：
16.本小题分
已知数列中，，．
证明：数列为等差数列
给定正整数，设函数，求．
17.本小题分
如图所示的四棱锥中，平面，，．
证明：平面平面
若，，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为
证明：在平面上
求直线与直线所成角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，下顶点为，右顶点为，．
求的方程
已知动点不在轴上，点在射线上，且满足．
设，求点的坐标用，表示
设为坐标原点，是上的动点，直线的斜率是直线的斜率的倍，求的最大值．
19.本小题分
设函数．
求在的最大值
给定，设为实数，证明：存在，使得
若存在使得对任意，都有，求的最小值．
参考答案
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15.解：由题可知，超声波检查结果不正常者有人，这人中患该疾病的有人，
则
零假设为超声波检查结果与是否患该疾病无关
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关，此推断犯错误的概率不大于．
16.解：已知，两边同时乘以，
得，即，
又，
所以是以为首项，公差为的等差数列．
因为所以，，
由可知，是公差为的等差数列，
则
由得
由知，首项为，公差为，
即
，
又因为，
．
17.证明：平面，平面，平面，
，．
，，且，
又平面，平面，平面．
平面，
平面平面．
证明：
由知：，，，以为原点，直线、、方向为轴正方向建立空间直角坐标系．
则有：，，，，，
设，由是球心，可得
解得，，，即．
故点在平面上．
解：由可得：，．
设直线和直线所成角为．
，
即直线和直线所成角的余弦值为．
18.解：由题意得，解得，，
故椭圆方程为；
由题意，，
则
点在射线上，
存在唯一的实数，使得，
，
，
，
；
，，
，
即，
整理得，
即，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
故的最大值为到圆心距离的最大值加上半径，
设椭圆上的点，则，
故，
由椭圆方程得，
所以时，最大，为，
所以的最大值为．
19.解：易得．
令，因为，解得或．
结合单调性可知，当时，，单调递增当时，，单调递减．
故．
证明：法不妨设，令，则．
只需证明：而，，
若，则令，则
若，，令，则且，．
由周期性，，上述结论都成立．
综上，存在，使得．
法用反证法假设，都有．
因为函数在上单调递减，因此，必有．
我们定义一个区间的长度为．
显然，区间的长度为且为闭区间，而区间的长度为且为开区间，
因此区间不可能包含于区间
又注意到，区间的长度为且为开区间，
同理区间也不可能包含于区间
综上，必然存在，且，使得不成立，即，矛盾
故得证．
我们证明：的最小值为．
因为，所以是以为周期的偶函数．
当时，，
由进一步得到在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
由对称性和周期性，且，
因此当时，，都有，即．
下证对一切，的最大值都超过，
即总存在，使得由，取，，则存在，使得．
令，则，于是，，
从而，证毕．
综上所述，的最小值为．
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